Многообразия устойчивые (неустойчивые) гиперболического множества

Периодическая траектория является гиперболическим множеством, если некоторые мультипликаторы (см. п. 2.5) лежат внутри, а остальные — вне единичной окружности (тривиальный мультипликатор, равный единице, опять не учи тывается). Множества и W траекторий, притягивающихся к предельному циклу при t- oo и при —оо, называются его устойчивым и неустойчивым многообразиями. Если сумма их размерностей равна N—1, то их пересечение называется трансверсальным. [c.126]

Теорема 19.1.8. Пусть М — риманово многообразие, множество и С М открыто и / и М — вложение с компактным инвариантным гиперболическим множеством Ас и. Предположим, далее, что для некоторого а > 1 условие связывания (19.1,1) выполнено для всех точек множества А. Тогда устойчивые и неустойчивые распределения принадлежат классу С. [c.606]

Замечание. Очевидно, предшествующий результат применим и к устойчивому распределению, если рассматривать отображение вместо /. В частности, отсюда мы видим, что устойчивые и неустойчивые распределения гиперболического множества на двумерном многообразии всегда С -гладки. [c.608]

Под сепаратрисой положения равновесия типа седло-узел подразумевается здесь часть центрального многообразия, не принадлежащая двумерному устойчивому или неустойчивому множеству другими словами, общая граница двух гиперболических секторов. [c.101]

Напомним, что векторное поле удовлетворяет аксиоме А, если его множество неблуждающих точек гиперболично и в нем плотны периодические траектории поля. Условие сильной трансверсальности состоит в следующем устойчивые и неустойчивые многообразия всех неблуждающих траекторий пересекаются трансверсально. Подробнее о гиперболической теории см. том 2 настоящего издания. [c.114]

Будем предполагать, что векторное поле, имеющее цикл с мультипликатором 1 и с некомпактным объединением множества гомоклинических траекторий с L, удовлетворяет следующим условиям общности положения его неблуждающее множество состоит из конечного числа гиперболических положений равновесия и гиперболических, кроме L, циклов, чьи устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально между собой и с St, SI, Wi, Wl, последние пересекаются трансверсально в каждой точке, не принадлежащей L. [c.121]

Обозначим через у(ф) векторное поле, порождающее поток, являющийся надстройкой над диффеоморфизмом ф. Обозначим через R множество дуг фе в пространстве диффеоморфизмов, таких что у(фь)6б1, у(фе) трансверсально пересекает B в точке (фб) г (фь) удовлетворяет условиям типичности, главное из которых состоит в следующем. Неблуждающее множество у(фг,) состоит из конечного множества циклов, причем если один из них ме гиперболический, то его устойчивые и неустойчивые множества и многообразия трансверсально пересекаются между собой и с многообразиями других циклов, а если все циклы гиперболичны, то их многообразия трансверсально пересекаются по всем траекториям, за исключением одной. [c.125]

Теорема. Пусть в теореме пункта 5.2 оба условия 1 и 2 нарушены, то есть при 0<О (о>0) ведущее неустойчивое (соответственно, устойчивое) направление комплексно (и двумерно). Тогда все векторные поля семейства достаточно близкие к критическому, имеют гиперболические инвариантные множества преобразование монодромии поля имеет при е=5 0 конечное число подков Смейла, неограниченно растущее при стремлении е к нулю и равное бесконечности для поля Vo. Каждое из полей при достаточно малом е имеет счетное множество гиперболических предельных циклов, устойчивые многообразия которых имеют такую же размерность, как устойчивое многообразие гиперболического седла. [c.137]

В одно- и двумерных фазовых пространствах структурной устойчивостью обладают так называемые системы Морса—Смейла, у которых множества неблуждающих точек состоят лишь из конечного числа неподвижных точек и замкнутых траекторий, причем все они — гиперболические отвечающие любым таким точкам устойчивое и неустойчивое многообразия трансверсальны (т. е. либо не пересекаются, либо касательные к ним пространства в каждой точке их пересечения и в сумме образуют полное касательное пространство). [c.127]

Касание неустойчивого многообразия седлового цикла с устойчивым многообразием того же самого или другого седлового цикла. В первом случае возникает гомоклиническая траектория, и при е>8 —нетривиальное гиперболическое множество, во втором — гетероклиническая траектория, и при е>8 аттрактор уже не является тором. [c.161]

Свойства экспоненциального отображения, в частности тот факт, что его дифференциал в начале координат является тождественным отображением, и гладкость зависимости ехр от х, гарантируют, что для достаточно малого е>0 каждое отображение С -близко к своему дифференциалу в начале координат, который просто представляет собой дифференциал Df)x> выраженный в наших координатах. Тогда, используя лемму о продолжении 6.2.7, можно продолжить отображения для некоторого е, < е на все пространство К . Обозначим продолженные отображения просто через Д. Таким образом, вдоль каждой орбиты f" x) ra z х еАмы получаем последовательность отображений Д = R" i удовлетворяющих условиям теоремы 6.2.8. В частности, еще раз уменьшая е до некоторого Eji мы можем сделать число 6, входящее в формулировку этой теоремы, произвольно малым. Переформулировка утверждения этой теоремы в терминах первоначального отображения / дает следующий результат, который обычно называется теоремой об устойчивых и неустойчивых многообразиях для гиперболических множеств. [c.272]

Другое важное замечание состоит в том, что утверждение о трансверсальности из теоремы Купки — Смейла не может быть обобщено на случай устойчивых и чеустойчивых многообразий непериодических точек. Например, если Л — гиперболическое множество, то каждая точка Л обладает устойчивым и неустойчивым многообразиями (см. 6.4), так что для установления трансверсальности пришлось бы иметь дело с несчетным множеством точек. Нетрудно построить такой пример системы с двумя непе-ресекающимися локально максимальными гиперболическими мнозкествами, что касания между устойчивыми многообразиями точек первого множества и неустойчивыми многообразиями точек другого имеют место для открытого множества возмущений данного отображения [ ]. [c.303]

Теорема 17.4.3. Пусть к — гиперболическое множество С-потока М М, г М, Л, /А — такие же числа, как в определении 17.4.1, и 0 > 0. Тогда для каждого х е Л существует пара таких вложенных С-дисков И (х), И "(х), называемых локальным сильно устойчивым многообразием и локальньш сильно неустойчивым многообразием точки X соответственно, что [c.545]

Мы встречались с понятием марковского разбиения неоднократно при рассмотрении кодирования для растягивающих отображений (п. 2.4 б), при изучении множеств типа подковы для квадратичных отображений (п. 2.5 б) и подковы Смейла (п. 2.5 в), при исследовании гиперболического автоморфизма тора (п. 2.5 г), гиперболических отталкивающих множеств для общих одномерных систем (теорема 16.1.1) и аттрактора Смейла ( 17.1). Во всех этих примерах марковские разбиения дают либо сопряжение с топологической цепью Маркова, либо полусопряжение, которые описываются весьма элементарным образом. Оказывается, это явление представляет собой феномен, характерный для малых размерностей и возникающий благодаря тому факту, что граница каждого из упомянутых множеств представляет собой конечное объединение отрезков устойчивых и неустойчивых многообразий. Уже для гиперболического автомтфизма тора Т необходимо определять элементы разбиения таким способом, чтобы граница содержала несчетное множество отрезков устойчивых или неустойчивых многообразий. Таким образом, геометрическая структура марковских разбиений в высших размерностях оказывается гораздо более сложной. Однако возможность рассматривать марковские разбиения существует, и с помощью этих разбиений мы сможем установить достаточно хорошее соответствие между марковской моделью и компактным локально максимальным гиперболическим множеством Л. [c.593]

Следствие 19.1.3. Пусть М , М —римановы многообразия, множества Ui с М,. открыты и /, СЛ — М—вложения с компактными инвариантными гиперболическими множествами с Ц ( = 1,2). Если зависимость устойчивого и неустойчивого многообразий /, от базовой точки гёльдерова и отображения /, и /г топологически сопряжены, то зависимость устойчивого и неустойчивого многообразий от базовой точки тлкже гёльдерова. [c.602]

Теорема 19.1.6. Пусть М — риманово многообразие, множество и с М открыто и / II М С -вложение с компактным инвариантным гиперболическим множеством А. а и. Тогда устойчивые и неустойчивые распределения являются гёльдеровыми. [c.603]

Следствие 19.1.12. Пусть М — риманово многообразие, множество исМ открыто и/ и М — сохраняюи ее объем вложение с компактным инвариантным гиперболическим множеством Ас и. Предположим, что устойчивое распределение имеет коразмерность один. Тогда устойчивое и неустойчивое распределения принадлежат классу С . [c.608]

Очевидно, бифуркационное множество содержит векторные поля, имеющие негиперболические особые точки или негипер.-болические циклы, а также векторные поля, имеющие гиперболические особые точки и (или) циклы, чьи устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются нетрансверсально. [c.87]

Бифуркационные поверхности. Рассмотрим множество всех векторных полей на М, имеющих либо негиперболическую особую точку, либо негнперболический предельный цикл, либо траекторию, принадлежащую нетрансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразия двух гиперболических особых точек или циклов, или точки и цикла. [c.94]

Определение ([180]). Предельный цикл векторного поля с мультипликатором единица называется s-критическим, если либо существует гиперболическое положение равновесия или гиперболический цикл, чье устойчивое или неустойчивое многообразие касается одного из слоев на 5", либо неустойчивое множество цикла касается одного из этих слоев.- В последнем случае объединение гомоклинических траекторий цикла называется s-критическим. Аналогично определяются и-хритические цикл и объединение его гомоклинических траекторий нужно. только заменить S , на 5 и S . Цикл и объединение его гомоклинических траекторий называются критическими, если они S- или ы-критические, и некритическими в противном случае (рис. 42). [c.116]

В этом параграфе рассматриваются бифуркации векторного поля, лежащего на границе множества систем Морса—Смейла, для которого неблуждающее множество состоит из конечного числа гиперболических положений равновесия и гиперболических циклов, чьи устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально по всем траекториям, за исключением одной — простого касания либо квазитрансверсального пересечения. [c.138]

Для структурной устойчивости системы с более чем двумя степенями свободы по гипотезе Смейла (1965) необходимо и достаточно, чтобы у каждого осуществляемого фазовым потоком преобразования Г/ фазового пространства множество Q неблуждающих точек было гиперболическим, а множество периодических точек — всюду плотным в й (так называемая аксиома А ) и, кроме того, чтобы каждое устойчивое и каждое неустойчивое многообразия точек из Q были бы трансверсальными. Достаточность этих условий доказана в довольно общем виде, а необходимость — пока что лишь при более ограниченном определении структурной устойчивости. Стохастичность аттракторов в системах, удовлетворяющих аксиоме А , доказана Боуэном и Рюэллем (1975). [c.128]

Доказательство. Покажем, что множество диффеоморфизмов Купки— Смейла данного порядка открыто в С -топологии. Это следует из тех фактов, что, во-первых, множество диффеоморфизмов, все периодические точки которых являются гиперболическими, открыто в С -топологии и в силу компактности существует лишь конечное множество периодических точек любого данного периода (если все они гиперболические) и, во-вторых, устойчивое и неустойчивое многообразия (с С-топологией) непрерывно зависят от отображения, так что, поскольку трансверсальность является открытым условием (по следствию П 3.18), условие трансверсальности замкнутых п-шаров в устойчивом и неустойчивом многообразиях также открыто. Теперь установим плотность в С-топологии множества таких диффеомм-физмов, которые имеют только гиперболические периодические точки. По [c.298]

Наконец, покажем, что диффеоморфизм, имеющий только гиперболические периодические точки, может быть возмущен в С-топологии так, чтобы в результате получился диффеоморфизм Купки — Смейла порядка п. Поскольку условие трансверсальности замкнутых п-шаров в устойчивом и неустойчивом многообразиях любых двух периодических точек открыто и существует лишь конечное множество периодических точек, достаточно показать, что отображение с двумя гиперболическими периодическими точками р к д может быть возмущено так, что Ф ТУ (д). Посколь- [c.300]

С системой (как, например, устойчивые и неустойчивые многообразия гиперболических периодических точек см. п. 6.2 а), одноммны, так что эти фундаментальные факты применимы к данным объектам. Ьолее того, некоторые орбиты систем большей размерности ведут себя так, как будто они произошли из одномерных ситуаций (см. гл. 13, множества Обри — Мазера для закручивающих отображений). [c.388]

Имеется ряд результатов о типичности для С -топологии. Наиболее важный из них состоит в том, что периодические точки в типичном случае плотны в множестве неблуждающих точек [262], [263]. Для гамильтоновых систем аналогичный результат получен в [264]. Этн результаты основаны на С -лемме о замыкании, доказанной Пью [262], [263], которая утверждает, что иеблуждающая точка может быть сделана периодической посредством малого с -возмущения, сконцентрированного в окрестности этой точки. В такой форме лемма о замыкании не верна в С -топологни, см. [108]. До сих пор неизвестно, верны лн нелокальные С -или С°°-варнанты леммы о замыкании. Среди других интересных С -результатов о типичности имеется результат о том, что в типичном случае все гиперболические периодические точки симплектического отображения имеют гомоклинические точки, которые являются плотными н в устойчивом, н в неустойчивом многообразиях [317], а также результат о типичной плотности гиперболических точек для двумерных отображений, сохраняюшда меру [317]. Для двумерных отображений, которые не являются диффеоморфизмами Аносова и сохраняют меру, плотность эллиптических точек также С -типична, см. [229]. [c.728]

В лекциях А. Г. Кушниренко и А. Б. Катка рассматривались только всюду определенные отображения, однако не представляет труда распространить определение гиперболического инвариантного множества и на случай локальных отображений, оставляя в определениях только те итерации отображения 5 и его дифференциала, которые имеют смысл. Осторожности требуют лишь неустойчивые и устойчивые многообразия. Только для П2 = +0С можно определить Ш р) как множество точек ц, траектории которых асимптотически близки к траектории р [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...