ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость движения по первому приближению из "Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.2 " В связи с этим широкое распространение получил способ определения устойчивости движения по первому приближению. Этот способ был известен задолго до появления классического труда А. М. Ляпунова (Общая задача об устойчивости движения, 1892 г.). Однако именно А. М. Ляпунов впервые установил условия, при которых первое приближение позволяет судить об устойчивости движения исходной системы, движение которой описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. [c.651] Способ определения устойчивости движения по первому приближению заключается в следующем. [c.651] Согласно первой теореме Ляпунова, иевозмущепное движение, определяемое уравнениями ( ), устойчиво, если все корни характеристического уравпейия (13 ) имеют отрицательную вещественную часть. В этом случае отброшенные нелинейные слагаемые в правой части уравнений (11 ) не влияют на устойчивость движения. [c.652] Согласно второй теореме Ляпунова, иевозмущепное движение, определяемое уравнениями (1 ), неустойчиво, если среди корней характеристического уравнения (13 ) имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью. И в этом случае отброшенные нелинейные слагаемые в правой части уравнений (1С ) не могут влиять на устойчивость движения. [c.652] Таким образом, исследование по первому приближению позволяет окончательно ответить на вопрос об устойчивости движения в тех случаях, когда корни характеристического уравнения имеют отрицательную или положительную вещественную часть. [c.652] Пренебрегая массами стержней и муфты, а также силами трения, определить устойчивость движения регулятора. Момент инерции вращающихся частей относительно вертикальной оси равен (без учета шарсв). [c.654] Решение. Регулятор в целом представляет собой систему с двумя степенями свободы. Выбираем обобщенные коор.тинаты угол поворота вокруг оси ОС, который обозначим 3, и угол поворота стержней О А и ОБ вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к плоскости ОАВ, который назовем 9. Определим значение угла 9(,, соответствующее вращению системы с постоянной заданной угловой скоростью pd = o)g. Для этого достаточно рассмотреть относительное равновесие одного из шаров (рнс. б). К шару приложены вес P P=mg) и реакция стержня N. Присоединяя к этим силам нормальную силу инерции 7 (У = /я/sin 9gMg), можем рассматривать совокупность трех сил как уравновешенную систему. [c.654] Таким образом, заданной угловой скорости вращения системы соответствует вполне определенный угол pQ. Это установившееся движение системы называется иевозмущенным движением. [c.655] Для составления дифференциальных уравнений движения системы воспользуемся уравнениями Лагранжа. Кинетическая энергия системы равна . [c.655] Таким образом получена система двух дифференциальных уравнений (15), (18) малых движений системы. [c.656] Гурвица не удовлетворяются, и, следовательно, малые движения регулятора неустойчивы. Этот факт, установленный сравнительно давно эксперн.ментально, приводит к необходимости вводить дополнительные звенья в систему регулирования. [c.657] Вернуться к основной статье