Силы консервативные и потенциальные функции

Силы консервативные и потенциальные функции 44, 93 [c.634]

Функция (4.1) называется потенциальной энергией. В 2.3 нами был рассмотрен частный случай потенциальных сил—консервативные силы — и была установлена формула (2.9), аналогичная формуле (4.2). [c.94]

В заключение следует обратить внимание на особенности принятой терминологии. В первом томе различались силовая функция и потенциальная энергия. Здесь ньютоновским потенциалом называется силовая функция консервативного поля сил тяготения, вызываемых системой материальных точек М с массами Ш , действующих на точку М с массой т, равной единице. [c.484]

Имеется, однако, один аспект задачи, требующий особого внимания. Пусть заданные кинематические условия (5.8.1) и потенциальная энергия V не зависят явно от времени i. Тогда система является консервативной в этом можно сразу же убедиться, если при учете дополнительных условий применить метод исключения лишних переменных. Следовательно, силы реакции также должны быть консервативными это означает, что их потенциальная энергия не должна зависеть от /. С другой стороны, Xi являются функциями /, [c.169]

Консервативные системы и другие системы, обладающие потенциальной функцией. Предположим, что заданные силы Хг зависят только [c.93]

Сделаем по поводу полученных результатов два замечания. Во-первых, устойчивость по первому приближению еще не означает устойчивости при рассмотрении точных уравнений (гл. XIX). Кроме того, в этом случае мы лишены возможности вывести суждение об устойчивости из интеграла энергии, как это мы делали в теории малых колебаний (гл. IX). Во-вторых, если система устойчива при рассмотрении точных уравнений, а также в первом приближении, то это связано с влиянием линейных членов Ti в выражении для L. Благодаря им в уравнениях движения появляются гироскопические члены. При отсутствии слагаемых мы имели бы задачу о движении в поле консервативных сил, а для такого поля потенциальная функция в точках Ni и имеет максимум, и эти точки являются положениями неустойчивого равновесия. [c.570]

В обоих выражениях, различающихся между собой только по форме, фигурируют как функции состояния обе известные формы энергии потенциальная Ф и кинетическая Ь. Тем самым область применимости этих принципов ограничивается консервативными системами, в которых действующие силы либо являются исключительно внутренними (свободные системы), либо такими внешними силами, для которых известно выражение потенциальной энергии, например сила тяжести или притяжение Солнцем в примерах 73 и 74. Однако часто случается, что необходимо предусмотреть действие таких внешних сил,- величина и направление которых в каждый данный момент, правда, известны, но консервативность которых не установлена, а иногда и не может быть установлена это имеет место во всех тех неполных отображениях действительности, в которых оперируют с силами, входящими в расчет как заданные функции времени. [c.462]

Из (1.115) можно также усмотреть, что в случае консервативного поля сил интеграл, стоящий в левой части, не зависит от того, по какому пути движется частица, а зависит только от ее положения в начальный и конечный моменты рассматриваемого интервала времени. Конечно, если бы этого не было, мы не смогли бы ввести потенциальную функцию. В итоге можно определить консервативное поле сил требованием, чтобы интеграл / (1.111) зависел бы только от положения частицы в моменты времени f и f, но не зависел бы от пути, проходимого частицей в промежутке времени между f и Г. [c.13]

Эту теорему формулируют еще и другим образом [4.17] если полная энергия есть непрерывная функция, то равновесие системы, содержащей консервативные и диссипативные силы, устойчиво, когда потенциальная энергия положительно определена. [c.53]

Примем далее, что приложенные внешние силы консервативны, а именно что они находятся при помощи потенциальных функций Ф (w ) и Т (w ) [c.94]

Консервативными, или потенциальными, силами называются, как известно, такие силы, работа которых на пути между какими-нибудь двумя точками А у В (фнг. 170) не зависит от вида траектории. Следовательно, работа этих сил будет одинаковой и в том случае, когда материальная точка движется из Л в S по траектории AIB, и в том случае, когда она движется по траектории А2В. Консервативные силы являются функциями только координат точек приложения силы. [c.280]

Другое определение упругих материалов можно получить исходя из понятия обратимости. Рассмотрим классический пример силы Г (х), действующей на частицу при движении ее из одной точки в другую. Напомним, что независимость работы IV от пути, пройденного частицей, означает существование некоторой дифференцируемой- функции текущего положения W (х), называемой потенциалом-, градиент которой равен силе Р (х) = (х). Работа, совершаемая такими консервативными силами на замкнутом пути, равна нулю. При этом говорят, что Р порождается потенциальной функцией В том же духе мы можем считать, что процесс деформации, описываемый, например, тензором меры деформации или тензором деформации 7 , представляет собой путь , пройденный сплошным телом.. При этом силой , совершающей работу, будет, конечно, тензор напряжений а . Обратимость упругих деформаций и независимость от пути (от предыстории деформации) для упругих тел приводят нас к предположению [c.238]

Рассмотрим движение материальной системы с конечным числом степеней свободы относительно инерциальной системы отсчета. Предположим, что связи голономные, идеальные и стационарные, активные силы потенциальные, и что функция Лагранжа, построенная для системы, не зависит явно от времени. Следовательно, рассматриваемая система консервативная (может быть, обобщенно-консервативная). Требование консервативности системы свидетельствует о том, что область применимости принципа наименьшего действия значительно уже области, в пределах которой справедлив принцип Гамильтона. [c.252]

Потенциальная энергия П - - U. Потенциальная энергия, как и силовая функция, зависит от координат всех точек системы. Механическая система, в которой работа совершается только потенциальными силами, называется консервативной. [c.121]

Потенциальная энергия материальной точки и однородном консервативном поле силы тяжести является функцией высоты точки у (73.1) [c.411]

Такая функция 11 (х, у, г,) называется силовой функцией данного силового поля, а само силовое поле при этом называется потенциальным, или консервативным-, сила же потенциального силового поля называется потенциальной, или консервативной силой. Хотя консервативные силы и составляют совершенно частный вид сил, тем не менее они имеют важное значение, так как многие силы природы суть консервативные силы. Примерами консервативных сил являются сила тяжести, сила упругости, сила ньютоновского тяготения. [c.660]

Мы в дальнейшем будем рассматривать только такое потенциальное силовое поле, для которого силовая функция однозначна, конечна, непрерывна и допускает во всем силовом поле производные, по крайней мере, до второго порядка включительно. Из формулы (2) видно, что в случае однозначной силовой функции работа консервативной силы на всякой замкнутой траектории равна нулю, так как в этом случае конечное положение точки приложения этой силы совпадает с ее начальным положением и, следовательно, и=11д. [c.661]

Таким образом, силовую функцию в заданном положении, взятую с обратным знаком, можно определить как работу, которую могла бы выполнить консервативная сила при перемещении точки ее приложения из заданного положения в положение, где значение силовой функции равно нулю. С другой стороны, по теореме об изменении кинетической энергии (6, 107) следует, что работа силы равна изменению кинетической энергии точки и, следовательно, величина (6) характеризует запас энергии материальной точки в заданном пункте потенциального силового поля. [c.662]

Если известен закон, по которому изменяется потенциальная энергия тела U = U (х) в постоянном поле консервативных сил, то по виду графика этой функции можно установить те места (координаты х), в которых тело будет в устойчивом или неустойчивом равновесии. Для потенциальной кривой, изображенной на рисунке 6.21, положения с координатами Х и Хз отвечают неустойчивому равновесию, а положение Х2 — устойчивому. Это можно проверить. [c.159]

Вернемся теперь к катастатической механической системе и предположим, что заданные силы консервативны и потенциальная энергия равна V. Подставим в выражение для функции F значения координат Xj, Хг,. . ., Хд, принимаемые в момент t при некотором действительном движении системы. Теперь V представляет собой не значение потенциальной энергии в произвольной точке, а ее значение в определенной точке в момент t. При этом [c.45]

Пусть положение стационарной голономной системы определяется обобщенными координатами д, . .., < , которые выбираются таким образом, что в невозмущеином равновесии системы все они равны нулю. Под к понимается либо полное число параметров, характеризующих отклонение системы от ее невозмущенного равновесия, либо число тех параметров, которыми с достаточной точностью можно описать это отклонение. Активные внешние силы — консервативные и неконсервативные — полагаются пропорциональными параметрам риг соответственно. По-прежнему через и обозначается потенциальная энергия деформации системы, а через V и V — потенциал внешних сил и силовая функция единичной нагрузки, так что V = —р9. В случае малых перемещений системы эти функции могут быть представлены как квадратичные формы от обобщенных координат [c.431]

Таким образом, кинетическая энергия при движении замкнутых систем не остается постоянной, а меняется за счет работы внутренних сил. Эта работа равна нулю, если все силы потенциальны и движение начинается и заканчивается на одной и той же поверхности уровня Ф = onst. Именно такая ситуация и имеет место в случае временных взаимодействий, о которых шла речь в гл. И. В иных случаях скалярная мера Т не сохраняется неизменной даже для замкнутых систем, у которых всегда имеет место сохранение векторной меры Q. Существует, однако, другая скалярная функция от координат и скоростей точек — полная энергия системы, которая остается постоянной при движении систем некоторого класса. Таким классом оказались все консервативные системы. Класс замкнутых и класс консервативных систем не совпадают, а пересекаются, так как замкнутые системы могут быть консервативными и неконсервативными, а консервативные системы не обязательно замкнуты ). [c.76]

Предположим, что существует инерциальная система S, в которой ско-росги всех частиц малы но сравнению со скоростью света, так что в S можно с хорошим приближением пользоваться нерелятивистской механикой Ньютона. Пренебрегая типично атомными явлениями, обусловленными существованием планковского кванта действия, мы можем в качестве такой механической системы рассматривать атомное ядро, поскольку элементарные частицы, из которых построены атомные ядра, нуклоны, настолько тяжелы, что их скорости в общем случае можно считать малыми по сравнению с с. Данное предположение означает, что собственные времена отдельных частиц в 2 практически совпадают и равны времени / в системе S и, кроме того, что силы связи между частицами мгновенны и удовлетворяют третьему закону Ньютона. Если эти силы консервативные, то в системе S они определяются как градиенты потенциальной функции V, зависящей от расстояния между частицами. В соответствии с механикой Ньютона при движении частиц сумма полной кинетической и потенциальной энергии не изменяется со временем, т. е. [c.65]

Формула (4.10) дает возможность найти выражени< и (г) для любого стационарного поля консервативны сил. Для этого достаточно вычислить работу, соверщае мую силами поля на любом пути между двумя точками и представить ее в виде убыли некоторой функции, кото рая и есть потенциальная энергия U(г). [c.92]

До сих пор силы X, V, Z, а следовательно 0, Ф, не были подчинены никаким ограничениям. Они могли быть как функциями положения, скорости, так и явно зависеть от времени. В случае материальной точки, движущейся в консервативном поле и неподверженной действию других внешних сил, работа силы поля на малом перемещении равна уменьшению потенциальной энергии поэтому мы имеем [c.281]

Примером потенциального вектора, итересующим нас в настоящей главе, является потенциальная или, иначе, консервативная сила, которая характеризуется тем, что работа, совершаемая ею при действии на материальную частицу, переходящую из одного положения в другое, зависит только от начальной и конечной точек пути перехода. Поэтому потенциальная сила Р является градиентом некоторой функции П (Р = дгас1П), называемой силовой функцией, а равная ей с точностью до аддитивной постоянной и обратного знака величина П = —П — потенциальной энергией или потенциалом. Работа, совершаемая потенциальной силой определяется формулой [c.25]

Поскольку в силу изложенных соображений эквивалентом тока является колебательная скорость v = dl/dt, то эквивалентом смещения Н будет переменный заряд q. Колебания электрического контура будут эквивалентны колебаниям механической или акустической системы, если приписать индуктивности и емкости подходящие эквивалентные значения. В консервативной механической колебательной системе с сосредоточенными постоянными масса является носителем кинетической энергии, а пружина — нако-т телем потенциальной энергии. Аналогичные функции в колебательном контуре выполняют соответственно индуктивность L и емкость С. Поэтому, сравнивая формулы (VIII.29), (VIII.30) и (VIII.35), для эквивалентных индуктивности и емкости находим [c.186]

Вернемся к рассмотренному уже в 26 бесконечному семейству одинаковых механических систем. Пусть опять состояние каждой из них описывается переменными, введенными в 25. Как и прежде, пусть L будет кинетическая энергия системы, V — потенциальная, = Z.-j-V — полная энергия. Мы предположим, что системы — так называемые консервативные, т. е. для каждой из них в течение всего ее движения Е остается постоянной. Для этого диссипативные силы, как трение, сопротивление среды и т. п., вообще должны быть исключены, и в каждой системе либо должны действовать только внутренние силы, либо, если имеются внешние силы, то они должны исходить от неподвижных, неизменных во времени масс. Силы вообще должны зависеть только от положения следовательно, V должна быть функцией (и притом однознач ной) только от координат Pi,, .Рр., [c.344]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...