Свойства корней характеристического уравнения

Рассмотрим непосредственное доказательство этих свойств корней характеристического уравнения. Предположим, что характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных корня. Обозначим один из них Вновь возвратимся к системе уравнений (11.207). Подставим в эти уравнения корень kj, умножим каждое уравнение на и сложим почленно. Тогда получим соотношение [c.260]

Свойства корней характеристического уравнения (23.4.9) [c.379]

Строгое доказательство отмеченного свойства корней характеристического уравнения см. в приложении 6.1. [c.273]

Из свойств функции рассеяния и кинетической энергии видно, что комплексные корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части. [c.261]

Свойства закона движения системы, определяемого уравнением (11.293), зависят от характеристических показателей а,-, или от корней характеристического уравнения (11.297). Общая теория характеристических показателей в настоящее время получила широкое развитие ). [c.312]

Теперь рассмотрим свойства невозмущенного движения при различных предположениях относительно корней характеристического уравнения. Рассмотрим три теоремы А. М. Ляпунова ). [c.335]

Пусть 1, Яг,. .., Яп — действительные части корней характеристического уравнения, взятые со знаком минус. Если наименьшее из чисел Я, равно нулю, то устойчивость движения зависит лишь от свойств членов измерений более высоких, чем первый, в правых частях уравнений, которым удовлетворяют величины Ха, и выбором этих членов можно сделать движение устойчивым или неустойчивым, по желанию ). [c.344]

При В1—>-оо (практически В1 > 100) прямая г/1 = р/В1 (рис. 16.7) совпадает с осью абсцисс и корни характеристического уравнения не зависят от числа В1, а определяются из условий /о(р)=0. В этих условиях процесс определяется геометрическими размерами тела и его физическими свойствами [c.258]

Последний множитель, содержащий мнимую степень е, может быть представлен через тригонометрические функции и поэтому остается ограниченным при любом значении t. Свойства устойчивости движения связаны с множителем если < О, то соответствующее слагаемое описывает затухающее движение, а если О, то такому слагаемому соответствует удаление системы от невозмущенного режима. Таким образом, для устойчивости состояния равновесия механической системы необходимо, чтобы среди корней характеристического уравнения не было ни одного с положительной вещественной частью в противном случае одно из частных решений, а вместе с этим и общее решение, обнаружит возрастающую тенденцию. [c.155]

С помощью уравнений идентификации можно сформировать диагностические признаки, представляющие собой такие характеристики математической модели выделенного динамического звена, как значения собственных частот, декремент колебания н др. Их конкретизация зависит от понимания физики процессов, порождаемых развивающимся дефектом, и формы описания их соответствующей математической моделью. Так, для совокупности дефектов, приводящих к изменению демпфирующих свойств динамического звена, в качестве диагностических признаков выбирают такие характеристики его линейной математической модели, как действительные части корней характеристического уравнения, приводящих к нарушению упругих свойств — мнимые части этих корней. [c.387]

Изучение свойств цилиндрической оболочки в части V выполняется следующим образом. При помощи тригонометрических рядов и применения метода Эйлера задача построения каждого члена разложения сводится к исследованию некоторого алгебраического уравнения восьмой степени (характеристического уравнения), в коэффициенты которого входит малый параметр и еще один параметр, связанный с номером рассматриваемого члена разложения. Последний может принимать (в известных рамках) как большие, так и малые значения. Поэтому можно поставить вопрос об асимптотической зависимости модулей корней характеристического уравнения от упомянутых параметров. Он решается элементарными приемами, и располагая ответом, мы можем получать оценки любого члена в формулах, определяющих напряженно-деформированное состояние оболочки, а следовательно, и судить [c.332]

Допустим теперь, что длина оболочки слишком велика, чтобы малые корни характеристического уравнения можно было заменить нулями, и обсудим свойства соответствующих напряженных состояний. [c.361]

Ч — постоянная, зависящая от свойств системы р + qi — корни характеристического уравнения. [c.287]

Из приведенных теорем следует, что вне поля зрения остались такие нелинейные системы, в которых у линейной части существуют корни характеристического уравнения с нулевой вещественной частью. Такие случаи исследования устойчивости называются особыми. В особых случаях из свойств устойчивости линейной части системы никак не следует устойчивость положения равновесия всей системы. Некоторые возможности в исследовании устойчивости в этих случаях дает теорема Лагранжа. [c.168]

В композитных материалах на полимерной основе дисперсия волн обусловлена не только геометрической структурой, но и диссипативными свойствами связующего. Взаимодействие этих двух механизмов, приводящих к затуханию динамических возмущений, исследовалось для вязкоупругих продольных волн, распространяющихся перпендикулярно плоскостям раздела слоев. Приведенное выше аналитическое решение остается справедливым и для вязкоупругой среды, но теперь ij q являются комплексными величинами, зависящими от частоты колебаний ij q = [j q u ) + i lj q, < 0. Изучение объемных волн в вязкоупругом случае сводится к анализу корней характеристического уравнения eos sh = 6g, в котором коэффициент 6д, в отличие от упругого случая, является комплексной величиной. Один из корней этого уравнения pi = + Р2 всегда по абсолютной величине меньше единицы, а второй корень Р2 = 1/pi больше единицы. Первый корень описывает физически разумное решение при распространении волн в положительном направлении оси z п +оо) а, второй — в отрицательном направлении оси z п —оо). Если положить pi = ехр г/г (s + s"), то hs и hs находятся по соотношениям hs" = — 1п pi , eos hs = pi exp/га", sin hs = = р ехр/гз", однозначно определяющим hs при изменении частоты от нуля до [c.822]

В зависимости от начальных разностей скоростей и температур фаз, возмущений Пд,. .. и величины интервал О < < 1 или его подынтервалы принадлежат к равновесному Е) или к неравновесному К) типу. К равновесному (неравновесному) типу отнесем отрезки времени, на которых отличия параметров невозмущенного потока от равновесных значений (1.3) малы (велики). Интервалы типа N подразделяются на дозвуковые 8В) и сверхзвуковые ЗР) в соответствии с характеристическими свойствами системы (1.1). В ней независимо от значений параметров смеси характеристическую форму имеют два векторных (каждое с двумя проекциями для и у -) и два скалярных уравнения, т.е. шесть из десяти скалярных уравнений в частных производных. Три из них - пятое (векторное) и шестое записываются вдоль траекторий газа, а оставшиеся три - седьмое (векторное) и восьмое - вдоль траекторий частиц. Тип подсистемы первых четырех уравнений (1.1), связанных с перечисленными только через коэффициенты и свободные члены, определяется числом действительных корней характеристического уравнения ([1, 5] и Гл. 11.1) [c.487]

О свойствах системы второго порядка, имеющей корни характеристического уравнения, близкие друг другу [c.73]

Понятно, что наиболее обоснованное и достоверное суждение о всех свойствах корней характеристического полинома, как в качественном, так и в количественном отношении можно составить, найдя эти корни, т. е. решив заданное характеристическое уравнение тем или иным способом. Для целей практики, однако, необходимо удостовериться в некоторых свойствах (иногда, наоборот, в отсутствии их) корней и до того, как мы примемся за решение уравнения. [c.123]

Несмотря на то, что мы имеем пару сопряженных комплексных корней характеристического уравнения, переходный процесс не обнаруживает заметных колебательных свойств и имеет явно апериодический характер, что только подтверждает принципиальный вывод, сделанный еще в семидесятых годах прошлого столетия проф. И. Н. Вышнеградским, что существование комплексных корней в характеристическом уравнении вовсе не обусловливает колебательного характера переходного процесса. [c.148]

Устойчивость систем автоматического регулирования является одной из основных динамических характеристик этих систем. Понятием устойчивости определяется свойство системы возвращаться к установившемуся состоянию после прекраш,ения действия воз-муш,ения, которое вывело ее из первоначального состояния [7]. Устойчивость линейных (или подлежащих линеаризации) систем автоматического регулирования характеризуется тем, что любое ограниченное по абсолютной величине воздействие вызывает также ограниченное изменение величин, характеризующих состояние системы. Теорией автоматического регулирования доказано, что необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы. Характеристическое уравнение системы можно получить, если приравнять к нулю знаменатель передаточной функции системы (см. уравнения 5—13). Так, для одноступенчатых редукторов (см. уравнения 5—7) характеристическое уравнение равно [c.146]

Свойства пространственных колебаний определяются корнями характеристического уравнения [c.767]

Свойства главных векторов и главных значений. Из алгебры известно, что для симметричной матрицы все три корня характеристического уравнения являются вещественными числами. В данном случае это означает, что симметричный тензор имеет три вещественных главных значения, среди них могут быть равные. Заметим, что главные векторы, отвечающие различным главным значениям, взаимно-ортогональны. В самом деле, пусть главные векторы и соответствуют [c.28]

При вычислении корней характеристических уравнений необходимо хорошее понимание физических свойств системы с тем, чтобы не упустить из виду какое-либо существенное решение. [c.118]

Рассмотрим характеристическое уравнение (23.4.9) и поставим перед собой задачу, как и в 24.7, изучить свойства его корней. [c.379]

В 7-2 было показано, что функции M t) и й д.х(0> определяющие взаимосвязи СЧ п источника энергии (7-5) и обусловливающие нелинейные свойства СП, допускают разложение в степенные ряды (7-13), сходящиеся при малых значениях переменных АМд(/), Айд.х(0 и AQi(f). Поэтому в соответствии с известной теоремой об оценке устойчивости нелинейных систем по уравнениям первого приближения [Л. 40] для суждения об устойчивости СП с источником энергии ограниченной мощности при заданном режиме работы необходимо вместо (7-63) составить линеаризованное уравнение СП и исследовать корни его характеристического уравнения. [c.422]

Перед тем как ввести понятие сильно нелинейных систем и перейти к углубленному изучению предмета, рассмотрим несколько примеров применения классического варианта первого метода Ляпунова. Если характеристическое уравнение (2) имеет корни, не лежащие на мнимой оси, система (1) обладает региениями со специфическими асимптотическими свойствами. Следовательно, чрезвычайно полезно знать, существуют ли такие корни, не вычисляя их. Сформулируем несколько результатов, которые в квазилинейном случае являются почти тривиальными. [c.90]

Свойство фильтра усиливается требованием, чтобы приведенная линейная часть системы была устойчива или нейтральна, т. е. чтобы характеристическое уравнение линейной части уравнения (И1.63) не имело чисто мнимых корней и корней с положительной веш,ественной частью. Это обеспечивает устойчивое прохождение колебаний через приведенную линейную часть. Наличие же нулевых корней только улучшает непропускание высших гармоник приведенной линейной частью. [c.67]

Характеристическое уравнение как для прецессионной системы det iXgT -f- К) = О, так и для нутационной системы det (—-Ь гЛ Г) = О сохраняет свойства корней характеристического уравнения полной системы все корни вещественные и входят парами отличающихся друг от друга знаком корней. [c.193]

Решение такой задачи возможно на основании исследования одной матрицы II Pij ( o) II- В зависимости от свойств корней характеристического уравнения pij ( o) — О Каменков указал все случаи, когда вопрос о наличии или отсутствии устойчивости в указанном смысле не зависит от членов выше первого порядка малости. В случае устойчивости Каменков указал способ определения оценки снизу для величины интервала т, отметив при этом, что эта оценка не определяет максимального значения времени I, гарантирующего соблюдение неравенства [c.64]

Рассмотрим случай, когда все компоненты вдуваемой газовой смеси могут быть разделены на две группы с близкими (будем полагать равными) диффузионными свойствами. Тогда можно рассматривать три различных коэффициента диффузии по одному коэффициенту диффузии в каждой группе между компонентами данной группы Di, и коэффициент диффузии компонентов первой группы по отношению к компонентам второй группы D3, Кроме вдуваемых в смеси может присутствовать произвольное число (а) групп компонентов с близкими диффузионными свойствами. Тогда общее число коэффициентов дис узии, от которых зависит решение, равно 3 + 2а, т. е. необходимо также учитывать коэффициенты диффузии всех групп компонентов относительно двух групп Оц, Dj2, присутствующих во вдуваемой смеси. В рассматриваемом случае корни характеристического уравнения получаются в виде [c.278]

Практическое требование к АСР, диктуемое свойствами тепловых объектов регулирования (приближенный характер математической модели, йзгиенение характеристик со временем или при изменении режима работы объекта), заключается в том, что система должна обладать определенным запасом устойчивости. Требование запаса устойчивости ограничивает область расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы в плоскости корней или КЧХ разомкнутой системы в плоскости КЧХ (рис. 6.34). [c.450]

Одна из таких ситуаций на примере ЛСПК 3-го порядка приводится в монографии В.И. Зубова [1959] отмечена также высокая чувствительность переходного процесса по изучаемой на устойчивость переменной к изменению значений коэффициентов (хотя и не всех) исходной системы. На указанную принципиальную для ЧУ-задачи особенность зависимости ЧУ-свойства не только от значений корней характеристического уравнения, но и от вида коэффициентов ЛСПК, также обратил внимание К. Peiffer [1968]. [c.100]

Метод исследования малых колебаний относительно равновесного состояния позволяет свести задачу динамической устойчивости движения к задаче нахождения условий устойчивого решения системы линейных уравнений с постоянными коэффицнента.ми и тем самым, по существу, свести решение к анализу корней соответствующего характеристического уравнения. В случае устойчивости движения корни этого уравнения должны быть в лево части плоскости Гаусса. Полином, обладающий такими свойствами, называется полиномом А. Гурвица [97]. Для того чтобы полином [c.382]

Покажем, что корни уравнений (17) и (6) Х действительные положительные числа. При этом заметим, что квадратичная форма /4, (1), представляющая собой работу внутренних сил т -, положительно определенная, т.е. при любых действительных значениях больше нуля и лишь при равенстве нулю всехТ- обращается в нуль. Следовательно, таким же свойством должна обладать и правая часть равенства (13). Для этого необходимо, чтобы все были положительными, что и доказывает высказанное утверждение. Совокупность положительных корней характеристического [c.43]

В зависимости от свойств возмущенных движений область неустойчивости разбивается на подобласти. Это разбиение производят в зависимости от поведения корней уравнения (7.2.9) -характеристических показате.лей X при пересечении границы области устойчивости. Типичные ритуации показаны на рис. 7.2.7. При Р=0 все характеристические показатели находятся в. те- [c.468]

Корни уравнения (2.8.9) соответствуют скорости распространения сдвиговых волн A i 2 =/сз 4 = И /р, скорости распространения объемных волн растяжения — сжатия ks-,e — кт-,8 = = У(2ц-ЬЯ)/р и нулевой скорости распространения кд = О, отвечающей характеристическим линиям 0i = onst, направленным перпендикулярно плоскости деформирования по условию постановки задачи. Таким образом, линеаризованная система уравнений, отвечающая обобщенной модели Тимошенко, имеет скорости распространения, совпадающие со скоростями распространения волн в трехмерной линейной упругой среде [28, 194]. Это свидетельствует о том, что осуществленный переход от трехмерной теории к приближенной оболочечной сохраняет без искажений основные волновые свойства модели по скоростям их распространения. [c.53]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...