Ортогональное преобразование

Равенство (171.32) является условием ортогональности преобразования поворота четырехмерных координатных систем. Следовательно, и ti преобразуется по линейному зако ну относительно х, у, Z, ti. Таким образом, [c.279]

Ортогональные преобразования системы координат [c.41]

Рассмотрим преобразование компонент вектора а при ортогональном преобразовании системы координат Х . [c.41]

Пример. Докажем, что скалярное произведение а-Ь — инвариант ортогонального преобразования системы координат, т. е. является абсолютным скаляром. [c.42]

На основании свойств ортогональных преобразований имеем [c.42]

При ортогональном преобразовании системы координат Х компоненты тензора приобретут вид [c.44]

Покажем, что при ортогональном преобразовании координатной системы числа С преобразуются, как компоненты вектора. Чтобы. это доказать, рассмотрим некоторые вспомогательные соотношения. Предположим, что взаимная ориентация осей не изменяется при преобразовании координат, т. е., например, правая система координат переходит в правую новую систему. [c.47]

Проекции вектора ускорения полюса иа осп подвижной системы координат можно найти, пользуясь формулами преобразования компонент вектора при ортогональных преобразованиях системы декартовых координат, а также выражениями коэффициентов этих преобразований через функции углов Эйлера (II.10.5b). [c.129]

Следовательно, нормальные координаты вводятся посредством ортогонального преобразования координат [c.246]

Кроме того, легко доказывается, что при ортогональном преобразовании след произвольной квадратной матрицы В равен следу матрицы А ВА, т. е. [c.142]

Так как след матрицы и ее определитель являются инвариантами при ортогональном преобразовании, то будем иметь следующие тождества [c.167]

Дальнейшие упрощения матрицы феноменологических коэффициентов (уменьшение их числа) можно получить при учете симметрии среды. В выражение линейного закона (2.1) входят потоки и силы, из которых одни являются скалярами (в процессах с химическими реакциями, а также с объемной вязкостью), другие — векторами (потоки массы и теплоты), а третьи — тензорами (в процессах со сдвиговой вязкостью). В зависимости от симметрии среды система линейных уравнений (2.1) должна быть инвариантна относительно соответствующих ортогональных преобразований. При преобразованиях компоненты входящих в (2.1) различных величин преобразуются по-разному, в то время как установленная между потоком и силой связь не может изменяться при преобразованиях. Это приводит в случае изотропных систем к сохранению связей лишь между потоками и силами одной тензорной размерности, что выражает принцип Кюри о сохранении симметрии причины в симметрии следствий. Поэтому, хотя согласно линейному закону (2.1) каждая декартова компонента потока / может в принципе зависеть от декартовых компонент всех термодинамических сил, по принципу Кюри в зависимости от структуры (симметрии) среды может оказаться, что компоненты потоков будут зависеть не от всех компонент термодинамических сил и, следовательно, не все причины вызывают перекрестные эффекты, например в результате химической реакции (скалярный процесс) не может возникнуть диффузионный поток (векторный процесс). [c.16]

Составить общее выражение удельной упругой энергии и, исходя из того факта, что энергия инвариантна к ортогональному преобразованию координатной системы, установить вытекающие отсюда инварианты. [c.64]

Ортогональные преобразования. Для более удобного рассмотрения девяти направляющих косинусов целесообразно изменить обозначения и все координаты обозначать символом х, различая их посредством соответствующих индексов. [c.113]

Любое линейное преобразование (4.12), удовлетворяющее условиям (4.15), называется ортогональным, а сами условия (4.15) известны под названием условий ортогональности. Таким образом, переход от неподвижной системы координат к системе, жестко связанной с твердым телом, совершается посредством ортогонального преобразования. Записывая коэффициенты преобразования (направляющие косинусы) в виде таблицы [c.115]

Рис. 40. Поворот плоской системы координат, осуществляющий ортогональное преобразование.

Рис. 41. Интерпретация ортогонального преобразования с помощью поворота вектора г в неизменной системе координат.

Таким образом, последовательное применение двух ортогональных преобразований А и В эквивалентно третьему линейному преобразованию — преобразованию С. Можно показать, что оно также является ортогональным. (Доказательство мы предоставляем провести читателям самостоятельно в качестве упражнения.) Символически результирующий оператор С можно рассматривать как произведение операторов А и В [c.118]

Углы Эйлера. Мы уже говорили, что так как элементы Uij не являются независимыми, то они не могут быть приняты за обобщенные координаты. Поэтому для исследования движения твердого тела с помощью лагранжиана необходимо предварительно выбрать три независимых параметра, определяющих ориентацию твердого тела. Только после того, как такие обобщенные координаты будут выбраны, можно будет вычислять лагранжиан и составлять уравнения Лагранжа. Известен целый ряд таких параметров. Наиболее распространенными и удобными из них являются углы Эйлера. Поэтому мы дадим сейчас определение этих углов и покажем, как можно через них выразить элементы матрицы ортогонального преобразования, [c.124]

В предыдущих параграфах мы рассматривали ортогональные преобразования в действительном двумерном пространстве с осями Х и Х2. Теперь мы рассмотрим другое двумерное пространство, являющееся комплексным. Оси его мы обозначим через и у. Общее линейное преобразование в таком пространстве имеет вид [c.127]

Теорема Эйлера о движении твердого тела. Материал предыдущих параграфов дает нам необходимый математический аппарат для описания движения твердого тела. Мы знаем, что ориентация твердого тела в некоторый момент времени может быть задана посредством ортогонального преобразования, элементы которого можно выразить через подходящую систему параметров. С течением времени ориентация этого тела будет меняться и, следовательно, матрица преобразования будет функцией времени, что можно записать в виде равенства А = А(/). Если оси, связанные с телом, выбраны так, что при t — О они совпадают с неподвижными осями, то в этот момент преобразование будет тождественным, и мы будем иметь [c.136]

Ортогональные преобразования с детерминантом, равным —1, называют несобственными вращениями в отличие от преобразований с детерминантом + 1, которые согласно теореме Эйлера являются собственными вращениями. [c.140]

Центральная и зеркальная симметрии. Симметрия (в широком смысле) — свойство геометрической фигуры Ф, характе-ризуюшее некоторую правильность ее формы, неизменность ее при действии движений и отражений. Фигура Ф обладает симметрией (симметрична), если существуют нетождественные ортогональные преобразования, переводящие эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональньгх преобразований, совмещающих фигуру Ф с самой собой, является группой этой фигуры. Так, плоская фигура (рис. 5.18) с точкой М, преобразующая- [c.68]

Когда число факторов X > 1, то ни факторы, пи паг]5узки не определяются однозначно, поскольку в уравнении (5) факторы могут быть заменены любым ортогональным преобразованием нагрузок. [c.111]

Векторы аналитически определяются системой трех чисел, которые при ортогональном преобразовании системы координат преобразуются по формулал1 (1.35) или (1.36). [c.42]

Полученные формулы показывают, что компоненты антисимметричного тензора второго ранга при ортогональном преобразовании косрдпиат преобразуются, как ко пг(центы всктор.а. [c.48]

Проекции скорости По . оц. связаны с Оох, оу и Voz формулами преобразования компонент вектора при ортогональном преобразовании системы координат (ч. I). Коэс )фнциенты преобразования — косинусы углов между направлениями осей старой и новой систем координат. Их выражения через функции углов Эйлера — фор.мулы (П.105Ь). [c.128]

Решение. При произвольном (не ортогональном) преобразовании координат надо различать ко нтра- и ковариантные компоненты векторов и тензоров первые преобразуются к к сами координаты х (их принято обозначать с верхними индексами), а второе — как операторы дифференцирования д/дх (их обозначают с нижними индексами). Скаляр (10,1) надо записывать при этом как [c.58]

Совокупность величин и (л (которые будем в дальнейшем называть координатами , не выделяя специально пространственных и временной составляющих) удобно трактовать как декартовы компоненты некоторого вектора R соответственно по осям н в четырехмерном евклидовом пространстве-времени Минковского. Равенства (9) и (10) показывают, что преобразование (10) (ср. с 32 т. I) оставляет неизменной абсолютную величину упомянутого вектора R, т. е. представляет собой не что иное, как ортогональное преобразование координат — вращение в пространстве Минковского. Отличие этого вращенил от обычного заключается в том, что, поскольку координата чисто мнимая, коэффициенты и а. в соотношениях (10) не все вещественны. Именно, коэффициенты а.и а ., а. [i = 1,2, 3) должны быть чисто мнимыми, а остальные — зэ-щественными. [c.449]

Дифференцируя условие ортогональности преобразования A sX XA a = 6[c.10]

Ранее было отмечено, что взаимосвязи между силой У и потоком Ji может и не быть. Ограничения взаимовлияния потоков и сил устанавливает принцип Кюри, согласно которому в изотропной системе потоки и термодинамические силы различной тензорной размерности не могут быть связаны друг с другом. Формально принцип Кюри можно понять из следующих расуждений. В изотропной системе взаимосвязь между потоками и силами не должна изменяться при ортогональных преобразованиях координат. Но при указанных преобразованиях потоки и силы скалярного, векторного и тензорного типов преобразуются по-разному. Следовательно, инвариантность относительно ортогональных преобразований координат будет иметь место только для величин одинаковой тензорной размерности. [c.200]

Рассмотрим применение матричного метода для исследования шестизвенной открытой пространственной кинематической цепи механической руки ПР Версатран (рис. 18.14) путем ортогональных преобразований координат. [c.517]

Это соотношение является условием ортогональности оно требует, чтобы длина вектора г = xi yj zk оставалась неизменной при переходе от xyz к x y z. Таким образом, мы видим, что каждой унитарной матрице Q в двумерном комплексном пространстве соответствует некоторое связанное с ней ортогональное преобразование в обычном действительном пространстве трех измерений. Рассмотрим это соответствие более подробно. Пусть В будет вещественной ортогональной матрицей, преобразующей X в х, и пусть Q, будет соответствующей унитарной матрицей. Тогда будем иметь [c.130]

Пусть теперь совершается второе ортогональное преобразование, преобразующее х в х" с помощью матрицы А [c.130]

Заметим, что диагональные элементы матрицы г равны нулю, а отличные от нуля элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются друг от друга лищь знаком. Такие матрицы называются антисимметричными или кососимметричными. Это свойство присуще не только той частной матрице, которую мы сейчас рассматривали, а каждой матрице е бесконечно малого вращения. Действительно, согласно (4.89) матрица А равна 1—е. Но при ортогональном преобразовании обратная матрица А совпадает с транспонированной матрицей А, равной 1 + е. Следовательно, [c.145]

Мы считаем, не оговаривая этого специально, что бесконечно малое ортогональное преобразование является вращением. По своему смыслу это утверждение является очевидным, так как бесконечно малая инверсия есть понятие, противоречащее "самому себе. Формально указанное утверждение вытекает из антисимметричности матрицы 8, так как вследствие этого все диагональные элементы матрицы 1 + е будут с точностью до величин высшего порядка малости равны единице. Поэтому детерминант такого преобразования будет равен -j-1, что является признаком вращения. [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...