Решение в двойных тригонометрических рядах

РЕШЕНИЕ В ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДАХ [c.167]

На первый взгляд построенное решение (6.79) не отличается ог решения в двойных тригонометрических рядах, так как функция Ф дается в виде ряда и еще берется ряд (6.79) по таким функциям. Но это не так. Ряд (6.79) — это экспоненциальный ряд, так как функция Ф представлена рядом (6.29), члены которого в направлении I изменяются по экспоненциальному закону (6.30). Отсюда вытекает, что в ряду (6.79) достаточно ограничиться двумя-тремя-слагаемыми в силу быстрого убывания функции ipi с ростом l—lo+2kl или U + go + 2A / . [c.277]

Воспользовавшись разложением решений в двойные тригонометрические ряды (4.15), можно обнаружить, что относительно отдельных гармоник разложения система разрешающих уравнений, полученная на основе (4.6), (4.71), оказывается несвязанной. Для отдельной т, п-й гармоники волнообразования можно решать следующую обобщенную задачу на собственные значения [c.205]

Решение в двойных тригонометрических рядах. ... 129 [c.4]

Формула для прогибов при решении в двойных тригонометрических рядах [c.392]

Это решение в двойных тригонометрических рядах было получено Навье. [c.232]

Решение в двойных тригонометрических рядах является достаточно простым и удобным, однако Оно пригодно только для пластин, у которых все четыре края закреплены шарнирно. [c.233]

Воспользовавшись разложением решений в двойные тригонометрические ряды (5.12), получим для т,п-й гармоники волнообразования следующую однородную систему линейных алгебраических уравнений [c.414]

Поскольку получить точное аналитическое решение дифференциального уравнения (20.12) в общем случае невозможно, будем искать его в виде бесконечного ряда. Для пластины с шарнирно опертыми по всем четырем сторонам краями удобно использовать разложение искомой функции прогиба w(x,y) в двойной тригонометрический ряд по синусам [c.436]

Для оболочки открытого профиля с условиями опирания, отличными от шарнирного, изложенный выше метод решения задачи в двойных тригонометрических рядах непригоден. Если два противоположные прямолинейные края открытой оболочки шар-нирно-оперты, а два других — оперты произвольно, то можно применять метод, аналогичный методу М. Леви в теории изгиба пластин, и представить обобщенные смещения в виде одинарных тригонометрических рядов [c.126]

При решении задачи в двойных тригонометрических рядах получим систему уравнений, аналогичную (4. 6), в которой при вычислении матрицы Kmn участвует матрица (4.19) и матрица В , имеющая следующие коэффициенты [c.179]

При решении задачи в двойных тригонометрических. рядах, (4.15) разрешающая система однородных линейных алгебраических уравнений (4.72) будет формироваться согласно (4.73) с помощью следующих исходных матриц Ътп и Rmn [c.209]

Следует отметить, что при получении численных результатов по методу собственных функций осуществлялась проверка вырождения матрицы системы при подстановке собственных значений, правильности определения ранга системы, ортогональности форм собственных колебаний. На основе численного эксперимента проверена устойчивость вычислительного процесса и сходимость метода. Так как решения представляются в двойных тригонометрических рядах, то возникает необходимость их усечения. Анализ числовых результатов показал, что для практических расчетов достаточно удержания первых десяти членов по каждой координате. Это приводит к погрешности в пределах 3 %. [c.504]

Будем искать решение уравнений (146), (147) в двойных тригонометрических рядах [c.57]

Решение уравнения (669) будем искать в двойных тригонометрических рядах [c.195]

Решение этой задачи в двойных тригонометрических рядах было получено В, И. Блохом [4.2, 4.3, 4.5, 4.6]. Решение в рядах по некоторым комбинациям гиперболических функций дано В, Мюллером в работах [4.25—4.27], Решение в виде (4.66) выгодно отличается от всех предыдущих тем, что оно выражено через аналитические функции, позволяющие выделить особенности для усилий н моментов в точках приложения сосредоточенных усилий. [c.137]

Решение уравнения (1.44) проводится в двойных тригонометрических рядах. Для и х, у) получается следующее выражение [c.238]

По пути улучшения сходимости рядов типа (1.45) идет Мюллер [4.25—4.27], который дает расчет покрытия, опирающегося на большое число колонн прямоугольной формы в плане, расположенных в узлах прямоугольной сетки периодов, а также расчет фундамента под колоннами. Принимаются следующие схемы. Покрытие рассматривается как тонкая упругая пластина, опирающаяся на двоякопериодическую систему опор и загруженная вне опорных площадок равномерно распределенной нагрузкой. Предполагается, что реактивные усилия на опорных площадках также распределены равномерно. Фундамент рассматривается как тонкая пластина, лежащая на упругом основании и нагруженная по опорным площадкам равномерной нагрузкой. Исходное решение для прогиба в двойных тригонометрических рядах преобразовывается путем сворачивания внутренних сумм, в результате чего решение записывается в виде одинарного ряда. [c.239]

Определение функций W, удовлетворяюш,их уравнению (6.5) и граничным условиям, представляет собой сложную математическую задачу. Часто решение ведут,- представляя функцию прогибов, а также внешнюю нагрузку и неизвестные усилия X, и в разрезах многопролетной плиты в двойных тригонометрических рядах. [c.137]

Существо метода, предложенного Навье (1820 г.) для решения уравнения (7.13) в случае свободно опертых кромок, состоит в том, что функция прогиба ю представляется в виде двойного тригонометрического ряда [c.152]

Решение уравнения (8.15) будем искать в виде двойного тригонометрического ряда по синусам [c.129]

Интегрирование системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки в обобщенных смещениях является довольно сложной задачей, так как сводится к решению совместной системы пяти алгебраических уравнений (метод двойных тригонометрических рядов) либо к решению пяти обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых второго порядка (метод одинарных тригонометрических рядов). Естественно поэтому стремление иметь в арсенале разрешающих средств теории цилиндрических оболочек и более простые по структуре уравнения, обеспечивающие одновременно достаточную точность в инженерных расчетах. [c.126]

Решение будем искать в виде двойных тригонометрических рядов [c.176]

При симметричном (относительно вертикальной плоскости г/=0) нагружении в случае, когда оси упругой симметрии совпадают с линиями главных кривизн, решение может быть представлено в виде двойных тригонометрических рядов [c.238]

Ранее в работе [6] была изложена схема представления периодических решений уравнений Буссинеска применительно к задаче об исследовании естественной конвекции в плоском горизонтальном слое, находящемся в поле тяжести, на основе использования двойных тригонометрических рядов специального вида. [c.381]

Отрезки рядов такого вида как в периодическом, так и в непериодическом случаях применялись С.Н. Бернштейном [2] для рассмотрения аналитичности решений нелинейных эллиптических уравнений. С.С. Титов [7] обнаружил, что применение двойных тригонометрических рядов для представлений периодических решений нелинейных уравнений с частными производными в случае задачи Коши приводит к рекуррентной процедуре вычисления коэффициентов рядов в отличие ОТ обычного метода Фурье, когда получение рекуррентной цепочки уравнений для коэффициентов связано с необходимостью искусственного обрезания рядов. [c.381]

Загружение сосредоточенной силой свободно опертой прямоугольной пластинки. Пользуясь методом Навье, мы получили (в 29) выражение в виде двойного тригонометрического ряда для прогиба пластинки, несущей сосредоточенный груз Р в некоторой точке л = , y = t (рис. 70). Для того чтобы найти эквивалентное ему решение в виде ординарного ряда, начнем с того, что представим решение Навье следующим образом [c.165]

Изгиб прямоугольной анизотропной пластинки. Если пластинка свободно оперта по всему контуру, то решение уравнения (213) может быть выполнено тем же методом, что и в случае изотропной пластинки. Применим метод Навье (см. 28) и предположим, что пластинка загружена равномерно распределенной нагрузкой. Расположив ОСИ координат, как показано на рис. 59, и представив нагрузку в виде двойного тригонометрического ряда, напишем для ЭТОГО случая дифференциальное уравнение (213) [c.413]

Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, может быть взято в виде двойного тригонометрического ряда [c.413]

Изгиб срединной поверхпостп оболочки описывается уравнением (9.67). Для решения задачи применим способ Навье, т. е. разложим искомое решеппе в двойной тригонометрический ряд по синусам, а внешнюю произвольную нагрузку д(х, у) также разложим в двойной ряд по синусам. При этом будем иметь [c.259]

Наряду с излагаемым здесь методом решения в одинарных тригонометрических рядах для пластин, опертых по всему контуру, используют также решение в двойных рядах [50]. Это решение прош,е по форме, но получаемые с его помощью ряды сходятся хуже, чем одинарные., [c.68]

При решении задачи с помощью метода Рэлея—Ритца движение системы будем считать периодическим с круговой частотой со. Для граничных условий типа шарнирного опирания функции, аппроксимирующие распределение перемещений (5.71), разложим в двойные тригонометрические ряды по координатам х, у [c.229]

Получим решение уравнений (6.46). .. (6.48) в двойных тригонометрических рядах. Положим, что оболочка нагружена нормальным к поверхности распределенным усилием рп — р, симметричным отно- [c.159]

Выводом уравнений изгиба пластинок, на основании молекулярной модели и обпщх уравнений теории упругости, занимались Пуассон, Навье и Коши. У Навье мы находим вполне строгое уравнение для статического изгиба пластинки как для случая нормальной нагрузки, так и для случая выпучивания пластинки под действием сил на контуре, лежащих в плоскости пластинки В случае свободно опертой прямоугольной пластинки Навье получил правильное решение, использовав двойные тригонометрические ряды. Общим анализом условий на контуре пластинки занимался Пуассон , однако он сформулировал одно лишнее условие на контуре в случае задания на нем внеш-58 них сил. Правильное число условий было указано позже Г. Кирхгофом и ясно интерпретировано физически В. Томсоном . Кирхгофу принадлежит общая теория изгиба стержней, а также теория пластинок, основанная на четких гипотезах, близких к гипотезе плоских сечений в элементарной теории изгиба, и вполне строгий вывод известных уже уравнений малых прогибов пластинок при помощи принципа виртуальных перемещений. Позже Кирхгоф и Клебш развили теорию для не слишком малых прогибов пластинок. [c.58]

Приведенное выше решение Павье в двойных тригонометрических рядах ограничено тем, что все четыре кромки пластины должны быть шарнирно закреплены. Использование одинарных тригонометрических рядов в изгибе пластины сугцествепио расширяет класс задач, допускаюгцих решение. Искомое решение иринимается в виде [c.131]

Первое решение задачи об изгибе свободно опертой прямоугольной пластинки и применение для этой цели двойного тригонометрического ряда принадлежит Навье, который представил доклад на эту тему во Французскую Академию наук в 1820 г. Краткое содержание этого доклада было опубликовано в Bull. So . phil.-math., Париж, 1823. Рукопись его хранится в библиотеке Парижской школы мостов и дорог. [c.128]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...