Криволинейные координатные линии поверхности

Плоскости Ь п N являются ортогональными плоскостями, и соответственно главные направления в точке М ортогональны. На поверхности 5 (рис. 9.2) проведем сетку семейств кривых 1 и аг таких, что эти кривые в каждой точке имеют касательные, совпадающие с главными направлениями. Такие кривые называют линиями главной кривизны поверхности. Семейства кривых 1 и аг, являющиеся линиями главных кривизн, примем за координатные линии. Эти криволинейные координатные линии являются ортогональными. [c.232]

Параметры ии v называются криволинейными координатами точки М на поверхности Ф. Для всех точек линии I криволинейная координата и не меняется, так же как для всех точек линии т постоянно значение координаты V. Поэтому линии / и m называются координатными линиями на поверхности. [c.80]

Уравнения (70) представляют семейство координатных плоскостей. Каждые два уравнения из этих трех в совокупности определяют семейство координатных линий (прямых). Итак, в декартовой системе координат точка определяется пересечением или трех координатных плоскостей, или соответствующих координатных линий. Рассуждая аналогично, найдем, что в случае системы координат (qi, q , q точка определяется пересечением или трех координатных поверхностей, или соответствующих им координатных линий, определяемых попарным пересечением координатных поверхностей. Так как координатные линии вообще будут кривыми, то нее системы координат, имеющие произвольные координатные поверхности, называются криволинейными системами координат. [c.83]

Параметры oti и 2 образуют на поверхности систему криволинейных координат (координатную сетку). Положение любой точки на поверхности определится заданием чисел ai и а . Вдоль каждой координатной линии один из параметров а возрастает, а другой остается постоянным. В каждой точке поверхности с координатами (аь а ) построим единичные векторы р и р2, направленные по касательным к координатным линиям. Третий вектор pi = piX Хр2 направим по внешней нормали к поверхности и назовем главной нормалью к поверхности. По этому вектору направим третью координату з = г. [c.216]

Однако не всегда удобно задавать поверхность именно в декартовых координатах. Целесообразно систему координат связать с самой поверхностью, выбрав на ней две системы координатных линий т . В качестве таких линий чаще всего выбираются линии кривизн, которые образуют на поверхности ортогональную сетку (рис. 7.4, а). Параметры , т) называются криволинейными координатами точек поверхности. Конкретный смысл этих координат может быть различным. На рис. 7.4, б, в показаны цилиндрические и сферические координатные линии. [c.199]

У = У (<71. 5. з) 2 = 2 (<7х, < 2. з)- Для вывода уравнения неразрывности выделим с помощью криволинейных координатных поверхностей элементарный фиксированный в пространстве объем йШ с ребрами йз , dSз, взятыми вдоль координатных линий (рис. 14). [c.40]

В области II (рис. 21) задача о построении тензора (7 ) агр рас сматривается в криволинейной системе координат (а, р, г, х°) с базисом (е , ер, 6 , Схо) и началом в центре области нагружения поверхности тела. Координатные линии аир расположены на поверхности тела и являются линиями главных кривизн поверхности, координатная линия 2 направлена по нормали к нагруженной части поверхности. Координаты аир связаны с областью нагружения тела (рис. 22) и изменяются в следующих пределах а а аз, Рх р Рз, причем ау и Ру (у= 1, 2) — размеры области нагружения координаты 2 и х° изменяются в пределах 0 2 2з, 0 х Ха , где 2з — глубина области [c.59]

В пограничном слое области внедрения, который предполагается узким, материал преграды находится в пластическом состоянии с характеристикой От.д- Геометрия пограничного слоя определяется формой внедряющегося тела, поверхность которого описывается уравнением образующей г = г (г). Для пограничного слоя принята криволинейная система координат а, р, координатными линиями которой являются образующая тела АВ линия а, нормаль ММ к образующей линия р (рис.,54). Параметры Ляме координатных линий [45] Н- = = // = 1 + р/г, = 1. [c.165]

Отнесем оболочку к ортогональной криволинейной системе координат = а, = Р, х = 2, х . Первые две координаты (а, р) системы представляют собой криволинейные координаты на срединной поверхности соответствующие им координатные линии являются линиями главных кривизн. Третья координатная линия—кривая, касательная к которой направлена по нормали к поверхности, параллельной срединной, и в совокупности с двумя первыми образует ортогональную систему криволинейных координат. Однако при решении инженерных задач [c.362]

Гаусс, однако, стал на путь исследования поверхности при параметрическом ее задании и тем положил начало современной ди-ференциальной геометрии. Каждая пара значений параметров и V таким образом определяет точки на поверхности в этом смысле параметры и можно рассматривать как своеобразные координаты точки поверхности это и есть гауссовы координаты . Если возьмем плоскость в трехмерном пространстве и в ней установим систему декартовых координат, то таковые, конечно, можно будет рассматривать как гауссовы координаты этой плоскости. Координатными линиями при этом будут служить параллельные прямые. Но вообще координаты линии (т. е. линии, на которых тот или иной параметр сохранит постоянное значение) будут кривыми гауссовы координаты суть криволинейные координаты на поверхности. [c.380]

Параметры и, v называются криволинейными координатами точки на поверхности. Два семейства линий а = j, гг = Со образуют сеть (правильную) координатных линий. [c.293]

Сначала, исходя из тензорного представления пограничного слоя, с помощью тензоров составляются уравнения импульсов в обобщенных криволинейных координатах, для которых поверхность тела является координатной поверхностью. В качестве специальных координат поверхности тела выбираются координатные линии, являющиеся линиями тока и их ортогональными траекториями. [c.360]

Геометрия слоистой оболочки, элемент которой показан на рис. 9.14.1, определяется координатной поверхностью, отстоящей на расстоянии с и S от внутренней и наружной поверхностей оболочки. Положение произвольной точки слоистой стенки определяется ортогональными криволинейными координатами а, Р, Z, причем координатные линии а и Р совпадают с линиями кривизны координатной поверхности, а координата z отсчитывается по наружной нормали к этой поверхности. Коэффициенты первой квадратичной формы и главные радиусы кривизны координатной поверхности, соответствующие линиям а и Р, обозначены через А, В к R, R . [c.223]

Линии на поверхности, касательные к которым в каждой точке совпадают с главными направлениями, называются линиями кривизны. Обычно такие линии выбирают в качестве координатных. Линии кривизны перпендикулярны, так что система криволинейных координат ортогональна. В теории поверхностей доказывается, что всякую поверхность можно отнести к линиям кривизны. В этом случае М = 0. [c.22]

Здесь Ai, Ri (i = 1, 2) — криволинейные координаты, параметры Ламе и радиусы кривизны срединной поверхности Q Тi, S — нормальные я касательные погонные усилия pi, — компоненты вектора поверхностной нагрузки в направлении координатных линий ttj, г (рис. 6.1) в , со, — компоненты деформации [c.107]

Задав одновременно значения обоих параметров, мы определим на поверхности точку (или.точки),-являющуюся пересечением некоторой ai-линии с некоторой а2-линией. Таким образом, имеет место полная аналогия между поверхностью, заданной уравнением (1.1.2), и плоскостью, отнесенной к определенной системе координат, и поэтому про поверхность, заданную уравнением (1.1.2), говорят, что она отнесена к криволинейной системе координат, а tti- и аг-линии называют координатными линиями. [c.12]

Будем считать, что оболочка пологая и составлена из N трансверсально изотропных слоев. Для такой оболочки система криволинейных ортогональных координат исходной поверхности Q i, 2 может быть приближенно выбрана так, что параметры Ламе Л1 = Лг = 1. Будем также считать, что кривизны и кручение координатных линий Лу (/, /=1,2) при дифференцировании ведут себя как постоянные. [c.52]

Внутреннюю геометрию координатной поверхности можно охарактеризовать первой квадратической формой. Если координаты и соответствуют линиям главных кривизн, дифференциалы дуг координатных линий можно выразить через дифференциалы криволинейных координат [c.142]

Таким образом, в качестве криволинейных координат деформированной поверхности можно рассматривать все те же ai и osj, однако соответствующие им координатные линии, вообще говоря, уже не будут линиями кривизны и даже не будут ортогональными. [c.23]

В качестве криволинейных координат боковой поверхности принимаем aj = С, 2 = i- Свяжем с выбранными координатными линиями правую тройку ортов ki, kj, к такую, что (см. рис. 1.12) [c.58]

Дайте определения криволинейных координат координатной линии координатной поверхности. [c.84]

Система криволинейных координат, нанесенная на сферическую оболочку, ориентирована таким образом, что координатная линия x направлена по меридиану, — в окружном направлении, — по нормали к срединной поверхности. [c.156]

Рассмотрим криволинейную панель, отсчетной поверхностью S которой является произвольная цилиндрическая поверхность. Примем в качестве координатных линий х соответственно направляющие и образующие цилиндрической поверхности S, Тогда для параметров поверхности S имеем равенства [c.49]

Экер ставит ряд условий для выбора криволинейной системы координат, позволяющей более правильно описать изменение температуры и напряженности поля вдоль оси ствола дуги в области сужения. Так, примененные координатные линии должны в начале области сужения идти параллельно оси, так как область сужения должна здесь переходить в ствол дуги. Сужение вначале должно идти сравнительно медленно, а вблизи катода — быстро. Далее, выдвигается требование, чтобы координатные линии сходились в одной точке (за поверхностью катода и вблизи от нее), так как степень сужения у катода нежелательно ограничивать. Этим условиям хорошо удовлетворяет система ортогональных гиперболических и эллиптических поверхностей вращения около оси дуги. [c.78]

Изложенным методом можно эффективно построить решения интегральных уравнений, когда возможно в пространстве ввести систему ортогональных криволинейных координат, в которой одна из координатных поверхностей или координатных линий (в случае одномерного аналога уравнения (1)) представляет собой плоскую дважды покрываемую [c.126]

Линии пересечения координатных поверхностей - координатные линии. Проведем касательные к этим линиям. Это оси криволинейной системы координат (Рис. 2.10). Векторы вдоль этих осей называются криволинейным базисом. [c.20]

В качестве криволинейных координат а , на срединной поверхности оболочки целесообразно рассматривать только координаты, которые образуют правильную, регулярную сетку координатных линий. Геометрически это условие сводится к требованию, чтобы векторы Га , Га , которые направлены по [c.9]

Если координатные линии совпадают с линиями кривизны срединной поверхности, то криволинейная система координат является ортогональной, и такой системой координат в дальнейшем будем в основном пользоваться. [c.10]

Рассмотрим жидкость, движение которой расслоено вдоль по неподвижным непересекающимся поверхностям, фиксирующим движение жидких частиц. Изучение таких эффективно двумерных течений, удобно проводить в соответствующей системе криволинейных координат С, i = 1,2,3, обладающей следующими свойствами координатные линии совпадают по направлению с вихревыми линиями, а координатные линии и лежат на поверхностях, вдоль которых происходит движение жидкости, и образуют на них систему поверхностных криволинейных координат. Если в каждой точке пространства, связанного с такой системой криволинейных координат, задать ковариантный векторный базис с компонентами 01, ег, ез, которые направлены вдоль по касательным к соответствующим координатным линиям, то предполагаемый выше характер течения означает, что [c.207]

Соотношения теории оболочек удобно записывать в ортогональной криволинейной системе координат смешанного типа (г — линейная координата [30]). При этом один из ортов ортогонального репера совпадает с единичным вектором нормали к поверхности So — 1т1, а два других — 1 и 1 направлены по касательным к линиям главных кривизн [40, 50] поверхности приведения, проходящим через точку отсчета системы координат. Движением репера 1х, 1у, Ь из точки отсчета по поверхности So так, что Ц и у остаются касательными к линиям главных кривизн, проходящих через данную точку, задаются координатные оси л и Координатные линии поверхности определяются обычным образом х = = onst и i/= onst (рис. 2.2). [c.84]

PeujeHHH некоторых технических задач основываются на использовании ортогоналвных криволинейных координат. Будем считать, что декартовы прямоугольные координаты х, у, г являются непрерывными функциями трех переменных q , q-s, которые примем за криволинейные координаты, т, е. х =--= х q , < 2. <7а) У У qi. Яз) г == г (qi, г/,, q ). Для вывода уравнения неразрывности выделим с помощью криволинейных координатных поверхностей элементарный фиксированный в пространстве объем dW с ребрами dsi, dsj, ds , расположеинымн вдоль координатных линий (рнс. 2.7). [c.37]

Параметры и, v называют криволинейными координатами точки на поверхности линии же семейства и = onst, v = onst - координатными линиями на поверхности (фиг. 161). [c.216]

Пусть криволинейная, регулярная, многосвязная поверхность S детали определена областью Q, являющейся прообразом S на плоскости с декартовым и координатами х к у, а также регулярной вектор-функцией г = г х, у). Тогда координатные линии и, о на S являются пространственным образом координатных прямых х, у на Q при некотором соответствии, которое каждой точке (х, /) Q относит точку пространства с декартовыми координатами х(х, у), у(х, у), z x, у). Область Q может быть многосвязной. На границу области не накладывается ограничений, кроме непрерывности и отсутствия самопересечений. [c.262]

Криволинейные координаты точки. При задании движения точки в криволинейных координатах (],, q , для каждого положения точки могут быть построены три координатные поверхности = onst q = onst q = onst, пересекающиеся между собой по трем координатным линиям / , вдоль каждой из которых изменяется только одна из криволинейных координат. Касательные к координатным линиям, проведенные из рассматриваемого положения точки в сторону возрастания изменяющейся криволинейной координаты, называют осями криволинейных координат (< ,) Совокупность единичных векторов этих осей в рассматриваемой точке образует базис криволинейной системы координат. [c.14]

Из первых двух следует, что % = я/2, = 0. Таким образом, криволинейная система координат (1.8.3) может быть триортогональной только тогда, когда на исходной поверхности (а = 0) координатными линиями являются линии кривизны. Это условие не только необходимо, но и достаточно, так как для поверхности, отнесенной к линиям кривизны, векторы j, в силу [c.24]

Этот класс оболочек является, разумеется, достаточно ограниченным, но он включает в себя некоторые из наиболее важныз типов оболочек, встречающихся в практических задачах. Из соотношений (6.10) при постоянных А ж В следует, что = d = 0, и поэтому срединную поверхность можно развернуть в плоскую поверхность, причем координатные линии образуют при этом прямоугольную сетку (в этот класс входят, разумеется, плоские пластины). Для того чтобы координатные линии оставались линиями кривизны, нужно, чтобы развернутую срединную поверхность можно было свернуть в криволинейную оболочку только одним способом, так, чтобы одна система координатных линии, параллельных, скажем, оси а, оставалась прямолинейной, эти линии будут образующими произвольной цилиндрической поверх- [c.453]

Имея в виду приложения, рассмотрим прежде всего практически нгшболее интересный вид анизотропии — ортотропию. Точнее, будем рассматривать криволинейную ортотропию, при которой упругие постоянные инвариантны относительно преобразований отображения в плоскостях, касательных к координатным поверхностям, или, что эквивалентно, относительно поворотов вокруг касательных к координатным линиям на угол Q — тг [80, 81, 88]. [c.70]

Здесь а = gt doPLll , Ь = 2к1 /(Хр с о) а звездочки у безразмерных переменных опущены. Заметим, что уравнение (6.12) получено, вообще говоря, на основе соотношений, описывающих локальное пленочное течение в окрестности произвольной точки поверхности сосульки. Можно показать, что при переходе от локальных координат (т Г) к криволинейным ортогональным координатам у, ), где представляет собой длину дуги, отсчитываемую вдоль поверхности B, 2iV — расстояние вдоль ортогональной кривой к координатной линии уравнение (6.12) сохраняет свой вид в рамках введенного выше предположения о пологости поверхности 5. [c.18]

В Э рассматриваются различные скалярные z(x, t), векторные z(x, t), тензорные z(x, t) функции поля, которые все преобразуются к Л на основании (9.1). Декартовы в момент t = to вмороженные в вещество координаты (л г) образуют криволинейную пространственную систему координатных линий и поверхностей с непрерывно меняющейся во времени t>to геометрией. Вещество не может сходить с линий и проникать сквозь эти поверхности. Три вектора репера Эг (х, t) при х = onst в Э показывают всю кинематику защемленной в нем физической частицы, а метрический тензор gij 9i9j — относительные смещения по t непроницаемых граней косоугольного параллелепипеда, заключающего частицу. [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...