Аномалии в эллиптическом движении

Исследования можно провести аналогичным образом, как и в предыдущих случаях. В соответствии с 6 гл. IV находим, хотя это и не было доказано, что координаты в гиперболическом движении суть голоморфные функции вспомогательной переменной ю, которая здесь выполняет роль, аналогичную эксцентрической аномалии в эллиптическом движении. Между этой величиной и временем имеет место соотношение [c.481]

Определение времени в эллиптическом движении. Наиболее близкая к Солнцу S вершина А большой оси орбиты называется перигелием. Угол Q = AFM называется истинной аномалией (рис. 88). Для эллиптической орбиты интеграл живой силы можно записать в виде [c.110]

Наконец, скорость V, которая определяется в эллиптическом движении формулой (10.29), также может быть выражена через эксцентрическую аномалию. Для этого достаточно заменить в (10.29) радиус-вектор г его значением (10.34), что дает [c.495]

Действительно, в этом случае составляющие возмущающего ускорения также зависят только от координат и составляющих скорости, которые в эллиптическом движении являются функциями средней аномалии М. Поэтому и правые части всех уравнений (12.65) будут вполне определенными функциями средней аномалии М и элементов орбиты Q, а, е, п и, следовательно, за независимую переменную можно принять вместо времени величину М, которая растет одновременно с временем. [c.607]

В предыдущем параграфе мы нашли, что координаты в эллиптическом движении являются голоморфными функциями эксцентрической аномалии, и что эксцентрическая аномалия зависит от двух величин, а именно, от эксцентриситета орбиты С и средней аномалии планеты I. Во многих случаях, в частности, при определении элементов орбит планет из наблюдений, делаются попытки использовать разложения координат в ряды по степеням средней аномалии, и, следовательно, определение радиуса сходимости этих разложений имеет большое практическое значение. Так как [c.477]

Доказать, что средняя аномалия М и истинная аномалия / в случае движения по эллиптической орбите связаны соотношением [c.126]

В эллиптическом движении вводят понятие ЭКСЦЕНТРИЧЕСКОЙ АНОМАЛИИ [c.69]

Поэтому после вычислений окончательные выражения интегралов эллиптического движения будут определяться уравнениями (49), в которых вместо аномалии н подставлено ее выражение через I и е, неявно определяемое из уравнения (22). [c.208]

Величину М = п — о) в случае эллиптического движения обычно называют средней аномалией спутника. Она имеет простой механический смысл это радианная мера дуги, которую описал бы между моментами м t фиктивный, воображаемый спутник Ф, если бы он двигался равномерно с угловой скоростью п. 3. Связь между эксцентрической аномалией 2 и истинной аномалией 0 следует из формул [c.110]

Найдем момент прохождения спутника через перицентр. Ограничимся случаем эллиптического движения. Пусть известен момент прохождения спутника через точку Р . Обозначим эксцентрическую аномалию спутника в этот момент через Тогда [c.148]

Мы нашли пока только орбиту, но не закон движения по ней, ибо при выводе уравнения Бине исключили время t при помощи интеграла площадей для нахождения закона движения точки по орбите надо найти истинную аномалию 0 как функцию ибо тогда радиус-вектор г выразится в функции 1, Ограничиваясь случаем эллиптического движения, имеем такой результат (учебник, 91) если через т обозначим момент прохождения через перицентр, то вводим сперва так называемую среднюю аномалию [c.275]

Так как координаты и их первые производные в эллиптическом (невырожденном) движении могут быть представлены как явные функции эксцентрической аномалии Е, то, найдя Е как явную функцию времени, мы тем самым получим и явные выражения в зависимости от времени и всех других величин этого типа движения. [c.526]

Разложения координат эллиптического движения по возрастающим степеням эксцентриситета орбиты, полученные нами в предыдущем параграфе, сходятся и притом абсолютно для всех действительных значений средней аномалии М, если только е<ё=0,6627... [c.544]

В главе XI было показано, что в этом случае коордииаты и составляющие скорости (а также любые другие переменные величины эллиптического движения) разложимы в тригонометрические ряды, расположенные по синусам и косинусам кратных средней аномалии М , абсолютно сходящиеся для всякого момента времени, если е,<ё = 0,6627.. . и не абсолютно (или условно) сходящиеся, если < 1. [c.658]

Элементы орбиты. Эллиптическая орбита характеризуется следующей основной системой элементов а — большая полуось, е — эксцентриситет, —наклон, й —долгота восходящего узла. О) — угловое расстояние перицентра от узла, Мо — средняя аномалия в эпоху (см. 1.04), В литературе часто встречаются различные модификации элементов а, е, I, Й, м, Мо. Так, вместо элемента а можно рассматривать параметр орбиты р, элемент д, среднее движение п, период обращения Т, которые связаны с а формулами [c.221]

Даны элементы орбиты (см. ч. II, 1.04) а, е к Mq (средняя аномалия в эпоху to в случае эллиптической орбиты) или т (момент прохождения через перигелий в случае гиперболической орбиты). Задача состоит в вычислении прямоугольных т] и полярных г, V орбитальных координат небесного тела, движущегося по такой орбите, на некоторый момент t. Начало системы координат т) совпадает с Солнцем S ось Sg направлена на перигелий, ось 5т] повернута по отношению к оси 5 на 90° по ходу движения небесного тела. Угол v представляет собой истинную аномалию. [c.247]

Используя разложения для эллиптического движения и функции Бесселя (см. ч. II, 3.01), можно представить выражение (Я1/А) в виде двойного ряда Фурье по кратным средних аномалий М и Мг- [c.407]

В некоторых методах, применяемых в теории движения Луны, особенно в методе, использованном Делонэ, требуется разложение возмущающей функции по эллиптическим элементам орбит Луны и Солнца. В качестве первого шага к получению такого разложения необходимо рассмотреть os 5. Пусть SI есть долгота восходящего узла орбиты Луны, У— наклонность орбиты Луны к эклиптике, d —угловое расстояние лунного перигея от восходящего узла, / — истинная аномалия. Пусть, далее, ш, / означают соответствующие углы для Солнца. Наконец, положим истинные долготы Луны и Солнца равными соответственно [c.270]

Ганзен первым оценил те преимущества, которые получатся в результате прибавления всех возмущений как долгого, так и короткого периодов к средней долготе, или, что то же, к средней аномалии. В этом случае уравнение центра, вычисленное по формуле эллиптического движения, дает непосредственно истинную возмущенную долготу в орбите, тогда как радиус-вектор п широта, полученные по эллиптическим формулам с использованием возмущенной средней аномалии, [c.359]

У равнения (V. 140) для / и (V. 141) для q имеют в первом приближении такую же форму, как радиус-вектор и истинная долгота в невозмущенном эллиптическом движении. Таким образом, видим, что если пренебречь солнечными возмущениями, полагая т = 0, то е может быть отождествлено с эксцентриситетом и сх -ь е — со средней аномалией. [c.248]

Эллиптическое движение описывается уравнениями, в которых в качестве аргумента берут истинную или эксцентрическую аномалию (габл. 2.1). [c.67]

С помощью соотношений (6Б.З) — (6Б.6) можно установить взаимосвязь между истинной и эксцентрической аномалиями в гиперболиче- ском движении, пользуясь соответствующими выражениями теории эллиптических орбит. Мы имеем [c.247]

Для определения вековых возмущений необходимо лишь вместо Q подставить непериодическую часть этой функции, т. е. первый член разложения О в ряды синусов и косинусов углов, зависящих от средних движений возмущаемой и возмущающих планет. Действительно, так как 9 является только функцией эллиптических координат этих планет, которые всегда —по крайней мере в том случае, когда эксцентриситеты и наклонения незначительны — могут быть разложены в ряды синусов и косинусов углов, пропорциональных аномалиям и средним долготам, то функцию 9 можно разложить в ряд подобного же вида, и тогда первый член, не содержащий синуса и косинуса, будет единственным, который может дать вековые уравнения. [c.114]

Эта переменная I, линейная относительно времени, равна, очевидно, углу, который составляет с полярной осью 01 в момент времени t радиус-вектор ОМ, идущий в фиктивную точку М, и называется средней аномалией точки Р. Уравнение (22) и есть известное уравнение Кеплера, которое в эллиптическом движении в любой момент связывает эксцентрическую аномалию и среднюю иомалию I и которое на основании равенства (23) в неявной форме определяет и в функции от времени ). [c.183]

Разложениям " , os рн и sin рм пмеют большое значение в приложениях к проблемам небесной механики. Большинство функций от координат в эллиптическом движении легко выражается через периодическпе ряды по эксцентрической аномалии. Можно затем использовать ряды (54), (55), (57) для перехода к рядам, выцаженным через среднюю [c.69]

В предыдущих разделах были получены разложения координат в эллиптическом движении в виде рядов Фурье, аргументами которых являются дуги, кратные средней аномалии, а коэффициенты выражаются рядами по степеням эксцентриситета. Теперь мы рассмотрим разложения координат, которые могут быть получены непосредственнр из уравнений движения. Методика состоит в получении координат в виде рядов по степеням эксцентриситета, коэффициентами которых являются ряды Фурье по средней аномалии. [c.80]

Хилл выбирает прямоугольные координаты, а не полярные, так как дифференциальные уравнения в этом случае выражаются в чисто алгебраическом виде. Если используются полярные координаты, то почти немедленно появляются тригонометрические функции. Хилл также замечает, что в эллиптическом движении прямоугольные координаты выражаются через среднюю аномалию гораздо более простыми рядами, чем полярные координаты. Затем он продолжает Если это верно в эллиптической теории, то насколько более вероятной является справеливость аналогичного факта в том случае, когда сложность проблемы увеличивается вследствие рассмотрения возмущающих сил [c.291]

Найденное выше число 0,6627432... является, таким образом, единственным минимумом а, и этот минимум соответствует значению =. . Следовательно, ряды, которыми пользуются в теории эллиптического движения, являются всегда сходящимися, если эксцентриситет е меньше 0,6627432... в тех случаях, когда эксцентриситет превышает указанный предел, ряды перестают быть сходящимися, если средняя аномалия равна 90 . Но если- средняя аномалия отлична от 90°, то эти рады остаются сходящимися до значений е, превышающих 0,6627432... и тем более приближающихся к единице, чем больше средняя аномалия приближается к нулю или к180 [ ]. [c.392]

Эксцентрическая аномалия спутникаРдопускает в случае эллипса простое геометрическое истолкование как ради-анная мера некоторого угла (рис. 3.1). Построение этого угла, обозначаемого в случае эллиптического движения через , достаточно ясно из рисунка ). [c.107]

Уравнения Лагранжа. Как уже отмечалось в 3.15, при с = О и а = О элементы а, е, i, Q,o, oq и Mg превращаются соответственно в большую полуось, эксцентриситет, наклон, долготу узла, аргумент перицентра и среднюю аномалию в эпоху кеплерова эллиптического движения. Поэтому, если положить в уравнениях (4.9.1) е = О, то мы получим уравнения Лагранжа для кеплеровых оскулирующих элементов. [c.141]

Составляющие скорости i, z можно, конечно, получить по общим формулам (9.55) и (9.57). Однако в случае эллиптического движения координаты и составляющие скорости удобно также выразить через эксцентрическую аномалию, которая может играть роль нсза1и1сим0й нерсмснной вместо V. [c.494]

Поэтому ряды типа Фурье, представляющие велич1П1ы невозмущенного эллиптического движения, можно без опасе1тя дифференцировать, интегрировать, перемножать, делить, при любом значении средней аномалии М. но только для значений эксцентриситета, не превышающих предела Лапласа ё. Если же 1, то оперировать с рядами типа Фурье следует с большой осторожностью, помня, что действия над ними могут превратить сходящийся ряд в расходящийся. [c.565]

Предположим сначала, что возмущающая сила не зависит явно от времени t и содержит простейшим образом (т. е. в виде множителя) некоторый малый параметр о. Тогда составляющие возмущающего ускорения будут функциями только от координат и составляющих скорости движущейся точки, имея множителем малый параметр о. Но координаты и составляющие скорости иевозмущенного эллиптического движения разложимы, как показано в гл. П, в ряды Фурье, расположенные по синусам и косинусам средней аномалии М. Поэтому таким же характером будут обладать и функции -Р, и уравнения (12.102) могут быть написаны для рассматриваемого случая в следующем общем виде [c.646]

Рассмотрим теперь выражения для координат эллиптического движения, представленные рядами, расположенными по целым положительным степенял эксцентриситета ), и коэффициенты которых суть тригонометрические функции (конечные ряды синусов и косинусов) от средней аномалии, обозначаемой в этой главе буквой I. [c.701]

Приведем разложения некоторых функций эллиптического движения в тригонометрические ряды по кратным эксцентрической аномалии Е. Ряды по кратным Е представляют интерес, особенно в тех случаях, когда при решении уравнений возмущенного дзиже.чия (см. ч. IV, гл. 3, 4) в качестве независимой переменной принимается эксцентрическая аномалия. [c.239]

Пусть шз = О (предположе-иис 1 тг > О ПС вносит ничего принципиально нового). Тогда рг и р2 описывают в ХОУ симметричные кеплеровские орбиты около О, которые в случае к < О будут эллипсами. В момент, когда рз проходит через О, состояние системы определяется скоростью этого тела и фазой г (истинной или средней аномалией) эллиптического движения тел рх и р2- Примем (г , г) за полярные координаты в некоторой плоскости Ф (ввиду симметрии относительно ХОУ знаком V можно пренебречь). Сдвиг вдоль траектории в фазовом пространстве от одного попадания рз в О к следующему определяет локальный диффеоморфизм 3 Д+ К С Ф. Оказывается, что можно указать такое открытое множество Г С Ф, что максимальное инвариантное множество А, содержащееся в Г, является марковским и допускает описание в терминах символической динамики. [c.152]

Введение. Методы, изложенные в гл. I, достаточны для вычисления координат планеты в эллиптической орбите для любого момента времени по элементам этой орбиты. Для различных приложений в небесной механике необходимо иметь в распоряжении методы, которые позволят разложить координаты и функции от координат в эллиптической орбите в периодические ряды. При движении по эллипсу все конечные и непрерывные функции от координат после полного обращения тела возвращаются к исходным значениям. Поэтому такие функции разложимы в периодические ряды по любой непрерыно возрастающей угловой переменной, которая за время полного обращения тела увеличивается на 2л. Угловыми переменными, представляющими в этой связи особый интерес, являются средняя аномалия I, эксцентрическая аномалия и и истинная аномалия /. Они не являются единственными аргументами, которые могут быть рассмотрены в некоторых приложениях используются другие аргументы. Функциями, которые представляются наиболее естественными для этой цели, являются пли четные, или нечетные периодическпе функции от этпх переменных, порождающие либо ряды косинусов, либо ряды синусов. Поскольку обычно удобнее оперировать степенными рядами, чем тригонометрическими разложениями, то полезно познакомиться с разложениями в экспоненциальной форме. [c.58]

В ряде таблиц 17, 12] приведены значения истинной аномалии / или значения величин (г/а) os / и (г/а) sin / для различных эксцентриситетов. В подробных таблицах Кейли [3] собраны разложения большого числа часто используемых функций эллиптического движения. [c.104]

Орбиты 241—257 Аномалии 258—273 Разложения координат эллиптического движения в ряды Фурье 274—284 Разложения по степеням эксцснтриситета 285—299 Синодическио координаты 300—312 [c.218]

В качестве примера найдем преобразование, нормализующее систему линейных уравнений, описывающих движение в окрестности треугольной точки либрации плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел. В координатах Нехвила с истинной аномалией и в качестве независимой переменной и при соответствующем выборе единицы длины движение описывается при помощи функции Гамильтона [c.131]

Для эллиптической орбиты ооФО, Заменим йрзависимую переменную в уравнении (1.7), а именно, введем истинную аномалию угол Vy вместо времени t и присоединим еще уравнения движения самого центра масс спутника [c.21]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...