Теорема об устойчивых н неустойчивых многообразиях для гиперболических множеств

Теорема. Пусть в теореме пункта 5.2 оба условия 1 и 2 нарушены, то есть при 0<О (о>0) ведущее неустойчивое (соответственно, устойчивое) направление комплексно (и двумерно). Тогда все векторные поля семейства достаточно близкие к критическому, имеют гиперболические инвариантные множества преобразование монодромии поля имеет при е=5 0 конечное число подков Смейла, неограниченно растущее при стремлении е к нулю и равное бесконечности для поля Vo. Каждое из полей при достаточно малом е имеет счетное множество гиперболических предельных циклов, устойчивые многообразия которых имеют такую же размерность, как устойчивое многообразие гиперболического седла. [c.137]

Теорема 19.1.8. Пусть М — риманово многообразие, множество и С М открыто и / и М — вложение с компактным инвариантным гиперболическим множеством Ас и. Предположим, далее, что для некоторого а > 1 условие связывания (19.1,1) выполнено для всех точек множества А. Тогда устойчивые и неустойчивые распределения принадлежат классу С. [c.606]

Свойства экспоненциального отображения, в частности тот факт, что его дифференциал в начале координат является тождественным отображением, и гладкость зависимости ехр от х, гарантируют, что для достаточно малого е>0 каждое отображение С -близко к своему дифференциалу в начале координат, который просто представляет собой дифференциал Df)x> выраженный в наших координатах. Тогда, используя лемму о продолжении 6.2.7, можно продолжить отображения для некоторого е, < е на все пространство К . Обозначим продолженные отображения просто через Д. Таким образом, вдоль каждой орбиты f" x) ra z х еАмы получаем последовательность отображений Д = R" i удовлетворяющих условиям теоремы 6.2.8. В частности, еще раз уменьшая е до некоторого Eji мы можем сделать число 6, входящее в формулировку этой теоремы, произвольно малым. Переформулировка утверждения этой теоремы в терминах первоначального отображения / дает следующий результат, который обычно называется теоремой об устойчивых и неустойчивых многообразиях для гиперболических множеств. [c.272]

Другое важное замечание состоит в том, что утверждение о трансверсальности из теоремы Купки — Смейла не может быть обобщено на случай устойчивых и чеустойчивых многообразий непериодических точек. Например, если Л — гиперболическое множество, то каждая точка Л обладает устойчивым и неустойчивым многообразиями (см. 6.4), так что для установления трансверсальности пришлось бы иметь дело с несчетным множеством точек. Нетрудно построить такой пример системы с двумя непе-ресекающимися локально максимальными гиперболическими мнозкествами, что касания между устойчивыми многообразиями точек первого множества и неустойчивыми многообразиями точек другого имеют место для открытого множества возмущений данного отображения [ ]. [c.303]

Теорема 17.4.3. Пусть к — гиперболическое множество С-потока М М, г М, Л, /А — такие же числа, как в определении 17.4.1, и 0 > 0. Тогда для каждого х е Л существует пара таких вложенных С-дисков И (х), И "(х), называемых локальным сильно устойчивым многообразием и локальньш сильно неустойчивым многообразием точки X соответственно, что [c.545]

Мы встречались с понятием марковского разбиения неоднократно при рассмотрении кодирования для растягивающих отображений (п. 2.4 б), при изучении множеств типа подковы для квадратичных отображений (п. 2.5 б) и подковы Смейла (п. 2.5 в), при исследовании гиперболического автоморфизма тора (п. 2.5 г), гиперболических отталкивающих множеств для общих одномерных систем (теорема 16.1.1) и аттрактора Смейла ( 17.1). Во всех этих примерах марковские разбиения дают либо сопряжение с топологической цепью Маркова, либо полусопряжение, которые описываются весьма элементарным образом. Оказывается, это явление представляет собой феномен, характерный для малых размерностей и возникающий благодаря тому факту, что граница каждого из упомянутых множеств представляет собой конечное объединение отрезков устойчивых и неустойчивых многообразий. Уже для гиперболического автомтфизма тора Т необходимо определять элементы разбиения таким способом, чтобы граница содержала несчетное множество отрезков устойчивых или неустойчивых многообразий. Таким образом, геометрическая структура марковских разбиений в высших размерностях оказывается гораздо более сложной. Однако возможность рассматривать марковские разбиения существует, и с помощью этих разбиений мы сможем установить достаточно хорошее соответствие между марковской моделью и компактным локально максимальным гиперболическим множеством Л. [c.593]

Теорема 19.1.6. Пусть М — риманово многообразие, множество и с М открыто и / II М С -вложение с компактным инвариантным гиперболическим множеством А. а и. Тогда устойчивые и неустойчивые распределения являются гёльдеровыми. [c.603]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...