Локальное устойчивое i(-неустойчивое) многообразие

В отличие от локального устойчивого и неустойчивого многообразий глобальные многообразия обычно вложены в фазовое пространство сложным способом. Типичный вид устойчивого и неустойчивого многообразий показан на рис. 6.5.2. В случаях, когда это не приводит к путанице, мы не будем упоминать отображение / и будем говорить просто о локальном и глобальном устойчивом и неустойчивом многообразиях в данной точке. [c.247]

Здесь Л, /X, Л < 1 < /X, — скорости сжатия и растяжения, как и выше. Число 6 может быть сделано произвольно малым путем уменьшения, в случае необходимости, окрестности О (и замены диска Т> его образом под действием некоторой итерации /", так чтобы Т> пересекал локальное устойчивое подмногообразие точки р в точке из О). Аналогично тому, как это делалось при доказательстве гладкости устойчивого и неустойчивого многообразий, удобно рассматривать плоскости в горизонтальных 7-конусах как графики линейных отображений, операторная норма которых (обозначаемая ) не превосходит 7. Уменьшая, если нужно, диск Т>, мы можем считать, что i n( 0 R" ) = z состоит из одной точки. Тогда наш первый шаг состоит в демонстрации того, что /"(2 ) содержится в горизонтальном (е/2)-ко-нусе для некоторого п G N, где = f (z). Для этого рассмотрим линейное отображение Е/. К —где Ц < К. Его график параметризован как образ линейного отображения [c.263]

Замечание. Локальные устойчивые и неустойчивые многообразия определены неоднозначно, и, вообще говоря, нет никакого канонического в том или ином смысле способа выбирать их. Однако, как немедленно следует из пунктов (3) и (4) этой теоремы, для любых двух локальных устойчивых многообразий, скажем, и удовлетворяющих заключению теоремы, их пересечение содержит открытую окрестность точки х в каждом из них. Иными словами, можно сказать, что для некоторого п О выполнены условия r(W (f "(x))) с и Г(W U- x))) с Более того, такое число п может быть выбрано одним и тем же для всех х б Л. То же, конечно, верно и для локальных неустойчивых многообразий с заменой п на -п. [c.273]

Следующее утверждение устанавливает своего рода единственность локальных устойчивых и неустойчивых многообразий. [c.273]

Начнем с краткого рассмотрения картины, возникающей при наличии трансверсальной гомоклинической точки у сохраняющего площадь диффеоморфизма / Будем считать, что начало координат является неподвижной точкой / и что вблизи начала координат /(х, у) = (2х, 2//2). Локальные устойчивое и неустойчивое многообразия начала координат представляют собой соответственно отрезки оси у и оси х. Допустим, что их продолжения пересекаются трансверсально в точке д. [c.281]

Рис. 6.5.2. Гомоклинические осцилляции Так как неустойчивое многообразие не имеет самопересечений, мы таким образом получаем все более и более тонкие петли, накапливающиеся на неустойчивом многообразии. Поскольку те же соображения имеют место для устойчивого многообразия, мы получаем аналогичные осцилляции и для него, и, таким образом, окончательная картина выглядит так, как показано на рис. 6.5.2. В частности, мы получаем целую сеть новых трансверсальных гомоклинических точек. По Л-лемме (предложение 6.2.23) эта картина имеет место независимо от того, сохраняет ли наше отображение площадь, а также от вида локальной гладкой линеаризации. Таким образом, любая трансверсальная гомоклиническая точка порождает гомоклинические осцилляции, показанные на рис. 6.5.2.

Доказательство. Сначала, используя теорему 6.2.3, введем подходящие локальные координаты с центром в р так, чтобы устойчивое и неустойчивое многообразия в точке р совпали с координатными подпространствами К и соответственно. Так как устойчивые и неустойчивые многообразия для д и для / имеют касания бесконечной кратности, можно сопрячь д, используя некоторый диффеоморфизм, имеющий касание бесконечной кратности с тождественным, для которого возникающие в результате устойчивое и неустойчивое многообразия совпадают с соответствующими многообразиями /. По лемме о продолжении 6.2.7 существует пара (7°°-диффеоморфизмов К , сохраняющих начало координат, совпадающих с координатными представлениями /ид соответственно в некоторой окрестности начала координат и с линейной частью /ад вне некоторой большей окрестности, сохраняющих R и К"" и С -близких к их общей линейной части. Мы будем по-прежнему обозначать эти отображения / ад. Тогда отображение а = f — д имеет нулевые струи всех порядков в начале координат и само обращается в нуль вне некоторой окрестности начала координат. Покажем теперь, что отображение а может быть разложено в сумму [c.289]

Чтобы показать, что O(J) ограничено, сначала заметим, что проекция h(e(J)) на неустойчивое многообразие У (0) нуля для F, вдоль устойчивых направлений V отображения равна проекции Н(у [0,1])), следовательно, компактна, и проекция на V (0) вдоль У содержится в проекции H(rj([0,1])), так что множество H e(J)) ограничено и, следовательно, e(J) ограничено по лемме 18.6.6.. Таким образом, имеется такая последовательность (а , i )-+ (Sq, io) с а а +[, что в(з , i )- p для некоторого р 6 R". Без потери общности можно считать, что эта последовательность содержится в окрестности О точки р со структурой локального произведения. Тогда 0(а i,)) = o(a io) и в(з , t,) W (p)n П T "(o(ai, i,)) = o(sq, i,), так что для любого (5 , TJ - (sq, t ) мы имеем [c.592]

Доказательство леммы 20.4.2. Пусть т = dim М. Сначала заменим шары В х, е, п) множествами, с которыми легче работать. Для каждой точки х М рассмотрим подходящие координаты в окрестности точки X, как это делалось в п. 19.1 г. Подобно случаю периодической точки (теорема 6.2.3) мы можем выбрать эти координаты так, чтобы локальные неустойчивые многообразия W (a ) параметризовались в координатах некоторым диском из плоскости R X 0 и локальные устойчивые многообразия W " x) —диском из 0 Если точка параметризуется как (у,, 2 ) R X К" , то найдутся такие константы с,, j > О, не зависящие от точек хну, что [c.639]

Теоремы об аналитическом устойчивом (неустойчивом) инвариантном многообразии сформулированы в 4 главы 3. Аналогичные теоремы справедливы для голоморфных векторных полей [18 31]. Формулируемые ниже теоремы о локальных инвариантных многообразиях голоморфных векторных полей позволяют находить аналитические инвариантные многообразия, содержащие особую точку вещественно аналитического поля и не принадлежащие ни устойчивому, ни неустойчивому многообразию этой точки. [c.81]

Естественно попытаться построить для рассеивающих бил-.лиардов локальные устойчивые и неустойчивые многообразия (ЛУМ и ЛНМ) (см. гл. 7, 1). Соответствующая теорема для подобного рода биллиардов была доказана в [37] (см. также [97]). [c.181]

А. Пуанкаре впервые обратил внимание на связь орбитальной устойчивости замкнутой геодезической на римановом многообразии со свойствами соответствующей критической точки функционала действия. Им доказано, что невырожденная замкнутая геодезическая локально минимальной длины на двумерном ориентируемом римановом многообразии гиперболична, следовательно, неустойчива [66]. В дальнейшем усилиями ряда авторов этот результат был обобщен. Оказывается, индекс Морса невырожденной эллиптической замкнутой геодезической на двумерном римановом многообразии нечетный, если геодезическая ориентируема, и четный — в противном случае (см., например, [60]). [c.157]

Локальное устойчивое (неустойчивое) многообразие 126, 128 Малые случайные возмущения 151 Марковское разбиение 144 Мезеровский спектр 138 Мера ги>ббоовска 67 [c.309]

Множества У (л ) и У7"(л ) (соответственно U5 e( ) и 1ГИл )> называются устойчивыми н неустойчивыми многообразиями (соответственно локальными многообразиями) точки л еЛ. [c.211]

Таким образом, устойчивое и неустойчивое многообразия гиперболической неподвижной точки могут быть определены в чисто топологических терминах. Поскольку теорема 6.2.3 описывает исключительно динамику в окрестности точки р, она может быть переформулирована в локальных терминах. А именно, можно ввести такие координаты в некоторой окрестности точки р (с началом координат в р), что E (Df ) и E Df ) касательны к координатным плоскостям R х 0 и 0J х соответственно. Теорема 6.2.3 в этой локальной (или евклидовои) форме становится тогда частным случаем главного результата этого параграфа — теоремы 6.2.8. Гладкие подходящие координаты получаются нз координат -ф i7—из доказательства теоремы 6.2.8, в которых является графиком некоторой функции R — R, а WJ4 — графиком некоторой функции ip М -> 1R , после перехода от переменных (ж, у) е R R к (х, у ) = х - tp y), у - <р х)). [c.247]

Докажите, что локально устойчивое и неустойчивое многообразия в окрестности гиперболической неподвижной точки симплектического диффеомо изма являются лагранже-выми (определение 5.5.7). Обобщите это утверждение на случай негиперболической неподвижной точки симплектического диффеоморфизма. [c.265]

С другой стороны, локальные устойчивые и неустойчивые многообраз] пересекаются в точности в одной точке так как. Б+ и непрерывны на и равномерно трансверсальны в силу следствия 6.4.5, из гладкости и W " x) следует такое предложение. [c.274]

Другое важное замечание состоит в том, что утверждение о трансверсальности из теоремы Купки — Смейла не может быть обобщено на случай устойчивых и чеустойчивых многообразий непериодических точек. Например, если Л — гиперболическое множество, то каждая точка Л обладает устойчивым и неустойчивым многообразиями (см. 6.4), так что для установления трансверсальности пришлось бы иметь дело с несчетным множеством точек. Нетрудно построить такой пример системы с двумя непе-ресекающимися локально максимальными гиперболическими мнозкествами, что касания между устойчивыми многообразиями точек первого множества и неустойчивыми многообразиями точек другого имеют место для открытого множества возмущений данного отображения [ ]. [c.303]

Теорема 17.4.3. Пусть к — гиперболическое множество С-потока М М, г М, Л, /А — такие же числа, как в определении 17.4.1, и 0 > 0. Тогда для каждого х е Л существует пара таких вложенных С-дисков И (х), И "(х), называемых локальным сильно устойчивым многообразием и локальньш сильно неустойчивым многообразием точки X соответственно, что [c.545]

Доказательство. Пусть К = sup Df , где верхняя грань берется по некоторой окрестности Л, и е > О — допустимый размер локальных устойчивого и неустойчивого многообразий в определении локальной структуры произведения. Обозначим через d" метрику иа неустойчивых слояХ W". Тогда существует такое М>0, что d (p, W (q) П W (p)) < Md(p, q), если d(p,q) достаточно мало, и W q) П W (p) ф0. Для любого 5, < тт 1/(МЙГ), 1/2, е/2 выберем 6 SJ MK) так, что если d(x, у) < 6 , то W (x)n W (y) Ф 0. Чтобы заверпшть доказательство, мы должны показать, что выполнено следующее утверждение если х 6 Л, у е W x) и Л)< 2 для всех n N, то а = min (/"(у), г) = о для [c.583]

Доказательство. Сначала докажем, что пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий для Р состоит не более чем из одной точки. Будем рассуждать от противного и предположим, что у 6 И "(х) П И (х) и уф X. Выберем окрестность Р точки х с локальной структурой произведения, которая не содержит у. Поскольку множества Р) = г У г)ПР ф ф0 и Р) = г г)ПРф0 открыты, Ш (Р)пШ (Р) представляет собой окрестность точки у. Так как по следствию 6.4.19 периодические точки плотны в = Т", существует поднятие у /-периодической точки из множества И (Р) П И (Р) Р. Но П Р 0 и И (у) ПРф0, так что благодаря наличию стр туры произведения на Р найдется точка х W y ) П П Р. Таким образом, без потери общности мы можем считать, что у 6 х) П 1У (х), уфх я х — поднятие неподвижной точки отображения / (быть может, после перехода к некоторой итерации). Меняя, если нужно, поднятие Р отображения /, мы можем считать, что х — неподвижная точка отображения Р. -гомоклиническая точка у по следствию 6.5.6 является неблуждающей точкой, так что, поскольку периодические точки плотны в iVW(P), найдется периодическая точка г отображения Р вблизи у. Но если п — период г, то тем самым показано, что отображение Р" имеет две неподвижные точки, вопреки лемме 18.6.3. [c.591]

Мы встречались с понятием марковского разбиения неоднократно при рассмотрении кодирования для растягивающих отображений (п. 2.4 б), при изучении множеств типа подковы для квадратичных отображений (п. 2.5 б) и подковы Смейла (п. 2.5 в), при исследовании гиперболического автоморфизма тора (п. 2.5 г), гиперболических отталкивающих множеств для общих одномерных систем (теорема 16.1.1) и аттрактора Смейла ( 17.1). Во всех этих примерах марковские разбиения дают либо сопряжение с топологической цепью Маркова, либо полусопряжение, которые описываются весьма элементарным образом. Оказывается, это явление представляет собой феномен, характерный для малых размерностей и возникающий благодаря тому факту, что граница каждого из упомянутых множеств представляет собой конечное объединение отрезков устойчивых и неустойчивых многообразий. Уже для гиперболического автомтфизма тора Т необходимо определять элементы разбиения таким способом, чтобы граница содержала несчетное множество отрезков устойчивых или неустойчивых многообразий. Таким образом, геометрическая структура марковских разбиений в высших размерностях оказывается гораздо более сложной. Однако возможность рассматривать марковские разбиения существует, и с помощью этих разбиений мы сможем установить достаточно хорошее соответствие между марковской моделью и компактным локально максимальным гиперболическим множеством Л. [c.593]

Эта работа может рассматриваться как скромный шаг к более честолюбивой цели описания теории неравномерно гиперболических динамических систем в современной форме с синтетической точки зрения, основанной на технических методах, использующих е-редуюдаю (см. п. Д 2. г), регулярные окрестности и допустимые многообразия. Основы этого проекта заложены в наших неизданных и незаконченных заметках Гладкая эргодическая теория , которые были доступны лишь узкому кругу специалистов. Эти заметки содержат весь материал представленной работы в общем случае, включающий законченное доказательство мультипликативной эргодической теоремы. Кроме того, в них содержится обширная коллекция классов примеров, более полный анализ регулярных окрестностей, включающий оценки объема, доказательство локальной эргодичности и мат иал, касающийся семейств устойчивых и неустойчивых многообразий. В настоящий момент трудно предсказать будущее этого проекта. Мы надеемся, однако, вернуться к нему, налагая гладкую эргодическую теорию, даже в более широком контексте. [c.657]

Установить локальную максимальность легко точка, которая остается вблизи для всех п Z, по предположению содержится в пересечении устойчивого н неустойчивого многообразий из данного множества следовательно, имеется локальная структура произведения и локальная максимальность. И наоборот, пртдположим локальную максимальность н рассмотрим такую тоЧ1 у, как в утверждении. Тогда у лежит на некоторой е-орбите, которая совпадает с орбитой у для положительного времени и содержится в Л для отрицательного времени. Она приближается орбитой точки х Л, следовательно, положительно асимптотична [c.751]

В лекциях А. Г. Кушниренко и А. Б. Катка рассматривались только всюду определенные отображения, однако не представляет труда распространить определение гиперболического инвариантного множества и на случай локальных отображений, оставляя в определениях только те итерации отображения 5 и его дифференциала, которые имеют смысл. Осторожности требуют лишь неустойчивые и устойчивые многообразия. Только для П2 = +0С можно определить Ш р) как множество точек ц, траектории которых асимптотически близки к траектории р [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...