Гамильтона переменные главная

При своем изменении с течением времени переменные р, q подчиняются уравнениям Гамильтона, а главная функция S удовлетворяет уравнению [c.39]

При прямом применении уравнений Гамильтона математические трудности решения задач механики обычно существенно не уменьшаются, так как при этом нам приходится иметь дело с такими же дифференциальными уравнениями, как и в методе Лагранжа. Преимущества метода Гамильтона заключаются не в его математической ценности, а в том, что он более глубоко проникает в структуру механики, так как равноправность координат и импульсов как независимых переменных предоставляет большую свободу для выбора величин, которые мы принимаем за координаты и импульсы . В результате мы приходим к новым, более абстрактным формам изложения физической сущности механики. Хотя полученные таким путем методы могут оказать некоторую помощь при решении задач механики, однако с современной точки зрения их главная ценность состоит в том, что они играют существенную роль в построении новых теорий. В частности, именно эти абстрактные концепции классической механики были исходными пунктами в построении статистической механики и квантовой теории. Изложению такого рода концепций, получающихся из уравнений Гамильтона, и посвящаются эта и следующая главы. [c.263]

В распоряжении Гамильтона не было теории канонических преобразований, и он сделал свое открытие, исходя из совершенно иных предпосылок. Главная функция Гамильтона не является абстрактным математическим понятием, которое используется только для получения преобразований специального вида она имеет определенный физический смысл. Для того чтобы пояснить ход рассуждении Гамильтона, начнем с консервативной системы, у которой функция Лагранжа L и функция Гамильтона Н не зависят явно от времени. Именно такие функции встречаются в оптике, и это явилось для Гамильтона исходным пунктом как для оптики, так и для механики. Обобщение на случай неконсервативных систем может быть сделано очень просто задача сводится к случаю консервативных систем путем включения времени t в число механических переменных. [c.257]

Второе дифференциальное уравнение больше не нужно, поскольку точка Qi,. .., Q не должна лежать на обобщенной изоэнергетической поверхности К = 0. Более того, S является функцией только q , q , Qi, Q , t в то время, как главная функция Гамильтона зависит, кроме того, еще и от переменной t. [c.262]

Роль дифференциального уравнения в частных производных в теориях Гамильтона и Якоби. В предыдущей главе (гл. VII, п. 9) отмечалось, что впервые в аналитической механике фундаментальное уравнение в частных производных открыл Гамильтон. Он также первый выдвинул идею о фундаментальной функции, из которой можно было бы получить при помощи простых дифференцирований и исключения переменных все механические траектории. Однако первоначальная схема Гамильтона была практически неприменима. Более того, главная функция Гамильтона удовлетворяла двум уравнениям в частных производных. Второе уравнение с точки зрения теории интегрирования является ненужным усложнением. С другой стороны, в теории Якоби требуется найти лишь один полный интеграл основного дифференциального уравнения. В случае систем с разделяющимися переменными такой интеграл может быть найден. Поэтому при поверхностном подходе создается впечатление, что Якоби освободил теорию Гамильтона от ненужного усложнения, приведя ее к схеме, применимой на практике, [c.291]

В предыдущем изложении были отмечены те условия, при которых функция Гамильтона и обобщенные импульсы остаются постоянными при движении системы. Согласно одной точке зрения, постоянство импульсов является следствием того обстоятельства, что координаты оказываются циклическими главный результат здесь заключается в том, что соответствующие уравнения движения (Лагранжа или Гамильтона) можно сразу проинтегрировать. Согласно другой точке зрения, такое постоянство само по себе рассматривается как важное свойство системы. Последняя точка зрения широко распространена в наиболее важных приложениях данного метода к современной физике, и приемлемое решение задачи может состоять в определении всех интегралов движения. В общем смысле термин интеграл движения применяется к любой динамической переменной [c.67]

Проинтегрировать эту систему уравнений значит выделить из нее бп отношений между временем t и бп переменными <й, и бп их начальными значениями, которые могут быть обозначены как р,-. Мистер Гамильтон решает проблему в этой более общей форме при помощи той же самой главной функции 5, что и выше, рассматривая ее, однако, как зависящую теперь от новых отметок р и е конечных и начальных положений различных точек системы. Полагая в этом новом обозначении [c.287]

Действие по Гамильтону, выраженное в такой форме, т. е. как функция времени, координат и некоторых постоянных параметров, носит название главной функции. За переменные аргументы этой функции обыкновенно принимаются время t и координаты q , отвечающие конечному моменту. Поэтому, если мы, например, на том же прямом пути вместо прежнего начального положения системы возьмём какое-либо другое, то к главной функции прибавится только некоторая постоянная, равная действию от нового начального положения до прежнего. [c.447]

Значительная часть Второго очерка об общем методе в динамике посвящена построению теории возмущений на основе канонических уравнений и понятия главной функции. Гамильтон предлагает два метода в теории возмущений. Первый метод основан на введении поправок к начальным значениям переменных в невозмущенной задаче. Второй метод, который мы изложим, тесно связан с теорией канонических преобразований уравнений динамики. [c.14]

Примечание. Главная функция Гамильтона представляет собой действие по Гамильтону, вычисленное при переменном верхнем пределе и выраженное через начальные и текущие значения обобщённых координат. Будучи производящей функцией канонического преобразования начальных значений обобщённых координат и импульсов в их текущие значения, главная функция позволяет ответить на вопрос какие [c.219]

Главная часть (при е = 0) имеет очень простой вид, а возмущающий потенциал U есть 2п-пе-риодическая функция р. Эти свойства гамильтониана в переменных аир неслучайны и мы к ним еще вернемся. [c.343]

Определение 29.1. Действие по Гамильтону (29.3), в котором переменная р понимается как функция р 1,д,д ) (см. (29.9)), называется главной функцией Гамильтона Ш 1,д,д°). [c.162]

В мёмуаре посвященном задаче интегрирования уравнений динамики, Лиув илль указывает ряд случаев, когда с помощью метода разделения переменных можно найти полный интеграл уравнений Гамильтона для главной функции. [c.22]

Уильям Роуан Гамильтон, видный ирландский математик, в статьях Об общем методе динамики , написанных в 1834—1835 гг., для определения движения вводит новые переменные и новые функции, формулируя общий принцип наименьшего действия. "При этом главная функция, зависящая от начальных и конечных координат и времени, равна сумме живых сил (Г) и сил напряжения (Я). Последние, называемые силовой функцией, для стационарных, то есть не изменяющихся во времени, консервативных систем (механических систем, при движении которых сумма Т- П постоянна), выражают полную энергию системы. [c.117]

При этом существенно, что главная часть гамильтониана зависит только от импульсов действий , а возмущающая часть от координат (/, , К) зависит 27Г-периодически. Для перехода к переменным действие-угол в рассматриваемой задаче необходимо уметь вычислять интегралы, определяемые соотногпениями (13), (15). Можно показать, что эти интегралы выражаются через эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода. Для получения регпения в исходных переменных необходимо обращать эти интегралы. При этом оказывается, что зависимость [c.401]

Уравнения (6) называются уравнениями Гамильтона, а переменные р — обобщенными моментами . Пара переменных Рг, qi есть пара сопряженных переменных. Кроме того следует отметить, что гамильтонова главная функция Н не что иное, как полная энергия системы, выраженная через обобщенные координаты и моменты. Из канонических уравпепий (6) сразу же следует интеграл эпергии Н = onst. [c.64]

Следовательно, данную систему (11) дифференциальных уравнений первого порядка можно назвать эквивалентной расширенной системе (11), (12) тоже первого порядка с 2п переменными Ж1,. .., ж , 1,. .., гп, так как решение одной из этих систем дает решение другой. Но расширенная система (11), (12) есть система Гамильтона с сопря- кенными переменными х-1, Zi и с главной функцией, равной [c.69]

Отметим определенный уш,ерб переменных д, д. Очевидно, что тождественное преобразование д = д , = Рг переводит любую гамильтонову систему в гамильтонову, т. е. оно является каноническим, но оно не является свободным — не выполнено условие (28.9). Одно из следствий этого обстоятельства совокупность свободных канонических преобразований не есть группа преобразований. Другое следствие не везде определена главная функция Гамильтона (см. определение 29.1) — производяш,ая функция одного из важных канонических преобразований (преобразование фазового пространства фазовым потоком гамильтоновой системы). Указанный ущерб устраняется, в частности, следующим выбором независимых переменных. [c.155]

Построения, основанные на свободности нреобразования (29.1), т. е. на возможности пользоваться независимыми неременными q, q , привели к главной функции Гамильтона W t,q,q ) — производящей функции унивалентного канонического нреобразования (29.2). Аналогичные построения можно провести при выборе независимых переменных q, р (в данном случае q, р°) — полусвободных преобразований по определению 28.3. Условие полусвободности (28.13) нрн значениях t близких к I0 выполнено (в (29.2) при t = to q° = q° to,q,p) = [c.164]

Произвольная постоянная а введена, чтобы удовлетворить определению 31.2 полного интеграла. Полный интеграл (31.15) с точностью до обозначений для произвольной постоянной совпадает с полуглавной функцией Гамильтона (29.28). Главная функция Гамильтона (29.27) — еш,е один полный интеграл уравнения (31.9). Отметим две характерные особенности, проявившиеся в рассмотренном примере при аддитивном разделении переменных (31.14) для циклической координаты ди дН/дд = 0) можно положить Зи дк) = адг, а в случае обобш,енно-консервативной системы дН/д1 = 0) — положить S o(i) = Qioi. Подстановка полного интеграла (31.15) в формулы [c.177]

Укажем классический способ сведения задачи Эйлера к га-мильтоиовой системе с одной степенью свободы, использующий специальные канонические переменные. Пусть оХ 1 — неподвижный трехгранник с началом в точке подвеса, одг /2 —подвижная система координат (главные оси инерции тела). Положение твердого тела в неподвижном пространстве определяется тоемя углами Эйлера О (угол нутации)—угол между осями о2 и ог, ф (собственного вращения) — между осью ох и линией пересечения плоскостей оху и оХУ (называемой линией узлов), (угол прецессии) — между осью оХ и линией узлов. Углы О, ф, 1 ) образуют на 50(3) систему координат, подобную географическим координатам на сфере с особенностями у полюсов (где 0=0, л) и многозначностью на одном меридиане. Пусть р. рщ, — канонические импульсы, сопряженные с координатами О, ф, 11). Еслн твердое тело вращается в осесимметричном силовом поле с осью симметрии oZ, то функция Гамильтона не будет зависеть от угла 1 ). Понижение порядка в этом случае можно трактовать как исключение узла — исключение циклической переменной я ), определяющей положение линии узлов в неподвижном пространстве. [c.111]

Исторически [13] уравнениям Гамнльтона предшествовали подобные нм уравнення Пуассона. Главный смысл этих уравнений Пуассона в том, что существует одна и та же функция энергия, производные от которой определяют изменение во времени тех переменных qj н pj, по которым берутся производные. Отличие уравненнй, полученных Пуассоном, от уравнеш1Й Гамильтона в том, что использован частный вид энергии - к1гнетическая. [c.124]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...