Симметрия матрицы жесткости системы

СИММЕТРИЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ СИСТЕМЫ [c.88]

Осесимметричное нагружение дисков рассмотрим как наиболее типичное при оценке статической прочности. В качестве расчетного метода использован метод конечных элементов (МКЭ). Это не единственный возможный метод расчета известно применение и других методов дискретизации пространственной задачи к расчету дисков (метод конечных разностей, вариационно-разностный [2, 43, 100]). МКЭ наиболее широко применяют в прикладных задачах 47]. Можно отметить простоту формулировок основных принципов, ясность физической интерпретации, свободу размещения узловых точек, симметрию матриц жесткости элементов и системы уравнений, облегчающую контроль расчетов. При выборе в качестве неизвестных узловых перемещений матрица разрешающей системы будет симметричной, положительно определенной (при исключении перемещения диска как жесткого целого) и иметь ленточную структуру. Это способствует быстрому решению системы разрешающих уравнений прямыми или итерационными методами. Методу конечных элементов посвящено большое число работ [3, 46, 53, 114, 119]. Приведенные в гл, 4 результаты получены ДЛЯ простейшего кольцевого элемента треугольного сечения, однако основные соображения, использованные в решении, имеют достаточно общий характер и применимы как для плоской задачи, так и при более сложных элементах в осесимметричном случае. [c.153]

Так как граничные условия < >1 и 4 заданы явно, полученные ранее уравнения для и неприменимы в системе (3.1) и должны быть заменены равенствами (3,2). Хотя эта замена нарушает симметрию матрицы жесткости К симметрию все же можно сохранить, подстановкой < 1 = с, и 4 = 4 во все остальные уравнения и переносом соответствующих членов в правые части уравнений. Например, второе уравнение системы (3,1) [c.89]

Построение деформационной модели базируется на математическом принципе суперпозиции двух идеализированных ее составляющих упругого армирующего каркаса с приведенной матрицей жесткости и упругопластического изотропного связующего с заданной кривой упрочнения. Допущения, принятые при построении первой составляющей модели, характерны для пространственной стержневой системы в расчете учитывается лишь одноименная с каждым из четырех направлений волокон жесткость. Сеть волокон считается размазанной по всему объему куба, принятого за представительный элемент. Таким образом, при равномерно распределенной плотности энергии деформации находится эквивалентная матрица жесткости однородного материала. Обозначив ее индексом а (армирующие волокна), приведем полную запись для нее в системе главных осей упругой симметрии 123 [c.79]

Расчет показывает, что из тринадцати компонент матрицы жесткости симметризованного элемента четыре тождественно равны нулю. Девять независимых компонент определяют ортотропию упругих свойств симметризованного элемента, для которого оси 1, 2, 3 являются главными осями упругой симметрии. Шесть компонент матрицы жесткости симметризованного элемента в системе 1, 2, 3 совпадают [c.92]

Если центры жесткости всех амортизаторов расположены в одной плоскости, а одна из осей жесткости каждого амортизатора перпендикулярна этой плоскости, то последнюю можно рассматривать как плоскость симметрии. Выбрав ее в качестве одной из координатных плоскостей, получим матрицу жесткостей, аналогичную (VII.80), с разделением системы уравнений (VII.48) на две системы, аналогичные (VII.81) и (VII.82). [c.294]

В случае, если плоскость симметрии не проходит через узловые точки, необходимо вводить в систему дополнительные узловые точки, расположенные в плоскости симметрии, и для них обеспечить условия раздельного изучения симметричных и кососимметричных колебаний. Матрица жесткости для элементов этой системы при использовании метода конечных элементов имеет такой же вид, как и в случае дискретной модели [2]. [c.12]

Надлежащий выбор системы координат позволяет существенно упростить исходные матрицы податливости и жесткости, если материал обладает симметрией упругих свойств. Рассмотрим, например, композиционный материал, состоящий из упругого связующего, регулярно армированного в одном направлении упругими волокнами (рис. 1.2). Для описания деформационных свойств такого материала можно воспользоваться моделью однородного анизотропного упругого тела. В произвольно ориентированной системе координат матрица податливости (и жесткости) будет целиком заполненной, а число подлежащих определению независимых коэффициентов не ясным. В системе координат (Xi, х , х ) плоскость (х , Xs) можно считать плоскостью упругой симметрии матрица коэффициентов податливости в этом случае будет иметь структуру (1.11). Еще более полно симметрия упругих свойств рассматриваемого материала выявляется в системе координат (х1, хг, Xj) плоскость х, Хг) тоже можно считать плоскостью упругой симметрии. Следовательно, теперь все координатные плоскости — плоскости упругой симметрии, материал является ортотропным и матрица коэффициентов податливости имеет структуру (1.12). Более того, при равномерном распределении армирующих волокон допустимо считать, что упругие свойства во всех направлениях в плоскости (x l, Хз) идентичны. Теперь становится ясным, что рассматриваемый материал является трансверсально изотропным, матрицы его коэффициентов податливости имеют вид [c.13]

В (1.57) шесть коэффициентов матрицы жесткости слоя gtj в осях (х, у) записаны через четыре независимых коэффициента Число коэффициентов У не случайно равно четырем. Оно отражает то обстоятельство, что независимо от преобразований системы координат число независимых характеристик определяется лишь типом симметрии материала. При плоском напряженном состоянии трансверсально изотропный однонаправленный материал имеет четыре независимых характеристики жесткости (податливости), которые могут быть представлены в одном из взаимосвязанных вариантов [c.21]

Плоскости симметрии системы Группы разделяющихся обобщенных координат Коэффициент матрицы жесткости [c.430]

Для систем со строгой поворотной симметрией алгоритмы определения их динамических характеристик в виде матриц волновых динамических жесткостей указаны выше. Такие системы именуют порождающими, а соответствующие им системы с нарушенной симметрией — возмущенными. [c.123]

Следует подчеркнуть, что вид ( заполненность ) матриц податливости и жесткости определяется не только типом упругой симметрии материала, но и выбором системы координат. Тип симметрии материала однозначно определяет число независимых коэффициентов в этих матрицах, однако для любого анизотропного тела матрицы податливости и жесткости в произвольной системе координат, никак не согласованной с упругой симметрией материала, будут в общем случае целиком заполненными. [c.13]

Любой метод решения системы уравнений, специально пред-иазиаченный для симметричной матрицы К, более эффективен и требует меньший объем памяти, чем соответствующая процедура для системы уравнений с несимметричной матрицей. Если используется метод решения, учитывающий симметрию, то существенно, чтобы после учета граничных условий Дирихле сохранилась первоначальная симметрия матрицы жесткости системы К. В следующем разделе обсуждаются два метода учета граничных условий, не нарушающие симметрию. [c.89]

Таким образом в случае плоской деформации процедура усреднения компонент жесткости слоев композиционного материала с абсолютной точностью позволяет определить эффективные жесткости Оц ( , / 1,2) в плоскости лишь для косоугольной равновесной структуры материала. Отметим также, что эти компоненты равны соответственно компонентам жесткости слоя, определенным при повороте системы осей упругой симметрии слоя на угол 0 вокруг оси 3. Однако технические упругие константы — модуль Юнга и коэффициент Пуассона — композиционного материала и отдельного слоя имеют различия, так как отличаются их компоненты податливости, полученные обращением матриц различных порядков. В плоской задаче для равновесного косоугольного армированного композиционного материала обращается матрица жесткости второго порядка, соответствующая ортотроп ному материалу, а для отдельного слоя, повернутого на угол 0, обращается матрица жесткости (при ез — О) третьего, порядка, соответствующая моноклинной симметрии материала. [c.73]

Матрица податливости aij , 1, ) = = 1, 2,. .., 6, определяемая на участке dx, является обратной по отношению к матрице жесткости (В ,), компоненты которой тождественны соответствующим компонентам тензора жесткости [Втпп1] п, к, I = I, 2, 3 их вычисляют по общей методике расчета констант слоистой среды по формулам (3.33)—(3.36). Усредненные значения выражений, входящих в правые части этих формул, находят по зависимостям, аналогичным (3.43). При этом компоненты тензора жесткости каждого слоя Втпк1 в системе координат 123 рассчитывают по формулам пересчета констант материала при повороте главных осей упругой симметрии 1 3 вокруг оси 2 на угол 0. Необходимые для расчета компоненты матрицы жесткости 5 , 1,/ = 1, 2,. ... 6, в главных осях 1 23 выражают через упругие постоянные [c.91]

Параллельно армированный материал называют соосно-армированным, если оси симметрии всех слоев совпадают с осями координатной системы, к которой отнесена пластина (например, со сторонами прямоугольной пластины). В этом случае, очевидно, 0 = 0. Такая пластина обладает специальным типом ортотро-пии — все элементы матриц жесткости (Ац, Вц, имеющие [c.168]

Поместим начало декартовой системы координат в произвольной точке торцового сечения и направим ось параллельно образующей стержня, как показано на рис. 6. Тогда плоскйсть является плоскостью упругой симметрии, а матрица коэффициентов жесткости в обобщенном эаконе Гука имеет форму (20). Граничные условия запишем в виде на боковой поверхности [c.28]

Системы с распределенными связями между периодами. Когда структура системы отлична от стержневой, например упругие диски с лопатками, вместо сравнительно легко определяемых матриц динамических жесткостей или податливостей для периода системы необходимо построить интегральные операторы, которые могут быть весьма сложными. Поскольку образование их связано с определенными трудностями, при решении задач тарного типа систему рационально расчленять не на периоды, а на кольцевые участки, динамические характеристгию которых можно описать более простыми средствами. Этот путь можно использовать и для систем стержневого типа. При таком подходе свойства спектров можно реалшо вать путем введения понятия волновых динамических жесткостей и податливостей [25]. Фундаментальные матрицы волновых динамических жесткостей (податливостей) полностью определяют необходимые для расчета динамические характеристики кольцевых участков, если они найдены для всех чисел волн т перемещений (усилий), допускаемых порядком симметрии системы. [c.43]

При написании закона Гука, различных матрип коэффициентов жесткости и т. д. обычно в качестве первого индекса записывается номер соответствующей строчки системы уравнений или матрицы. Однако ввиду симметрии соответствующих коэффициентов [c.167]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...