Устойчивость движения по первому приближению

Устойчивость движения по первому приближен и ю. Решение задач на определение устойчивости движения прямым методом интегрирования дис[ ференциальных уравнений возмущенного движения в большинстве случаев не может быть осуществлено ввиду невозможности получения решения в замкнутом виде. [c.651]

В связи с этим широкое распространение получил способ определения устойчивости движения по первому приближению. Этот способ был известен задолго до появления классического труда А. М. Ляпунова (Общая задача об устойчивости движения, 1892 г.). Однако именно А. М. Ляпунов впервые установил условия, при которых первое приближение позволяет судить об устойчивости движения исходной системы, движение которой описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. [c.651]

Способ определения устойчивости движения по первому приближению заключается в следующем. [c.651]

Полученное условие устойчивости справедливо не только для линейных, но и для линеаризованных уравнений независимо от членов выше первого порядка малости. В этих случаях говорят об устойчивости движения по первому приближению (теорема Ляпунова) . Однако в случае нулевых или чисто мнимых корней линеаризованного уравнения требуется дополнительное исследование устойчивости. [c.86]

Устойчивость траекторий (1). Впервые понятие устойчивости было установлено для системы, выведенной из положения равновесия ( 9.1). В 9.9 мы это понятие применили при исследовании равновесия гироскопической, системы, а в 9.6—при исследовании установившегося движения гироскопической системы. Наконец, при изучении уравнений в вариациях ( 23.1) мы ввели понятие устойчивости движения по первому приближению. [c.471]

Согласно теореме Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению, если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмуш нное движение асимптотически устойчиво независимо от членов выше первого порядка малости. [c.73]

I 9. Об устойчивости движения по первому приближению...........46 [c.7]

Следует отметить, что положительное решение вопроса о существовании функций.Ляпунова не только обосновало универсальность второго метода Ляпунова, но и позволило развить теорию устойчивости движений по первому приближению, при постоянно действующих возмущениях, при вариациях параметров, при наличии запаздываний и т. п. Это объясняется тем, то наличие функций Ляпунова обычно позволяет доказать сохранение соответствующих свойств при малых изменениях правых частей уравнений (1.1). [c.20]

Об устойчивости движения по первому приближению Рассматривая уравнения возмущенного движения вида [c.46]

При изучении устойчивости движения по первому приближению приходится для определения всех корней характеристического уравнения развертывать характеристический определитель, превращая уравнение (1.58) в обыкновенное алгебраическое уравнение л-й степени относительно X. Для п > 5 это развертывание становится сложной (по числу операций) задачей. [c.45]

Полезно напомнить еще раз, что все приведенные нами условия устойчивости являются только достаточными условиями устойчивости лагранжева движения по первому приближению и что никаких заключений об устойчивости вообще из этих условий вывести нельзя. [c.384]

Исследования А. М. Ляпунова относятся к постановке и рассмотрению общей задачи устойчивости движения, определяемого системой дифференциальных уравнений. В своей знаменитой докторской диссертации, опубликованной впервые в 1892 году, Ляпунов (1] дал строгое определение понятия устойчивости, указал случаи, когда вопрос об устойчивости решается по первому приближению, а также рассмотрел особые случаи, когда по первому приближению об устойчивости судить невозможно. [c.6]

Таким образом, исследование по первому приближению позволяет окончательно ответить на вопрос об устойчивости движения в тех случаях, когда корни характеристического уравнения имеют отрицательную или положительную вещественную часть. [c.652]

Ссылка автора на теорему Ляпунова ошибочна, а его точка зрения на значение метода малых колебаний при рассмотрении частных практических вопросов может ввести читателя в заблуждение. Метод малых колебаний приводит к исчерпывающему ответу, если все корпи характеристического уравнения имеют действительные отрицательные части или в том случае, когда хотя бы один из них имеет положительную вещественную часть. Если же имеются корни, действительные части которых равны нулю, то нельзя судить об устойчивости и неустойчивости по первому приближению, так как все будет зависеть от членов более высокого порядка в уравнениях возмущенного движения. Если псе корпи чисто мнимые, то требуется дополнительное исследование. Обычно это встречается при исследовании устойчивости консервативных систем, по в этих случаях можно вывести необходимое заключение из анализа интеграла энергии. Если в рассмотрение входят диссипативные силы, что обычно и бывает при решении технических проблем, то можно потребовать, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. В тех случаях, когда все же нельзя удовлетворить этому условию и когда входит, например, один нулевой корень, следует обратиться к исследованиям особых случаев" Ляпунова или изменить постановку задачи, что иногда бывает возможно. [c.425]

При Л +00 имеем А(Л) +оо. Но А(0) = Ai Л2. .. и в силу нечетности степени неустойчивости А(0) < 0. Следовательно, характеристическое уравнение имеет хотя бы один положительный корень и, согласно теореме п. 237 об устойчивости по первому приближению, положение равновесия = q2 =. .. = = О неустойчиво независимо от нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения, т. е. если степень неустойчивости нечетна, то стабилизация гироскопическими силами невозможна. [c.539]

Как показано в п. 189, многочлен р(Л) — четная функция Л. Поэтому если уравнение (5) имеет корень X = а с отличной от нуля вещественной частью, то система (3) неустойчива, так как либо сам этот корень, либо противоположный ему по знаку корень Л = —а имеет положительную вещественную часть. Согласно теореме об устойчивости по первому приближению (п. 237), в этом случае неустойчива и полная нелинейная система уравнений возмущенного движения (1). [c.544]

Если точка Pq является точкой максимума функции V или седловой точкой, то движение неустойчиво, если Р = 0. Но в некоторых случаях можно достигнуть устойчивости или по крайней мере устойчивости по первому приближению, если придать параметру р достаточно большое значение. В этом случае говорят о гироскопической устойчивости, с ним мы встречаемся в задаче о спящем волчке. [c.180]

Итак, мы пришли к следующему результату. Если а есть меньшая из полуосей а, Ь, с, то движение устойчиво по первому приближению при всех значениях угловой скорости (как этого и следовало ожидать). Если а есть средняя полуось, то движение всегда неустойчиво. И наконец, если а — длинная полуось, то устойчивость имеет место для значений угловой скорости, превышающих некоторое критическое значение Q. [c.243]

В следующем параграфе мы найдем решение уравнений (23.1.7),, принимающее значение 6 при f = 0. Если это решение таково, что величина остается малой вместе с б в течение всего времени, то соответствующее невозмущенное движение называют устойчивым по первому приближению или устойчивым в бесконечно малом. [c.458]

В частности, если постоянные Я все чисто мнимые, то решение содержит лишь синусы и косинусы, аргумент которых пропорционален . В этом случае величина ( , будучи малой в начальный момент, остается малой и в дальнейшем, так что исходное движение устойчиво по первому приближению. [c.464]

Рассуждая подобно тому, как это мы делали в 23.3, где рассматривался случай постоянной матрицы , можно из (23.4.16) установить тип решений для различных случаев. Если все характеристические показатели имеют отрицательные вещественные части, то во всех случаях движение асимптотически устойчиво по первому приближению. (Это следует из того, что если 7V и А — положительные числа, то -> О, когда t-> оо.) Если все пока- [c.467]

Сделаем по поводу полученных результатов два замечания. Во-первых, устойчивость по первому приближению еще не означает устойчивости при рассмотрении точных уравнений (гл. XIX). Кроме того, в этом случае мы лишены возможности вывести суждение об устойчивости из интеграла энергии, как это мы делали в теории малых колебаний (гл. IX). Во-вторых, если система устойчива при рассмотрении точных уравнений, а также в первом приближении, то это связано с влиянием линейных членов Ti в выражении для L. Благодаря им в уравнениях движения появляются гироскопические члены. При отсутствии слагаемых мы имели бы задачу о движении в поле консервативных сил, а для такого поля потенциальная функция в точках Ni и имеет максимум, и эти точки являются положениями неустойчивого равновесия. [c.570]

Если величины mi, niz, пгз удовлетворяют неравенству (29.9.5), то решение для равностороннего треугольника Лагранжа будет устойчиво по первому приближению. Однако, как мы видели, это еще не означает устойчивости при переходе от линейного приближения к точным уравнениям движения. [c.587]

Признаки устойчивости или неустойчивости движения, в зависимости от знаков корней характеристического уравнения нормальной системы первого приближения, составляют содержание теорем Ляпунова об устойчивости автономных систем по первому приближению. [c.74]

Именно этот результат дает подстановка в формулу (42) выражений (36), т. е. движение всюду устойчиво по первому приближению. [c.14]

Для неавтономных систем (р. и Xf явно зависят от t) задача исследования устойчивости по первому приближению существенно усложняется. О свойствах решения системы дифференциальных уравнений возмущенного движения в этом случае судят по характеристичным числам. [c.39]

Механические системы, как правило, обладают нелинейными свойствами. В прикладных расчетах, полагая отклонения от невозмущенного движения (равновесия) достаточно малыми, вкладом нелинейных факторов обычно пренебрегают, что сильно упрощает как аналитические выкладки, так и численные расчеты. Принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, позволяет анализировать раздельно влияние разных факторов и оценивать их результирующий эффект путем сложения частных решений. Этот путь кажется естественным и при анализе устойчивости, тем более что при этом анализе возмущения, как правило, малы по определению. Отбрасывание нелинейных членов (при условии их аналитичности в окрестности невозмущенного движения) представляется интуитивно оправданным. Однако строгай анализ показывает, что это можно делать далеко не всегда. Ответ на вопрос о том, при каких условиях допустимо линеаризировать уравнения возмущенного движения, дает теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.459]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Первый метод, говоря словами Ляпунова, сводится к непосредственному исследованию возмущенного движения и основан на изучении общих или частных решений дифференциальных уравнений (Ь). При выяснении важнейшего вопроса о том, когда можно судить об устойчивости по первому приближению, т. е. ограничиваясь в правых частях уравнений (Ь) линейными членами, требуется изучить поведение решений однородной линейной системы [c.125]

Исходя из Теоремы 1, можно предложить следующий метод исследования устойчивости по первому приближению невырожденного периодического движения с ударами Линеаризуем систему (7) [c.246]

В своем классическом труде Общая задача об устойчивости движения А. М. Ляпунов развил два метода решения задач об устойчивости движения так называемый прямой метод и метод исследования по первому приближению . [c.259]

Ещё одним важным аспектом В. т. в классич. механике являются возмущения траекторий, вызванные малым изменением нач. условий. Здесь следует отметить выяснение проблемы устойчивости движения по первому приближению В. т. При нек-рых, довольно слабых ограничениях имеются след, утверждения (А, А. Ляпунов, 1892). Пусть изменение нач. условий характеризуется малым параметром е. Если поправки к репюнию, иолученные в нервом приближении по s, не содержат экспоненциально нарастающих по времени членов, то движение в целом будет устойчивым. Если такие члены содержатся в первом приближении, то движение окажется неустойчивым. Т. о., отброшенные члены, соответствующие высшим приближениям по е, не влияют на устойчивость движения. [c.303]

Напомним, что утверждая об устойнивости движения по первому приближению (в смысле Ляпунова), имеют в виду ситуацию, когда на основе анализа уравнений в вариациях (в предположении, что оно точно описывает возмущенное движение) устанавливается асимптотическая устойчивость этого движения. Как показал Ляпунов, в этом случае учет нелинейных членов в уравнениях к змущенного движения не может изменить суждения от устойчивостн. [c.72]

Устойчивость движения при наличии гироско-п и веских си л. Система, неустойчивая сама по себе, может быть сделана устойчивой по первому приближению путем введения гироскопических сил только в том случае, если число неустойчивых степеней свободы четно. Эта теорема была доказана Кельвином. [c.657]

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16, 17, 21]. Они дают возможность решить задачу об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы уравнений (2.8) рассмотрением лишь линейной системы уравнений первого приближения (2.9) независимо от выбора векторчрункции Р. [c.83]

Полностью вопрос об устойчивости в этом случае не может быть решен рассмотрением линейной задачи. Согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению строюе решение возможно лишь при учете нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения. [c.84]

Устойчивость вращающегося эллиисоида. В качестве примера применения уравнений движения (13.15.13) рассмотрим задачу об эллипсоиде, вращающемся около своей оси а с угловой скоростью со. Спрашивается, при каких условиях это движение устойчиво по первому приближению относительно малых возмущений Предполагая, что возмущенное движение мало отличается от невозмущенного, будем считать т, п, со2, з малыми величинами одного порядка, что позволит нам составить уравнения движения с необходимой степенью точности. Итак, пренебрегая членами второго порядка, будем иметь [c.242]

В работе Общая задача об устойчивости диижепия Ляпунов поставил следующую задачу указать те случаи, в которых первое приближение полностью решает вопрос об устойчивости или неустойчивости движения, и дать способы, позволяющие решать этот вопрос по крайней мере в некоторых из тех случаев, когда по первому приближению нельзя судить об устойчивости. [c.248]

Строгие методы теории устойчивости движения могут быть распространены на распределенные системы. При этом, например, вместо функций Ляпунова вводят функционалы Ляпунова, производные от которых по времени в силу уравнений движения обладают определен-Егыми свойствами. По этим свойствам судят об устойчивости (неустойчивости) невозмущенного движения. Если модель распределенной системы линейна или если для выводов об устойчивости используют уравнения первого приближения (уравнения в вариациях), то анализ устойчивости приводит к некоторым обобщенным задачам о собственных значениях. [c.461]

Спецкурс по теории устойчивости движения состоит из двух частей. В первой части Основы теории устойчивости движения излагаются общие методы решения задач устойчивости и их приложения к анализу динамических систем с сосредоточенными параметрами. Даются основные определения, подробно излагается второй метод Ляпунова, включая метод вектор-функций Ляпунова. Приводится обзор построения функций Ляпунова для некоторых классов нелшейных систем. Излагается теория устойчивости по первому приближению. Дается анализ критических случаев. Во второй части Специальные главы геории устойчивости движения рассматриваются новые подходы к решению задач устойчивости (в частности, принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова) и вопросы абсолютной устойчивости нелинейных регулируемых систем (включая подробное изложение результатов В.М. Попова, [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...