Переменные собственные оператора

Для описания нестационарных процессов (динамических характеристик) используем уравнение (1.1), интерпретируя его символику в терминах теории управления, а именно, оператор С назовем собственным оператором, поскольку он характеризует собственные движения системы при Q(t)=0. Функцию источника Q(t) выразим через входные переменные Z(t) с помощью входного оператора Й [c.166]

Из определения операторов Р ., Р следует, что двукратное действие каждого из операторов в отдельности оставляет волновую функцию неизменной. Следовательно, собственные значения операторов Р- — Р2 р равны единице, а собственные значения операторов Р , Р равны 1. Такие собственные значения операторов в случае дейтрона связаны с симметрией или асимметрией волновой функции относительно перестановки переменных —> [c.161]

Ортогональность собственных функций. Собственные функции линейного самосопряженного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т. е. интеграл по всей области изменения независимых переменных от произведения одной из них на функцию, комплексно сопряженную с другой, равен нулю. Пусть и -собственные функции оператора А, принадлежащие различным собственным зна- [c.107]

Это равенство показывает, что -собственная функция оператора А, т. е. операторы В ]л А имеют общую собственную функцию и поэтому соответствующие им динамические переменные одновременно измеримы. Теорема доказана. [c.113]

Чистые и смешанные состояния. Для того чтобы полностью определить волновую функцию, описывающую данное состояние, необходимо посредством измерений задать полный набор динамических переменных. Волновая функция рассматриваемого состояния является собственной функцией операторов, представляющих полный набор физических величин. При этом условии волновая функция определяется полностью и дает максимально полное описание системы, которое возможно в квантовой меха- [c.114]

Независимые динамические переменные, соответствующие классическим координате х и импульсу р частицы, представляются эрмитовыми операторами X и Р, матричные элементы которых в собственном базисе оператора Я равны [c.151]

В частности, спектр собственных значений оператора координаты X непрерывен. Волновая функция Т(х) = позволяет находить не вероятность нахождения частицы в точке Л, а плотность вероятности 1 Ч (х) 1 вероятность нахождения частицы в интервале с1л вблизи х равна I Ч (х) I dx. Однако вектор Ч > содержит информацию не только о местонахождении частицы, но и об ее импульсе. Плотность вероятности для частицы иметь импульс р дается проекцией Т(р) = <(/ ) вектора состояния на базисный вектор /7> оператора Р. Существуют динамические переменные, для которых нет классического аналога. В этом случае оператор динамических переменных должен быть построен так, чтобы давать результаты, согласующиеся с экспериментом. [c.152]

Оператор спина таким путем получить нельзя, потому что он в классической картине не может быть выражен через динамические переменные-декартовы координаты и импульсы. Здесь полезно напомнить, что речь идет именно о выражении в декартовых координатах. Переход к другим координатам можно произвести лишь после записи оператора динамической переменной по этому правилу в декартовых координатах (см. 23). Поскольку спин не может быть представлен как функция координат и импульсов, оператор спина не может быть построен аналогично оператору орбитального момента импульса. Однако ясно, что как оператор момента импульса он должен удовлетворять коммутационным соотношениям (28.17) и (28.18). Для объяснения экспериментальных результатов необходимо считать собственные значения любой декартовой проекции оператора спина равным Л/2 и — Л/2 [см. (33.3)]. Этих данных достаточно, чтобы решать квантовомеханические задачи со спином, не имея в явном виде выражения для оператора спина и волновых функций. Однако для многих расчетов предпочтительнее иметь явный вид оператора спина. [c.211]

Лишь когда вектор состояния является собственным вектором оператора динамической переменной, его действие на вектор состояния сводится к умножению на число (собствен- [c.405]

В этом случае оператору динамической переменной можно сопоставить единственное число, равное собственному значению оператора, и считать, что динамическая переменная имеет определенное числовое значение. [c.405]

Если вектор состояния не является собственным вектором оператора динамической переменной, результаты измерения числового значения динамической переменной перестают быть однозначными и можно говорить лишь о вероятности получения в измерении того или иного значения. [c.405]

Из формулы (15) видно, что коэффициент влияния в области комплексного переменного (оператор) состоит из двух членов один описывает функцию возбуждения системы U (s), другой — собственно систему. Это свойство дает возможность определить собственную чувствительность системы как ее внутреннее качество, независимо от функции возбуждения. [c.83]

На этапе определений используется информация, вводимая с перфокарт в следующем порядке 1) общий список имен, фигурирующих в математических определениях элементов 2) поэлементный список имен собственных переменных 3) поэлементный список имен несобственных переменных с двусторонними ограничениями 4) поэлементный список систем уравнений, являющихся математическими определениями т-элементов 5) текст описаний массивов чисел (констант) 6) текст оператора ввода массивов чисел 7) определения 6-связей 8) определения с-связей 9) описания процедур, задаваемых исследователем. [c.64]

Некоторые языки программирования и соответствующие им трансляторы имеют собственные отладочные средства, которые дают, например, возможность проверить последовательность выполнения операторов любого участка программы (трассы), изменения значений переменных, а также последовательность обращений к подпрограммам. Эти возможности обеспечиваются специальными операторами языка. [c.174]

В отличие от классической механики, квантовые динамические переменные не являются функциями микроскопического состояния системы, а представляются линейными самосопряженными (эрмитовыми) операторами Л, действующими в гильбертовом пространстве состояний. Их спектр определяет возможные наблюдаемые значения физических величин. Собственные значения а операторов и соответствующие собственные состояния ) = а) находятся как решения уравнения [c.23]

В квантовой механике любая динамическая переменная представляется эрмитовым оператором, имеющим некоторый спектр собственных значений. Поэтому в квантовом случае соотношения (1.2.77) естественно интерпретировать как соотношения для собственных значений координат и импульса частицы. Иначе говоря, будем считать, что в результате применения операции обращения времени к собственным состояниям операторов координат, мы получаем состояния с теми же собственными значениями, а в результате применения этой операции к собственному состоянию оператора импульса получается состояние, в котором частица имеет противоположно направленный импульс. Повым обстоятельством в квантовой механике является то, что частица может обладать спином. В этом случае ее квантовое состояние характеризуется дополнительной дискретной переменной — проекцией спина а на некоторую ось квантования. По аналогии с моментом импульса, проекция которого меняет знак при обращении [c.39]

Аналогичное разложение фазовой функции распределения возможно и в классическом случае [136], если оператор Лиувилля L удается представить в виде суммы главной части и слабого взаимодействия L. В переменных действие-угол матричные элементы д по собственным функциям Lq медленно меняются по сравнению с недиагональными элементами. [c.125]

Мы предполагаем, что оператор энтропии имеет полный ортонормированный набор собственных состояний. Ясно, что это накладывает некоторые ограничения на выбор базисных динамических переменных Р . [c.14]

Линеаризованный оператор столкновений Ь базируется на максвелловской функции /я(0) следовательно, его собственные значения и собственные функции зависят от пространственных переменных, но не от времени. Так как функция / в виде (5.2) должна удовлетворять начальным условиям, то /я(0) есть не что иное, как фигурирующая в начальных данных максвелловская функция /м это полностью определяет Ь. Теперь разложим заданную в начальный момент времени функцию / в ряд по степеням 8 [c.134]

Эту же теорему можно использовать для определения такта квантования Б том случае, когда известно собственное значение системы с наибольшей собственной частотой со ах- Она будет максимальной частотой, пропускаемой дискретным регулятором без искажений. В частности, если исполнительное устройство обладает значительной инерционностью, в общем случае не следует выбирать слишком малый такт квантования, поскольку может случиться, что предыдущий сигнал управляющей переменной окажется неотработанным к моменту прихода следующего сигнала. Если в системе используются измерительные приборы, выдающие сигналы дискретно, как, например, в химических анализаторах или во вращающихся радиолокационных антеннах, то такт квантования дискретного регулятора оказывается заданным. Оператору, как правило, желательно иметь в системе быстрый отклик управляющей или регулируемой переменной на ступенчатое изменение задающего сигнала в произвольный момент времени. Поэтому такт квантования не должен превышать нескольких секунд. Более того, если учитывать возможность возникновения опасной ситуации, например появления сигнала тревоги, такт квантования следует выбирать малым. Для минимизации вычислительных затрат или стоимости каждого контура управления такт квантования следует брать как можно большим. [c.112]

При Р2 = I изложенный метод переходит в классический метод разделения переменных Фурье, где решение представляется в виде ряда по собственным функциям оператора А. [c.558]

Заметим, что проведенные исследования не противоречат случаю Рг = /, когда для построения решения (2.1) следует использовать традиционный метод разделения переменных с нахождением собственных функций оператора А. [c.157]

И наконец, третье свойство собственных функций и , определенных уравнением (5.25), мы получим, применив к (5.25) оператор Ав переменных г,. Имея в виду, что О как функция г удовлетворяет тому же уравнению (5.25), получим [c.49]

Случаи, когда оператор А нормален. Пусть asi и S —окружность (при п — 2) или сфера (при п = 3). В этом случае можно непосредственно проверить (см. [55]), что оператор А нормален АА = А А. Это эквивалентно наличию у А ортонормированного базиса из собственных функций в L S) (см., например, [2], гл. V) присоединенных функций нет. Нетрудно найти собственные функции, решая задачу (36.1) — (36.3) разделением переменных это будут синусы и косинусы при /г = 2, сферические функции при п — Ъ. Поскольку полнота этих ортогональных систем хорошо известна, мы заново получаем, что А нормален. Собственные значения невещественны они по существу известны см., например, в [15] формулы (7.2.51) и (11.3.44) (см. также выше конец п. 1 10). [c.358]

Подводя итог всему вышеизложенному, мы можем высказать следующее. Применяемые для формулировки основных положений квантовой теории векторы состояний и линейные операторы динамических переменных и наблюдаемых не имеют непосредственного реального смысла, однако с их помощью представляются имеющие физический смысл величины и соотношения, доступные экспериментальной проверке. Физический смысл имеют математические ожидания (средние значения), к которым принадлежат, в частности, вероятности ws, поскольку их можно рассматривать как математические ожидания проекционных операторов Sps. Конкретные физические применения имеют собственные значения и операторные соотношения, позволяющие прогнозировать воспроизводимость измерений. Величины, имеющие физический смысл, не изменяются при замене ti> на ti>, где с — произвольное комплексное число. Все физические величины и соотношения обладают свойством инвариантности относительно унитарного преобразования и над всеми операторами G и векторами ф) [c.78]

В квантовой механике динамические переменные не являются функциями состояния, характризуемого волновой функцией г з, а представляются самосопряженными операторами, действующими в пространстве возможных волновых функций. Даже точное задание волновой функции системы не определяет, вообще говоря, значение данной динамической величины при ее измерении. Только в случае, когда ф есть собственная функция оператора L, представляющего исследуемую динамическую величину, т. е. когда [c.189]

Пусть операторь[ А и В имеют общие собственные функции и, следовательно, соответствующие динамические переменные одновременно измеримы. Тогда из уравнений [c.112]

В состоянии I Т ) из]у1ерение динамической переменной А дает с вероятностью 3 А) = Л I ) 1 одно ИЗ собственных значений А оператора А. [c.151]

Согласно выражению для оператора кинетической энергии ядер Т следует, что корень из массы ядра включен в координату R. Оператор Но описывает электроны, движущиеся в поле ядер, закрепленных в положениях R. Дцерные координаты не являются динамическими переменными в электронном гамильтониане Но- Они являются параметрами, определяющими электронное состояние. Действительно, собственные функции и собственные значения гамильтониана Но зависят от этого параметра [c.54]

Помимо измерительных функций мини-ЭВМ осуществляет определенные задачи управления [14, 1]. С этой целью основные блоки возбуждения дополняют элементами согласования с ЭВМ, обеспечивающими преобразование кодовых сигналов в изменение частоты или уровня возбуждения и т. п. Тогда реализуется автоматическое измерение частотной характеристики с переменным шагом по частоте, или изменение уровня возбуждения по определенному алгоритму, например поддержипание условий резонанса (по амплитуде и частоте). При разработке эффективной программы возможен подбор сил возбуждения для выделения одного тона собственных колебаний. Последнее реально в режиме диалога оператора с мини-ЭВМ. [c.346]

Результатом измерения динамической переменной является одно из собственных значений оператора X, т. е. при. измерении динамической. переменной и получении т-го собственного значения Хт система -остается в соответствующем собственном состоянии дгт>. В дальнейшем с системой никаких измерений не пр0И31В0Д Ится и наблюдатель выбирает гипотезу лишь на основе этого зна-чеиия Хт. [c.246]

Множество всех возможных собственных значений (отвечающих всем возможным собственным состояниям т)) интерпретируется как множество тех значений, которые может принимать в некотором эксперименте наблюдаемая, связанная с Ь. Вообще говоря, такое множество значений дискретно в этом заложено определенное различие между классической и квантовой механикой. В квантовомеханической системе динамические переменные (такие, как энергия) могут принимать только некоторые строго определенные значения в этом состоит сущность квантования. Другое важное замечание заключается в следующем так как собственные значения bjn должны представлять наблюдаемые численные значения динамических функций, они с необходимостью должны быть вещественными числами. Это означает, что операторы Ь, представляющие наблюдаемые, обязательно должны быть зрмитовыми, т. е. [c.26]

Функция DEFUN определяет функцию посредством создания структурированного списка операторов профаммы. Определенная ва. п1 функция создает свою собственную замкнутую область локальных переменных. При вызове функции в эт> замкнутую область передаются данные, выполняются операторы вашей програ.ммы, после чего осушестатяется передача данных обратно в среду Автолисп - Автокад. [c.78]

Пусть Ом (О оператор, который действует на собственные функции гамильтониана (2.26) только как на функции переменных, относящихся к М-системе. Вводя представление Гейзенберга для произвольной динамической величины Омр, заданной в представлении Шрёдингера [c.71]

Элекромагнитное поле в собственном состоянии 8 ) обладает определённой амплитудой 8г . Поэтому сопряжённая переменная 8 является полностью неопределённой. Этот факт проявляется наиболее отчётливо для фазового угла I = О, поскольку =о = х, а =тг/2 = = тг, так что принцип неопределённости для этих операторов даёт следующее соотношение [c.334]

Пример. Пусть гильбертово пространство Н представлено как пространство ф-ций с интегрируемым квадратом, определенных на отрезке [а, Ь. Оператор, определяемый равенством Л [/ (/)] = г ф (г) (оператор уд ножеиия на независимую переменную), имеет только непрерывный спектр, заполняющий отрезок [я, )], т. к. оператор Л — ХЕ не имеет ограниченного обратного в том и только в том случае, если I — Я обращается в нуль на отрезке [а, ]. Собственных значений этот О. не пмеет. [c.491]

Правила выбора символов для наименования макроподпрограмм те же, что и при написании любого другого символа в языке APT. Он должен содержать не более шести знаков, один из которых обязан быть буквой. Определитель (определители) параметров, стоящий после косой черты, задает те переменные в подпрограмме, которые- могут изменяться при каждом новом вызове подпрограммы. Выражение (8.6) служит заголовком и первой строкой макроподпрограммы. После него должен следовать ряд операторов языка APT, составляющих собственно подпрограмму. Самым последним оператором в этой последовательности должно быть командное слово TERMA языка APT, обозначающее ко- [c.199]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...