Главные оси инерции симметричных тел

ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ СИММЕТРИЧНЫХ ТЕЛ [c.251]

В приведенных примерах рассматривались симметричные тела, чего для решения задач, с которыми мы будем сталкиваться, достаточно. Однако можно доказать, что через любую точку какого угодно тела можно провести, по крайней мере, три такие взаимно перпендикулярные оси, для которых будут выполняться равенства (1Г), т. е. которые будут главными осями инерции тела для этой точки. [c.271]

Вращение твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии, вокруг неподвижной оси, перпендикулярной к этой плоскости. В этом случае неподвижная ось вращения тела является главной осью инерции тела в точке О. Каждой точке Ml (рис. 224, а) соответствует точка М 1 такой же массы, симметричная относительно заданной плоскости (на рис. 224, а эта плоскость заштрихована). [c.285]

Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки в поле силы тяжести. С помощью ортонормированных векторов, е з, вз, жестко связанных с телом, зададим направления главных осей инерции относительно неподвижной точки О. Соответственно Л, В, С суть главные моменты инерции. Потребуем, чтобы тело было динамически симметричным (эллипсоид инерции был эллипсоидом вращения). Например, пусть [c.478]

В общем случае определение направления главных центральных осей инерции тела представляет собой весьма сложную задачу. Однако очень часто можно установить направление главных центральных осей инерции, исходя из соображений симметрии. При этом пользуются следующими свойствами главных осей инерции при наличии симметричной формы тела [c.566]

Каждая плоскость симметрии относительно распределения масс является, конечно, и плоскостью симметрии эллипсоида инерции нормаль к этой плоскости определяет одну из главных осей этого эллипсоида. Распределению масс с симметрией вращения соответствует эллипсоид инерции, являющийся эллипсоидом вращения следовательно, это распределение масс наряду с главной осью, совпадающей с осью симметрии тела, имеет еще бесчисленное множество экваториальных главных осей инерции. Примерами могут служить обыкновенный игрушечный волчок и волчок в форме маховичка, которым обычно пользуются для демонстраций (рис. 40а и б). У первого волчка момент инерции относительно оси симметрии минимален поэтому соответствующая главная ось (в силу соотношения р = 0 /2) длиннее экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет продолговатым. У второго волчка, напротив, момент инерции относительно оси симметрии максимален поэтому (в силу того же соотношения) соответствующая главная ось короче экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет сплюснутым. В обоих случаях мы имеем дело с симметричными волчками. [c.166]

Для однородных симметричных тел выполнение условий (39)—(41) можно усмотреть без вычислений. Так, например, если тело имеет плоскость симметрии и точка О лежит в этой плоскости, то легко понять, что ось Ог, перпендикулярная к плоскости симметрии, будет главной осью инерции [т. е. будут выполняться условия (39)]. [c.364]

Ось Z называется главной осью инерции, если Jy = Jzx = О-Если тело симметрично относительно оси, то эта — ось главная. [c.171]

В системе осей, связанных с телом, тензоры I и Л представляют собой постоянные симметричные матрицы (в неподвижном пространстве I, Л зависят от координат), которые вследствие коммутативности (1Л = Л1) одновременно приводятся к диагональному виду. Соответствующая система координат в теле называется главной, а ее оси — главными осями инерции). [c.50]

Лагранж в Аналитической механике также дал свое решение задачи Эйлера в это решение я внес всю ясность, и если можно так выразиться, все изящество, которое можно придать этому решению . При этом уже Лагранж считал этот случай слишком простым ... поэтому я льщу себя надеждой, что меня не упрекнут за повторное рассмотрение настоящей проблемы . В его решении замечательным является то, что здесь впервые было явно показано существование трех главных осей инерции у произвольного твердого тела (приводимость симметричной матрицы к диагональному виду) — хотя последнее и не имеет никакого отношения к самому случаю Эйлера. В решении Лагранжа также имеются эллиптические интегралы, но еще не возникает идея их обращения — которая появляется уже у Якоби и достигает своего совершенства и определенной законченности у Вейерштрасса, Эрмита и Альфана. [c.101]

У тел с симметричным распределением массы всякая ось симметрии является главной осью инерции. Например, у однородного цилиндра таковыми являются ось симметрии, параллельная образующей цилиндра (указанная на рисунке вверху страницы) и бесчисленное множество перпендикулярных ей осей симметрии, проходящих через центр масс цилиндра. У однородного шара любая ось, проходящая через его центр, является главной осью инерции. Убедиться в инерционности вращения тела относительно главных осей инерции можно, если подбрасывать пустой спичечный коробок, щелчком вовлекая его во вращение. Инерцию проявят только вращения относительно главных осей / и 2 (рис. 50), а вращение относительно оси 3 с промежуточным по величине главным значением момента инерции /3 (/, > /, > /,), как и относительно любой другой оси, осуществить не удастся. [c.67]

При преобразованиях для получения уравнений (99)—(101) встречается одна особенность. Ось Оу вращения ротора (см. рис. 44, б) является осью симметрии, а поэтому и главной центральной осью инерции ротора. Ротор имеет плоскость симметрии, которая проходит через ось вращения перпендикулярно плоскости хОу. Согласно известному свойству симметричных тел любая ось, проведенная перпендикулярно этой плоскости, является главной осью инерции, а ось, проходящая через центр тяжести, — главной центральной осью инерции. Оси Оу и проходящие через центр инерции т , являются главными центральными осями инерции. При преобразованиях появляются две величины Л и А х, пропорциональные центробежным моментам инерции относительно главных центральных осей, т. е. Л = д к [c.151]

Симметричным быстровращающимся гироскопом называется быстровращающееся вокруг оси z его симметрии твердое тело, одна из точек которого О закреплена, а эллипсоид инерции относительно этой точки есть эллипсоид вращения. Ось z симметрии эллипсоида инерции (рис. 1.1, а) называется главной осью, или осью фигуры гироскопа. [c.41]

Собственные значения тензора инерции и главные оси преобразования. Предыдущие рассуждения имели целью подчеркнуть ту важную роль, которую играет тензор инерции при изучении движения твердых тел. С этой точки зрения исследование свойств этого тензора и связанной с ним матрицы представляет значительный интерес. Из формулы (5.7) видно, что составляющие этого тензора симметричны, т. е. [c.172]

Движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. Регулярная прецессия. Будем называть тело динамически симметричным если два его главных момента инерции для точки О равны, например А = В. Ось Oz тогда будем называть осью динамической симметрии. Исследуем движение динамически симметричного тела в случае Эйлера. [c.191]

Хорошо известно из теории тензоров второй валентности, что для симметричного тензора всегда можно подобрать такую ориентацию осей, что тензор инерции превратится в диагональный тензор. Преобразование к таким осям носит название преобразования к главным осям, а про тензор говорят, что он приводится к главным осям. Следует подчеркнуть, что в общем случае, когда ориентация твердого тела меняется во времени, меняется со временем и ориентация его главных осей в пространстве. Если только не оговорено противное, мы всегда будем предполагать, что оси XVZ, жестко связанные с телом, совпадают с главными осями тензора инерции. Тот факт, [c.103]

Координатные оси являются главными центральными осями инерции, так как тело симметрично относительно этих осей Имеем (рис. 12 9) [c.281]

Рассматриваемая система уравнений. Пусть имеем асимметричное твердое тело, вдоль одной из главных центральных осей инерции которого закреплена ось вращения однородного симметричного маховика. Вращательное движение этой системы гиростата) вокруг центра масс описывается уравнениями [c.178]

Принимается, что оси триэдра Ох у г (причем Ог — ось симметрии поверхности вращения) являются главными центральными осями инерции главные центральные моменты инерции обозначаются через Л, В, С. Необязательно А= В, так как распределение масс в теле может и не быть симметричным относительно оси Ог, [c.385]

Выражение (8.62) заметно упрощается, если моменты инерции относительно двух главных осей равны друг другу (в этом случае тело называется симметричным волчком). Действительно, направляя по этим главным осям оси О х и О у и полагая Jx — Jy, из (8.62) найдем [c.368]

Пример 2. Твердое тело подвешено иа двух равных и параллельных нитях, присоединенных к нему в двух точках, симметрично расположенных относительно главной центральной оси инерции, которая вертикальна. Будучи повернуто вокруг этой оси иа малый угол, тело затем совершает малые, но конечные колебания. Исследовать редукцию к бесконечно малым колебаниям. [c.289]

Если тело симметрично относительно некоторой прямоуголь-ной системы осей с началом в G, то будем иметь 2 2— О и т. д., так что член ) разложения потенциала полностью уничтожается. Таким образом, относительная ошибка выражения (ц ) для V порядка (//р) . Это имеет место, например, для Земли, которая но своей форме и структуре симметрична относительно главных центральных осей инерции. [c.383]

Под круглым диском или просто диском ниже понимается твердое тело, динамически симметричное относительно некоторой оси и ограниченное острым краем, представляющим собой окружность. Плоскость, в которой лежит эта окружность, перпендикулярна к динамической оси симметрии, а центр окружности совпадает с центром масс, лежащим на динамической оси. Радиус диска, т. е. радиус ограничивающей его окружности, и его массу примем за единицу длины и соответственно массы. Главные центральные моменты инерции диска обозначим через Л и С, где Л — экваториальный момент, С — полярный момент инерции. [c.58]

Если полость симметрична относительно оси у, то этим свойством будет обладать и функция F. Поэтому в обоих интегралах формулы (35) подиптегральная функция будет при переходе от точки (х, у) к точке (— х, у) сохранять величину, но менять знак, вследствие чего [J>j, фз] = О, и наши оси координат будут главными осями инерции эквивалентного тела. [c.212]

Следовательно, главные моменты количеств движения симметричного твердого тела относительно осей I, т). С, являющихся главными осями инерции в неподвияаюй точке О, имеют вид [c.531]

Ось г называется главной осью инерции, если J VZ— Jzx = О-Егли тело симметрично относительно оси, то эта ось главная. Если тем симметрично относительно плоскости, то всякая прямая, перпендикулярная к этой плоскости, есть главная ось. [c.393]

При определении противовесов к несимметричным вращаюптимся телам или при определении влияния не вполне правильной установки уравновешенного по своей форме тела на дополнительные динамические давления в подшипниках представляет интерес следующая задача. Пусть АВ — ось вращения твердого тела (рис. 1). Известен центр его тяжести С, положение главных осей инерции Су и Сг — они в плоскости чертежа, как и ось АВ. Тело имеет любую форму, в частности, это может быть любое тело, симметричное относительно плоскости чертежа (пластинка любой формы, параллелепипед, любой эллипсоид, любое тело вращения с осью Су, дуга окружности и т. п.). [c.78]

Мы не будем вводить систему координат, жестко связанну10 с ротором, так как ротор представляет собой симметричное тело относительно оси х и поэтому любая ось в плоскости уг для ротора будет главной осью инерции. Однако для вывода уравнений движения ротора можно воспользоваться формулами (14.9). Будем только помнить, что введенная при выводе формул (14.9) система координат Ох у г , в рассматриваемом случае является системой координат Охуг. Проекции момента количеств движения ротора на оси х, у и г согласно формулам (13.9) и (15.9) будут [c.359]

Иначе обстоит дело, если молекулы являются абсолютно гладкими недеформируемыми телами, которые имеют либо форму тел вращения, отличную от шарообразной, либо форму шаров, но такую, что центр тяжести не совпадает с центром шара. Если они являются телами вращения, не имеющими формы шара, то принимается, что либо масса их расположена вообще совершенно симметрично относительно оси вращения, либо что ось вращения является по крайней мере главной осью инерции, что центр тяжести лежит на ней и моменты инерции молекулы относительно всех прямых, проведенных через центр тяжести перпендикулярно к оси вращения, одинаковы. Если они являются шарами с эксцентрично расположенным центром тяжести, то точно так же моменты инерции молекулы относительно всех прямых, проведенных через центр тяжести перпендикулярно к линии, соединяющей центр тяжести с центром мо.чекулы, должны быть одинаковы. Тогда только вращение относительно оси симметрии не будет оказывать влияния на столкновения. Все другие вращения будут все время изменяться столкновениями, так что их живая сила должна прийти в тепловое равновесие с живой силой поступательного движения. [c.391]

Пример 2. РЕГУЛЯРНАЯ ПРЕЦЕССИЯ ТЯЖЕЛОГО СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСКОПА. Симметричным гироскопом называется тело, обладающее полной материальной симметрией относительно некоторой оси, закрепленной в неподвижной точке1>, и вращающееся вокруг этой оси с очень большой угловой скоростью Гироскоп называется тяжелым, если центр тяжести его не совпадает с неподвижной точкой (см. рис. 3, где О — неподвижная точка, С — центр тяжести, I — расстояние ОС). Для определения положения гироскопа выбираем неподвижную точку О за начало двух систем координат — неподвижной Oл г/Jг и подвижной, неизменно связанной с гироскопом, Охуг. Оси последней системы пусть будут главными осями инерции гироскопа для точки О. Ось Ог — ось симметрии гироскопа. Положение гироскопа будет однозначно определено заданием трех углов (утлы Эйлера) [c.33]

То, что движение симметричного тела по инерции является регулярной прецессией, может быть установлено и из геометрической интерпретации Пу-ансо (см. стр. 198 — 199). Действительно, в случае Л = В эллипсоид инерции для неподвижной точки является эллипсоидом вращения. Поэтому при качении этого эллипсоида без скольжения по неподвижной плоскости, перпендикулярной постоянному вектору Ко, точка касания описывает на плоскости окружность. Ось —одна из главных осей эллипсоида следовательно, при движении тела по инерции эллипсоид инерции (а значит, и тело ) вращается вокруг оси сама же ось прочерчивая окружность на плоскости, перпендику-л."рной Ка, вращается вокруг Ко- [c.202]

Центр масс однородного симметричного тела находится в плоскости си.мметрии. Поэто.му одна из главных центральных осей инерции перпендикулярна плоскости симметрии, а две другие расположены в этой плоскости. [c.274]

После введения углов Эйлера выводятся два уравнения движения твердого тела одно —описывающее его поступательное движение, другое — его вращательное движение. Получено выражение для кинетической энергии твердого тела, записанное через его моменты инерции и угловые скорости, отнесенные к главным осям тела. Выведены уравиенпя Эйлера и прилагаются к рассмотре-н по твердых тел, на которые не действуют внешние силы, и к рассмотрению тяжелого симметричного волчка. Обсуждается прецессия и нутация земной оси, обусловленная солнечными и лунными силами тяготения. В последнем параграфе рассматриваются силы Кориолиса и их влияние на свободное падение тел и движение сферического маятника (маятник Фуко). [c.98]

Связанную с телом систему координат обозначим через Охуг (рис. 6.1). Эта система координат выбирается таким образом, что тензор инерции в данной системе имеет диагональный вид diag ЦJJJ . Распределение масс примем таким, что продольная главная ось инерции совпадает с осью СО (это ось Ох а оси Оу и Ог лежат в плоскости диска Р и образуют правую систему координат. Более того, рассматривается случай динамически симметричного твердого тела, т.е. [c.237]

Яо — кинетическая энергия (функция Г амильтона интегрируемой задачи Эйлера о движении тела по инерции), а Н — потенциальная энергия тела в однородном поле силы тяжести (е — произведение веса тела на расстояние от центра масс до точки подвеса). Будем считать параметр е малым (ср. с п. 2.1, гл. 5, пример 2). Это эквивалентно изучению быстрых вращений тела в умеренном силовом поле. В невозмущеиной интегрируемой задаче Эйлера можно ввести переменные действие — угол /, ф. Формулы перехода от специальных канонических переменных. I, О, I, к переменным действие — угол I, ф можно найти, например, в работе [12]. В новых переменных Я= = Яо(/)+еЯ (/, ф). Переменные действие 1, /г могут изменяться в области А= /1 /2, /г О . Гамильтониан Яо(Л,/2) — однородная функция степени 2, аналитическая в каждой из четырех связных подобластей Д, на которые делят область три прямые Л], Л2 и /[ = 0. Уравнение прямых П1 и яг есть 2Яо//г = Они симметричны относительно вертикальной оси и стремятся к прямой /1 = 0, когда А - Ах и к паре прямых 1/1 = 2, когда Аг- Аз (напомним, что А, Аг, Аз — главные моменты инерции тела и Ах Аг Аз). Линии уровня функции Но изображены на рис. 57. [c.234]

Будем считать, что / , Л,- — некоторые известные функции времени. Например, если в твердом теле имеются симметричные маховики, свободно вращающиеся вокруг своих осей, то главные моменты инерции и гиростатические моменты будут постоянными величинами. Такую систему Кельвин назвал гиростатом. В динамике изменяемого тела возможны и другие постановки задачи. Например, Зейлигер и Чета-ев рассматривали подобно изменяемое тело и для замыкания системы уравнений (3.15)-(3.16) добавляли уравнение для скорости лучистого расширения. [c.200]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...