Соотношение упругости. Модуль сдвига

Соотношение упругости. Модуль сдвига [c.86]

Для упругого модуля сдвига G и модуля объемной упругости К и параметра Ламе К из соотношений (6.3), (6.5) следуют выражения [c.113]

Для изотропных тел, кроме двух основных констант (модуля Юнга и модуля сдвига), мы ввели выше еще одну упругую константу — коэффициент Пуассона. Но эти три константы, , G и т, в изотропных телах не независимы, а связаны между собой соотношением ) [c.475]

Таким образом, если интерес представляет напряженно-деформированное состояние вязкоупругого тела, выполненного из нестареющего материала, только в начальный момент времени и в бесконечно удаленный i —> оо, то решение задачи вязкоупругости сводится к решению двух задач теории упругости. В первом случае рассматривается тело с мгновенными объемным модулем упругости К и модулем сдвига G, а во втором случае — то же тело, но с длительными модулями, для которых справедливы соотношения [c.369]

В последнем случае между модулем сдвига О и модулем упругости Е устанавливается следующее простое соотношение [c.266]

Величина G, входящая в формулы (78) и (79), называется модулем упругости при сдвиге или модулем упругости второго рода. Так как у—величина отвлеченная, то из (79) легко заключить, что размерность G будет такая же, как и напряжения, т.е. /сГ/сл Между величинами Е и G для одного и того же материала имеется следующее соотношение [c.113]

Расчетные значения упругих констант, полученные по формулам табл. 5.2, несколько ниже, чем соответствующие значения, рассчитанные по формулам (5.17), (5.18). Модули сдвига, рассчитанные по упрощенным формулам табл. 5.2, также отличаются от соответствующих значений, рассчитанных по зависимостям табл. 5.1, но в обоих случаях имеют место соотношения, идентичные (5.6) [c.127]

В уравнении (2.2) функция О (1) есть упруго мгновенный модуль сдвига. Ядро сох (t, т) связано с мерой ползучести со (1, т) при чистом сдвиге однородно-стареющего тела, изготовленного в момент т = О, следующим соотношением [c.22]

Как было показано выше, зная структуру композита, можно вывести универсальные соотношения между его эффективными упругими модулями. Следовательно, приняв некоторые ограниченные предположения относительно упругих свойств фаз, можно получить точные выражения эффективных упругих модулей. Например, предположение о том, что модули сдвига изотропных фаз композита равны между собой, приводит к точному выражению для модуля объемного сжатия такого материала. [c.72]

Модели, предлагаемые для определения коэффициентов концентрации средних напряжений и деформаций, а следовательно, и эффективных модулей волокнистых композитов, по существу, таковы же, как для гранулированных композитов. Однако анализ таких композитов сложнее, ибо они имеют большее число эффективных упругих модулей (предполагается трансверсальная анизотропия). Поэтому здесь приводятся только окончательные результаты исследований. Ради удобства эффективные модули снабжаются индексами L и Т. Индекс L относится к модулю Юнга вдоль волокон, а индекс Т к модулю поперек волокон. Индексы модуля сдвига р, определяют плоскость, в которой происходит сдвиг. Например, — эффективный модуль сдвига для деформаций в плоскости, перпендикулярной волокнам. Величина отрицательное отношение поперечной деформации к продольной при растяжении в продольном (поперечном) направлении. (Некоторые авторы дают разные определения величины v. p, поэтому читателю надо быть осторожным.) Коэффициенты Пуассона модули Юнга связаны соотношением [c.79]

Из этого соотношения получаем значения модуля упругости при сдвиге и коэффициента потерь для демпфирующего материала, которые соответствуют следующим значениям [c.321]

Отсюда следует, что для несжимаемого материала можно принимать коэффициент Пуассона v = 0,5. В этом случае соотношение (3.1) между модулем сдвига G и модулем продольной упругости Е значительно упрощается [c.222]

Для большинства керамических материалов р, составляет 0,25—0,3. Коэффициент Пуассона связан с модулем упругости Е и модулем сдвига G соотношением [c.6]

На микроуровне прочность аморфных сплавов, как и в случае кристаллических тел, определяется упругими модулями. Максимальную прочность на сдвиг можно оценить по соотношению [486] [c.297]

Коэффициент пропорциональности Е называется модулем продольной упругости, или модулем Юнга, р. — коэффициент Пуассона, С — модуль сдвига. Эти коэффициенты связаны соотношением [c.406]

В этих формулах г (ш) — комплексная динамическая вязкость, а т (со) — действительная часть динамической вязкости как функции угловой частоты (смотри определения и обсуждение в гл. 1). Уменьшение показателей вязкости и увеличение модуля сдвига с увеличением частоты или скорости сдвига показано на рис. 4.11 [78]. Эквивалентность г а с 11 ( ) установлена экспериментально, а остальные соотношения — (4.24) и (4.25) — менее точно согласуются с экспериментом [81, 82]. Эти соотношения показывают, что уменьшение вязкости с увеличением скорости сдвига является главным образом результатом увеличения упругости расплава ири высоких скоростях деформации. [c.101]

Следовательно, у ньютоновской жидкости вязкость при растяжении втрое больше сдвиговой вязкости и не зависит от скорости удлинения. Как показывает сравнение, зависимость (5.12) аналогична соотношению между модулем Юнга и модулем сдвига для изотропного несжимаемого упругого тела в области бесконечно малой деформации, например для эластомера (ср. формулы (4.21) и (4.25) из главы 4). Аналогия между каучукоподобным твердым телом и ньютоновской жидкостью, не ограниченная частным типом деформации, весьма полезна и плодотворна. Ее формализм особенно хорошо подходит для демонстрации аналогии и будет нами использован в дальнейшем анализе механического поведения эластичных жидкостей. [c.133]

Для определения оптимальной намотки цилиндрической оболочки необходимо знать характеристики упругости каждого монослоя в произвольной системе координат. Они определяются четырьмя независимыми параметрами модулями упругости в направлении основы и утка Ei, Е2, модулем сдвига G и одним из коэффициентов Пуассона ui, 1/2, которые связаны соотношением Е Ь 2 — 21 1. [c.198]

Модуль Юнга Е, коэффициент Пуассона v и модуль сдвига G связаны соотношением = 20(14- )- Поэтому независимых упругих постоянных все же только две. [c.25]

Напомним, что в приведенных соотношениях Е, G — соответственно модуль упругости и модуль сдвига пластины h — толщина пластины Ес, F — соответственно модуль упругости и площадь поперечного сечения ребра Т, 5 —удельное нормальное продольное [c.115]

Такую же формулу можно получить осреднением модулей сдвига по Рейссу [ 4.2]. В некоторых случаях зависимость для модуля поперечного сдвига (4.10) дает неудовлетворительные результаты, но учитывая приближенный характер теории оболочек типа Тимошенко, в которой соотношения упругости для поперечных касательных напряжений удовлетворяются интегрально, использование более точных формул, например из работы [ 4,3], нецелесообразно. [c.82]

Для композиционных материалов модуль сдвига G в 5. .. 10 раз меньше нормального модуля упругости, поэтому минимальное значение а р соответствует несимметричной форме разрушения. Коэффициент k, вычисленный по формуле (15), оказывается равным 0,3. .. 0,4 (табл. 3), в то время как осесимметричной форме соответствует k = 0,6. Аналогичные результаты вытекают также из работ [27, 31, 321. При рассмотрении выражения (15) можно отметить, что коэффициент устойчивости ортотропных оболочек а отличие от изотропных не является постоянным и зависит от соотношения упругих постоянных материала. Каждому из них соответствует свое значение верхней и нижней критической нагрузки. Это обстоятельство необходимо учитывать при анализе экспериментов и в практических расчетах. Аналогичные выводы можно получить н из [311. [c.160]

Искажение или деформация некоторого типа, которую мы можем назвать е, создается в теле смеш,ениями. При этом возбуждается напряженное состояние или упругая сила, которую мы можем назвать s. Соотношение между напряжением и деформацией может быть записано так =ее, где е есть коэффициент упругости для конкретного вида деформирования. Этот коэффициент есть модуль Юнга Е, если S и е являются нормальными напряжениями, и модуль сдвига, если они являются касательными напряжениями и деформациями . В твердом теле, свободном от релаксации, S будет оставаться равным е е, и [c.152]

Отбрасывая теперь индекс N) и значок А и сравнивая соотношения (4.48), (4.51) с (2.3) и (2.6), обнаруживаем, что рассматриваемый случай совпадает с проблемой БО упругой оболочки с заменой модуля сдвига G на модуль Gn (или модуля Юнга Е на Ё1 — д>бц). [c.182]

Здесь [X — упругие постоянные Ламе, связанные с модулем Юнга Е, коэффициентом Пуассона v, модулем сдвига G и модулем объемной деформации К соотношениями [c.42]

В соотношения (1.3) входят четыре упругие константы Е, Ez, G 2, Vi ( iV2 = 2Vi), которые определяются экспериментально и представляют собой модули упругости при растяжении ленты в двух направлениях, модуль сдвига и коэффициент Пуассона. [c.9]

Формула (3.5) [4] является полуэмпн-рическим приближением к более точным соотношениям для Трансверсального модуля, вытекающим из решения задачи теории упругости, формула (3.6) представляет собой предел (при Е ->-—> оо) модуля сдвига в плоскости укладки волокон. Исходя из энергетических условий, она описывает нижнюю границу модуля сдвига слоистой среды. Модуль сдвига в плоскости, перпендикулярной к укладке волокон направления 3, при том же предельном переходе имеет идентичное выражение, поэтому указанная формула используется для записи модуля сдвига модифицированной матрицы в плоскости 1 2 укладки слоев. Выражение для коэффициента Пуассона модифицированной матрицы получается при подстановке формул (3.5) и (3.6) в. условие изотропии = 2С 2 (1 - - v 2). Зна- [c.58]

Установлено, материалу 5ерсагЬ-40 свойственно проявление масштабного эффекта, что имеет место не только при изучении разрушения материала 40, но и при определении деформационных характеристик значение модуля сдвига в главной плоскости упругости симметрии (6о), определяемое из опытов на кручение, зависело от диаметра и длины образца (табл. 6.24). Данные табл. 6.24 свидетельствуют о том, что модуль сдвига материала 40, определенный на коротких образцах с малым диаметром, существенно меньше его значения для материала с длинными непрерывными волокнами. Повышенное реальное значение Оо для материала 5ерсагЬ-40 указывает на ограничение снизу, полученное из анализа соотношений (6.1)— (6,3) при = 0,5, которое устанавливает, чтоЗОо > т. е, (Зо > 15,27 ГПа. [c.198]

Для резины, армированной жесткими нитями, модуль упругости при растяжении вдоль волокон определяется в основном модулем упругости волокон, в то время как модуль сдвига материала имеет тот же порядок, что и модуль сдвига неармиро-ванной резины. Таким образом, сопротивление материала деформации сдвига мало по сравнению с его сопротивлением растяжению в направлении нитей. Поэтому в задачах, в которых допускается определенный тип деформации сдвига, можио пренебречь растяжением нитей, рассматривая их как материальные кривые, длина которых не меняется при любой деформации. При таком предположении сложные соотношения между напряжениями и деформациями заменяются ограничениями геометрического характера, что значительно упрощает теорию. [c.288]

В работе [228] исследовали эволюцию структуры и упругие свойства Си, подвергнутой интенсивной деформации РКУ-прессовани-ем при комнатной температуре и последующему отжигу при температурах до 500 °С. Упругие модули Юнга Е и сдвига G вычисляли из величин скоростей v и vt соответственно продольных и поперечных ультразвуковых волн по известным соотношениям [c.169]

Перед тем как проводить нелинейный анализ, необходимо выполнить ряд вычислений на основании линейного подхода для определения как начальных характеристик жесткости композита, так и его предела текучести. Эта процедура осуществлена при помощи метода конечных элементов для повторяющегося сегмента структуры однонаправленного композита. Таким образом определены модули упругости в направлении армирования и в поперечном направлении, модуль сдвига и соответствующие коэффициенты Пуассона однонаправленного слоя. Эти константы позволяют рассчитать упругие свойства композита. Далее из начальных линейных зависимостей о(е) композита можно определить линейные приближения для деформаций композита, соответствующих любым конкретным нагрузкам в плоскости. Затем вычисляются деформации каждого слоя в предположении о том, что нормали к поверхности недеформированного композита остаююя прямыми и перпендикулярными после нагружения. Осредненные напряжения в каждом слое определяются через уже известные соотношения о(е) для слоя. [c.276]

Однонаправленно упрочненный боралюминий может рассматриваться как ортотропный материал, проявляющий изотропию в поперечном направлении, выражаклцуюся через пять независимых упругих констант. Однако боралюминий часто применяется в виде набора монослоев, представляющих элементы конструкций со сложной укладкой. В этом случае он рассматривается как тонкий ортотропный слой, находящийся в плоско-напряженном состоянии, описываемом только четырьмя независимыми упругими константами. Этими константами являются осевой модуль упругости поперечный модуль упругости основной коэффициент Пуассона Vj2 и плоскостной модуль сдвига Подробное объяснение, выражающее соотношение констант в композиционном материале, было сделано Эштоном и др. [6], которые показали, что расчет упругих констант в композиционных материалах может [c.453]

Рис. 4.27. Температурные зависимости динамического модуля упругости при сдвиге ПВХ, пластифицированного различным количеством диэтилгексилсукцината (частота 1 Гц). Соотношение П ВХ/пластификатор

По восходящей ветви кривых, которая показывает развитие упругих деформаций, в принципе возможно измерение модулей сдвига. Задача упрощается для материалов, проявляющих высо кую эластичность. В этом случае упругие деформации могут быть Значительными по величине, что облегчает их измерение. Кроме того, при достаточно высоких скоростях деформаций в пределах значительного изменения т и v они часто бывают связаны прямой пропорциональностью, т. е. удовлетворяется закон Гука т = где Gfl, — модуль сдвига для высокоэластических деформаций. Это значит, что восходящая ветвь кривой т (у) прямолинейна. Такой характер зависимости т от у наблюдается у высокоэластических систем при определенных соотношениях й и скорости регистрации изменения моментов во времени. Как указывалось выше, при больших скоростях регистрации зависимостей т (t) она обращена на начальном участке выпуклой стороной к оси времени. [c.69]

Соотношения (5-12) и (5-13) являются обобщенной формой закона Гука для упругого твердого тела. Они содержат два модуля упругости модуль упругости при сдвиге и модуль унр угости при растяжении (модуль Юнга). Так как эти величины связаны между собой, то можно преобразовать формулы (5-12) так, чтобы выразить соотношение между нормальными напряжениями и деформациями через модуль сдвига. [c.107]

Соотношения между напряжениями и скоростями деформации для ньютоновских жидкостей могут быть получены на основе некоторой аналогии с выражениями (5-18) и (5-19). Например, рассматривая первое из выражений (5-18) и заменяя модуль сдвига величиной, которая выражает его размерность, налишем для упругого твердого тела, следующего закону Гука [c.109]

Как и следовало ожидать, косая перекрестная намотка весьма незначительно повьш1ает критическое усилие цилиндрической оболочки. Это объясняется тем [72], что наиболее оптимальное соотношение модулей упругости в осевом и кольцевом направлениях и модуля сдвига, которое должно было бы привести к существенному увеличению критического усилия, сопровождается возрастанием степени свободы, выражающимся в возможности появления косых форм потери устойчивости, что снижает критическое усилие. [c.220]

Как отмечалось в гл. 2, в упругопластической области свойства металлов характеризуются пределом текучести Уд, модулем Юнга Е, модулем объемного сжатиц К, модулем сдвига С и коэффициентом Пуассона ц. Последние четыре характеристики взаимосвязаны, так что достаточно задать из четверки величин Е, К, С и р любые две. Ни одна из них непосредственно в ударно-волновых экспериментах не измеряется. Из соотношений (2.187) — (2.193) вытекает, что каждая из этих характеристик выражается через упругую продольную Сь и объемную Св скорости звука [c.179]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...