Градиент скаляра по тензору

Градиент скаляра. На основании (2 .65) ковариантная производная тензора нулевого ранга (скаляра) совпадает с частной производной [c.417]

Замечая, что градиент вектора, являющегося градиентом скаляра 1 з, является симметричным тензором, имеем [c.130]

Отсюда, сославшись на определение градиента скаляра по тензору (1.12.7), имеем [c.680]

Градиент скаляра по тензору. Пусть /( 11,. .., <73i) =—функция компонент тензора Q, заданных в осях is. Элементы матрицы преобразуются при задании компонент Q в новых осях по правилу (1.3.7) действительно, [c.832]

Сопутствующий симметричному тензору вектор равен нулю — в применении к тензору УУф приходим к известному свойству градиента скаляра [c.843]

Совокупность величин — образует тензор с = Vo на единицу большей валентности, чем о, который называется градиентом тензора о. В частности, градиент скаляра — вектор. [c.212]

Тензор-градиент от вектора-градиента скаляра х [c.51]

Градиент тензора представляет собой тензор третьего ранга. (В общем тензорном анализе или линейной алгебре скаляры рассматриваются как тензоры нулевого ранга, векторы — как тензоры первого ранга, тензоры — как тензоры второго ранга кроме того, изучаются тензоры более высокого ранга. Их компоненты имеют более чем два индекса и преобразуются при изменении системы координат согласно правилам, аналогичным (1-2.10), (1-2.11) и (1-3.23)—(1-3.25).) [c.34]

Из изложенного выше ясно, что символ V широко применяется при введении различных величин. Этот символ V имеет также специальное название — оператор набла. Во избежание недоразумений важно помнить, что оператор, подразумеваемый под этим символом, зависит от природы величины, к которой он применяется в этом отношении он различен в применении к скалярам, векторам и тензорам. С другой стороны, в компонентной форме эта операция допускает общую формулировку при помощи кова-риантного дифференцирования тензора и-го ранга. Кроме того, следует подчеркнуть различие между операторами V и V., которые обозначают градиент и дивергенцию соответственно. [c.35]

Согласно (19), энтропия может изменяться двумя путями 1) изменение энтропии за счет внешнего притока тепла и вещества, что выражается первым членом правой части уравнения, который содержит тепловой и диффузионный потоки, описываемые уравнением (20) 2) изменение энтропии за счет внутреннего прироста ст. Этот прирост энтропии, который определен вторым членом в правой части уравнения (19), является положительным (или нулевым). Согласно второму закону термодинамики, он (прирост) является мерой необратимости процессов, имеющих место внутри системы. (В частности, он не наблюдается при термодинамическом равновесии). Как видно из выражения (21), прирост энтропии складывается из пяти компонент, из которых первая возникает от теплообмена, вторая — от диффузии вещества и три других —от вязкого потока. Каждый член является произведением потока (потока тепла, диффузионного потока J., компонентов тензора давления вязкости) и так называемой термодинамической силы" (градиент температуры, градиент химического потенциала, градиент скорости). Здесь можно положить, что первые два потока и термодинамические силы являются векторами (полярными), третий член содержит скаляры, четвертый—симметричные тензоры с нулевым следом и пятый-—аксиальные векторы. Далее увидим, что (см. 6) последние три члена из (21) связаны с объемной вязкостью,, вязкостью сдвига и вязкостью вращения соответственно. [c.9]

Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале 7 предыдущей главы. Скаляр и вектор зависели пе голько от положения точки в пространстве, где они вычислялись, но и от направления дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и векторного полей, но выражались простыми формулами (10) и (23) как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины были уже однозначными функциями и образовывали соответственно векторное и тензорное поля. Докажем, что и напряжения можно выразить как произведения орта п нормали площадки и некоторого тензора, представляющего однозначную функцию точек пространства. [c.86]

Определяющие соотношения. Основной этап в моделировании процессов деформирования заключается в выборе определяющих соотношений. Под процессом понимается задание некоторого геометрического объекта (скаляра, вектора, тензора и т. п.) или их комбинаций в некоторой частице среды как функций времени 1. Большинство параметров МСС могут быть разбиты на основные (деформация, температура, градиент температуры, изменение объема, электрическая или магнитная напряженности и т. п.) и на их потоки (напряжения, энтропия, вектор теплового потока, давление, электрическая и магнитная индукции и т.п.). [c.646]

Применение тензоров аффинной деформации позволяет связать дифференциальные операции над функциями градиента места или мер деформации с производными по этим мерам. Например, для скаляра [c.55]

Градиент произведения скаляров, скаляра на вектор, на тензор [c.469]

Упражнение 1.11.2. Доказать, что градиент не зависящего от системы отсчета скаляра есть не зависящий от системы отсчета вектор что собственные числа, след и определитель не зависящего от системы отсчета тензора являются не зависящими от системы отсчета скалярами что собственные векторы такого тензора являются не зависящими от системы отсчета векторами что скалярное произведение двух не зависящих от системы отсчета векторов является не зависящим от системы отсчета скаляром и что тензорное произведение и внешнее произведение не зависящих от системы отсчета векторов являются не зависящими от системы отсчета тензорами. [c.59]

Двукратное дифференцирование. Набла-оператор над градиентом скаляра определяет сим.четричный тензор второго ранга [c.475]

Термодинамические силы Х и Хт являются тензорами первого ранга (векторами) поэтому между ними возможно сочетание. Это сочетание дают налагающие явления переноса эффект Соре при молекулярном переносе тепла я эффект Дюфо при диффузии вещества. Одна1КО сочетания теплопроводности или диффузии с химическими и фазовыми превращениями быть не может, так как разница в рангах между силами А и и Ai или между Х . и Ai равна единице (нечетное число). Так же не может быть сочетания между молекулярными переносами тепла и количества движения или между диффузией и внутренним трением, так как термодинамические силы молекулярного переноса тепла и массы являются тензорами первого ра нга, а термодинамические силы молекулярного переноса количества движения — тензоры второго ранга (разница в рангах тензоров выражается нечетным числом). Однако в некоторых частных случаях внутреннее трение можно рассматривать как молекулярный перенос кинетической энергии движения потока жидкости, который происходит под действ ием термодинам1ической силы — кинетической энергии движения (градиент от скаляра). В этом случае возможно сочетание между молекулярными переносами тепла, массы вещества И энергии движения жидкости, так как все они описываются действием термодинамических сил, которые являются тензорами одинакового ранга (векторами). На основании принципа Кюри возможно сочетание между молекулярным переносом количества движения (объ-емиая вязкость) и процессами химических и фазовых превращений, так как в первом случае силы Л,- являются тензором нулевого ранга, а во втором случае — тензором второго ранга. Следовательно, разница в рангах тензоров равна двум (четное число), и поэтому сочетание между ними возможно. [c.13]

В предыдущих параграфах этой главы были выведены соотношения, описывающие явление интерференции и содержащие производные от оптической разности хода В. В эти производные входит вектор смещения и, а также градиент смещения Уп и, который, как видно из разложения (2.109), состоит из симметричного тензора у относительной деформации поверхности, Скаляра О, характеризующего центральный поворот, и Ёектора наклона о [c.127]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...