Границы параметрического резонанса

Приравняв определитель системы (7.256) нулю, получаем уравнение, из которого определяем границы главной области параметрического резонанса [c.231]

К сосредоточенной массе (рис. 7.40) приложена периодическая сила, направленная под углом а к оси Х2. Требуется определить (приближенно) уравнения границ главной области параметрического резонанса. При решении уравнения колебаний стержня воспользоваться принципом возможных перемещений, ограничившись одночленным приближением. [c.233]

ТО говорят, что имеет место простой резонанс. Параметрический резонанс, для которого в (31) к ф называется комбинационным. Покажем, что при условии (31) для сколь угодно малых значений е может существовать область неустойчивости, и найдем ее границы с точностью до первой степени е включительно. Будем предполагать, что п = 2 и что при 6 = 0 выполняется одно из резонансных соотношений (31). [c.553]

Этот метод позволяет исследовать параметрический резонанс любого порядка в зависимости от учета членов разложения в ряд Фурье по малому параметру правых частей уравнений (5.5). В дальнейшем ограничимся, как уже отмечалось, первым приближением, что соответствует исследованию основного резонанса и позволит определить нижнюю границу динамической неустойчивости исследуемой системы. Так как при широкополосном спектре возмуш,ений избежать возникновения основного параметрического резонанса невозможно, то такой вывод является вполне оправданным, а резонансы более высокого порядка для системы со случайными возмуш,ениями в известной степени теряют смысл. Считаем, что время корреляции возмущений % и г[ значительно меньше времени релаксации Тр амплитуды или фазы системы. Если время наблюдения за системой значительно превосходит (но не превосходит величины /Ро), то возможно применение стохастических методов на основе замены реального процесса возмуш,ений % и if] эквивалентными S-коррелированными и использование аппарата процессов Маркова и уравнения ФПК [81 ]. Стохастические методы, связанные с использованием процессов Маркова, могут быть использованы при любом времени корреляции, если уменьшать интенсивность флюктуаций возмущений, оставляя скорость ее изменения постоянной. В этом случае время релаксации амплитуды и фазы будет увеличиваться и условие < Тр будет выполненным. [c.201]

Следует отметить, что этот метод позволяет исследовать параметрический резонанс любого порядка в зависимости от числа учитываемых членов разложения по малому параметру. Для упрощения выкладок в настоящей работе принято первое приближение (6.3), которое позволяет исследовать основной резонанс и определить нижнюю границу динамической неустойчивости исследуемой системы. Так как при широкополосном спектре возмущений избежать возникновения основного параметрического резонанса невозможно, то такой подход является оправданным, а резонансы более высокого порядка для системы со случайными возмущениями в известной степени теряют смысл. Считаем, что время корреляции возмущений Xf, t) и y t) значительно меньше времени релаксации Тр амплитуды или фазы системы. Если время наблюдения за системой значительно превышает (но не превышает величины l/Po)i то можно применить стохастические методы на основе замены реального процесса возмущений x t) и г/о (О [c.233]

Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов [22] в 1935 г. рассмотрели ту же задачу в более общем виде при различных закреплениях концов стержня, находящегося под действием произвольной полигармонической силы Р (t), пользуясь вариационным методом Б. Г. Галеркина. Разлагая функцию Р (t) в ряд Фурье и применяя метод усреднений, авторы получили уравнения границ областей параметрического резонанса. [c.8]

Интересно отметить, что решения (6), (7) и критерии устойчивости (8) распространяются также на случай параметрической системы с линейной упругой силой (у = 0). Как известно, решение задачи о параметрических колебаниях в линейной системе без учета свойств источника энергии позволяет установить лишь условия возникновения колебаний и определить границы области параметрического резонанса. Амплитуда колебаний остается неопределенной, обычно указывается, что она может неограниченно возрастать. [c.91]

Приближенные уравнения для основных параметрических резонансов. На границах областей неустойчивости, отвечающих простым резонансам (18), уравнение (3) имеет хотя бы одно либо Т-, либо гГ-периодическое решение. Отсюда можно вывести, что коэффициенты уравнения на границах этих областей удовлетворяют следующим соотношениям [c.129]

Для систем с параметрическим возбуждением характерные задачи заключаются в определении границ областей устойчивости и условий возникновения параметрического резонанса (в линейной постановке с учетом линейного сопротивления) определении амплитуд установившихся параметрических колебаний в зоне параметрического резонанса (в нелинейной постановке). [c.23]

Рис. 5.3. Границы области устойчивости с побочными параметрическими резонансами при е/Й = 0,025, а/Й = 0,04

На рис. 5.2 представлены результаты расчетов по изложенной методике. Сплошными линиями показаны границы области устойчивости при возрастании уровня замыкания п (область устойчивости слева от границ). При выбранных параметрах затухания и широкополосности (г, а) характерным является существенное снижение критической дисперсии воздействия при 0 = 2Q (аналог главного параметрического резонанса). [c.144]

Как показано в [6.22], параметрический резонанс действительно возникает в рассматриваемой системе. Там же подробно описана процедура нахождения границ первой зоны неустойчивости, являю щаяся аналогом стандартного метода, применяемого при анализе параметрического резонанса в сосредоточенных системах (см. [6.23, 6.29]). В соответствии с этим методом решение (6.55) ищется в виде ряда (6.56), но в решении для нулевого приближения (6.59), (6.60) амплитуды полагаются медленно меняющимися (вследствие рас пред елейно сти системы амплитуды должны меняться как во времени, так и в пространстве), а в фазе вводится малая расстройка [c.268]

Вне областей параметрического резонанса поведение решения уравнения (3.6) исследовалось в работах [91, 93, 109, 171, 423, 671] и др. Из теории уравнения Матье известно (см. также [91, 93, 171]), что при достаточно больших значениях частоты и амплитуды колебаний оси подвеса (уо > I, q> q ) верхнее положение равновесия маятника становится устойчивым (при этом нижнее положение равновесия также остается устойчивым). Аналитически оценку границы устойчивости верхнего положения равновесия удобно произвести, если пренебречь затуханием а и записать уравнение (3.6) при малых = х — л в виде [c.278]

Из полученных соотношений для передаточной матрицы видно, что в спектре колебаний помимо частот возмущений (Oj имеются частоты (oj 0д. Наличие переменных коэффициентов в уравнениях оказывает влияние и на резонансные свойства вибрации. При параметрическом резонансе колебания с возрастающей амплитудой имеют место в некоторых интервалах значений параметров системы, в то время как при обычном резонансе они наступают при определенных значениях параметров системы. Кроме того, амплитуды возрастающих колебаний при параметрическом резонансе изменяются по показательному закону, а при точечном резонансе — по степенному. Обычный резонанс наступает при совпадении частот возмущений с частотами собственных колебаний. Параметрический резонанс возможен, когда частоты изменения параметров 0 кратны собственным частотам системы. Границы главных областей неустойчивости определяются зависимостями, представленными в работе [П4]. Введение демпфирования сужает области параметрического резонанса. [c.684]

Обе границы области параметрического резонанса, исходящей из точки Р7, при вс О стремятся к угловой точке Р3 области допустимых значений параметров. Вблизи точки Р7 граничные кривые задаются уравнениями [c.542]

Рассмотрим ситуацию, аналогичную изученной выше, но считая при этом, что сверху находится жидкость с конечными плотностью и вязкостью. Учет конечных плотности и вязкости второй, более легкой, жидкости (или газа) приводит к заметному изменению границ возбуждения параметрического резонанса. Обозначим индексом 1 величины, относяш иеся к верхней, более легкой, жидкости, а индексом 2 — к нижней. Будем считать, что в системе отсчета сосуда при невозмущенной поверхности раздела тяжелая жидкость занимает полупространство г < О, а легкая г > О (декартова система координат выбрана аналогично введенной выше при рассмотрении жидкости со свободной поверхностью). [c.20]

Получившаяся линейная задача аналогична разобранной в 1.1 как там уже отмечалось, на плоскости параметров до, к + к) /ьР существуют области, в которых решения (1.2.28) неограниченно нарастают (параметрический резонанс). Границы этих областей имеют минимум до — О при (к + к) иР — гР (п = 1,2,3,...) (см. рис. 1.1.1). [c.29]

Используя известные результаты исследования областей параметрического резонанса для уравнения (1.3.31), можно легко построить границы областей неустойчивости на плоскости параметров В у, к. [c.51]

Вопрос об устойчивости периодических движений линейных гамильтоновых систем подробно исследовался в работах М. Г. Крейна и В. А. Якубовича, результаты которых подытожены в совместной статье этих авторов (1963). Полученные ими результаты являются основой математической теории параметрического резонанса. М. Г. Крейн установил, что собственные частоты колебаний механических систем по отношению к параметрическому резонансу подразделяются на частоты первого и второго рода. Параметрический резонанс в классе гамильтоновых систем возможен лишь в случае, когда частота возмущения близка к одному из критических значений ( >j + ( л)/А , если и — собственнице частоты одного рода, и I (Оу — о>й I /М, если со и со — собственные частоты разного рода (здесь N — произвольное целое число). Указано, каким образом определяется род собственных частот. В. А, Якубовичем (1958) получены формулы для границ областей динамической неустойчивости, позволяющие, в частности, классифицировать указанные выше критические значения по степени их опасности . [c.37]

Если при расчетах пренебречь демпфированием, то Q = Ра. Введем параметр у = 0), при котором наступает параметрический резонанс он зависит от г, а поэтому при использовании резонансов необходимо определить границы значений у ((х), которые характеризуют резонансные области или зоны неустойчивости. [c.104]

Как показывают расчеты и эксперименты, основной параметрический резонанс имеет место при 0 = где j = к. Границы [c.104]

Период изменения коэффициентов, входящих в уравнение (5.22), равен 2я. На границах зон параметрического резонанса 7 ( х) уравнение (5.22) имеет решение я (т, (г), которое должно удовлетворять условию [c.104]

Кроме главных, возможны еще и комбинационные параметрические резонансы. Границы зон комбинационных областей неустойчивости определяются из соотношения [c.119]

В эллиптической задаче возможно явление параметрического резонанса. При малых значениях е границы областей неустойчивости можно найти аналитически, использовав результаты 6 и 7 второй главы. Параметрический резонанс обнаруживается в окрестности тех значений параметра для которых величины и Яг в нормальной форме квадратичной части функции Гамильтона [c.149]

Граница криволинейного треугольника соответствует параметрическому резонансу + / 2 2 = ( i, К, N — целые числа I I + I A 2 I = 1 или 2). Эти резонансы обнаруживаются уже при анализе линейной задачи. Получим еще внутри криволинейного треугольника кривые, соответствующие резонансам третьего и четвертого порядков, обнаруживающимся при нелинейном анализе. [c.165]

Рассмотрим случай параметрического резонанса. Из точек на оси Оц, для которых выполнено соотношение (8.2), при малых значениях параметра е будут исходить области параметрического резонанса (области неустойчивости линейной системы с гамильтонианом (8.18)). Согласно [97] (см. также главу 2), границы областей параметрического резонанса в наших обозначениях запишутся так [c.226]

Подставляя выражения (8.4), (8.20) и (8.22) в ряды (8.23), а затем получившиеся выражения подставляя в уравнение границы области параметрического резонанса (8.21) и приравнивая члены одинакового порядка по е (до членов е1 1 включительно), найдем коэффициенты разложения ц по параметру е [c.226]

В (8.24) — (8.26) знаки означают, что даются уравнения сразу двух границ области параметрического резонанса. [c.227]

Коэффициенты разложений границ областей параметрического резонанса в ряды по е, подсчитанные по формулам (8.24) — (8.28), приведены в табл. 15. [c.231]

Определин границы неустойчивости (границы параметрического резонанса) в зависимости от частот и амплитуд возмущений, можно установить условия н подобрать параметры конструкций таким образом, чтобы колебания не возникали, еслн они ие желательны, или возникали, если они необходимы по условиям выполнения технологического процесса. Исследование линейных дифференцнальных уравнений с периодическими и квазниернодическнми коэффициентами не дает ответа на вопрос, каковы будут амплитуды колебаний. [c.42]

Относительная ширина областей иеустойиивости. Пусть система с несколькими степенями свободы находится под действием гармонического параметрического возбуждения. Если все элементы матрицы F в уравнении (46) имеют одинаковый порядок, то относительная ширина всех главных областей неустойчивости, измеряемая по отношениям частот, имеет одинаковый порядок (i,. При слабой связи между обобщенными координатами области комбинационных резонансов могут оказаться уже областей простых резонансов. Напротив, если диагональные элементы матрицы F в главных осях матрицы А С равны нулю или малы по модулю по сравнению с недиагональными элементами, то области простых резонансов будут уже областей комбинационных резонансов того же порядка. Например, при = О формула (50) указывает на слияние границ основного резонанса (в действительности ширина этой области может иметь порядок или менее). [c.131]

Штриховые линии на рис. 5.2 характеризуют потерю устойчивости моментных функций вида xiyTyT), х2уТу2), которые содержат фазовые переменные Хи в первой степени. Эти линии не определяют устойчивость стохастического решения, однако они могут быть использованы как оценки верхней грани выборочных значений критических сочетаний параметров. Для моментов указанного типа потеря устойчивости может происходить при чисто мнимых характеристических показателях i, а соответствующие частные решения могут иметь осциллирующий характер (участки кривых выше точек излома). На рис. 5.3 показаны аналогичные границы области устойчивости, построенные при других сочетаниях параметров. На этих графиках более четко выражены области побочных параметрических резонансов. [c.145]

Аналитическое и численное исследование показало, что существует только две области параметрического резонанса. На рис. 3 эти области заштрихованы. Они исходят из точек Р4( /3/3, /3) и Р7(2 5/5,2У /5), лежащих на отрезке Р1Р2. В малых окрестностях этих точек (когда вь = 9с для границ об- [c.541]

На кривых Р4Р5 и Р4Р6 имеет место резонанс первого порядка Л = 2, а на границах области параметрического резонанса, исходящей из точки Р7, — резонанс второго порядка 2Л = 3. Внутри областей устойчивости в первом приближении существуют две кривые резонансов третьего порядка (ЗЛ = 5 и ЗЛ = 4) и две кривые резонансов четвертого порядка (4Л = 7 и 4Л = 5). Они начинаются (см. рис. 3) [c.543]

На левой границе Р4Р5 области параметрического резонанса, исходящей из точки Р4, прецессия Гриоли орбитально неустойчива всюду, кроме точки Pi2(0,578, 0,57175), где вопрос об устойчивости остался открытым. На правой границе Р4Р6 также имеет место неустойчивость всюду, кроме точки Pis(0,65635, 0,444957). В этой точке прецессия орбитально устойчива. [c.543]

Левая граница области параметрического резонанса, исходящей из точки Р7, разбивается точкой Р14(0,853, 0,604) на два участка. На участке Р7Р14 имеет место орбитальная устойчивость в точке Р14 вопрос об устойчивости остался открытым в остальных исследованных точках прецессия неустойчива. Правая граница точкой Р15 (0,87876, 0,678) также разбивается на два участка. К точке Р7 [c.543]

Гораздо более сложно учесть влияние фазовых колебаний при малых энергиях частиц, когда колебания эти сравнительно быстры ( ф < Ьрад)- Воспользуемся соотношением (9.57). При каждом изменении коэффициента v = от периода к периоду размах радиальных колебаний изменяется пропорционально Уф. Величина % заключена между нулем и единицей и зависит от фаз радиальных колебаний в местах изменения Уф. В наихудшем случае, который можно себе представить, х = О при увеличениях Уф и х = 1 при уменьшениях Vф. Это случай максимально выраженного параметрического резонанса. Размах радиальных колебаний возрастает при таком резонансе в А>ф J,aJ,(,/vф раз за период изменения Уф. Как видно из диаграммы устойчивости (см. рис. 70), при Gg = 10 12 и приближении к границам устойчивости вплоть до линии v = 1/2 отношение может достигать 1, 2, причем величина Vф v [c.215]

Из резонансов, являющихся порождающими (на оси 0[а) для областей неустойчивости линейной системы, это только резонансы 2о)1 = N( 2, где Ж > 5 (в плоской и пространственной задачах), и 2 = ЫьУ2, где > 4 (в пространственной задаче), для периодических движений II типа. Из соответствующих этим резонансам точек на оси 0[х будут исходить очень узкие области неустойчивости (вообще говоря, области тем уже, чем больше N), которые при приближении к оси Ог сгущаются и перемежаются с областями устойчивости в линейном приближении. Согласно формулам (8.27), границы этих областей параметрического резонанса мало отличаются от квадратичных парабол, а подсчитанные для них величины б из (8.28) при достаточно малых а будут принимать только отрицательные значения следовательно, все параболы загнуты к оси Ое при достаточно малых р, и е. [c.234]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...