Грина формула элементов

Умножим обе части уравнения (12.60) на произвольный элемент и е У и тогда, применив формулу Грина (6.4), получаем [c.158]

Применение метода к стационарным процессам. Для стационарных систем элементы матрицы Грина зависят только от разности аргументов h,k = ( -т). Если внешнее воздействие является стационарным и стационарно связанным, то выходной процесс будет обладать такими же свойствами. Переходя в формуле (12) к новым переменным 4 = т, ti—= 61, —Tj = 62, получим [c.289]

В этом равенстве и ] суть любые непрерывные функции лг и у, / п т — косинусы углов внешней нормали (Рл на рис. 85) с осями Ох, Оу, ds — элемент дуги контура. Если подставить (23) в первые чд,ены (68) и воспользоваться формулой Грина, то [c.336]

Метод граничных элементов (МГЭ) — это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. МГЭ, с точки зрения теории аппроксимации, имеет много общих черт с широко известным методом конечных элементов, но отличается от него существенным преимуществом дискретизация осуществляется, как правило, не внутри области, в которой ищется решение, а на ее границе. Такое упрощение достигается путем точного удовлетворения исходным дифференциальным уравнениям с помощью представлений решения в виде, характерном для теории потенциала. Указанные представления могут быть использованы в рамках МГЭ лишь в случае, когда известны в явном виде (точно или приближенно) фундаментальные решения (или функции Грина) для рассматриваемых дифференциальных уравнений 1 исследованы граничные свойства соответствующих потенциалов. Путем предельного перехода на границу в формулах представления решения получаются граничные интегральные уравнения (ГИУ), которые являются основным объектом аппроксимации Б МГЭ. Этим объясняется еще одно (более раннее) название МГЭ — метод граничных интегральных уравнений. Заметим, что возникающие в теории упругости и в других разделах механики деформируемого твердого тела ГИУ часто являются сингулярными интегральными уравнениями [114, 107, 84], методы аппроксимации которых далеко не тривиальны. [c.3]

Индекс или у матричного элемента G соответствует той ветви контура (7, на которой лежит временной аргумент. Ситуация, когда обе точки t и t[ принадлежат ветви (7 , показана на рис. 6.6. Согласно определению Т -упорядочения, в этом случае формула (6.3.17) дает = д . Проверку соотношений (6.3.18) для остальных элементов функции Грина G оставляем читателю в качестве упражнения. [c.45]

Хотя сами ПО себе формулы (6.3.31) являются всего лишь соотношениями между массовым оператором и гриновскими функциями, достоинство уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30) состоит в том, что многие важные величины в кинетических уравнениях, включая интегралы столкновений, удается выразить через элементы массового оператора 11(1,1 ). Таким образом, найдя некоторое приближенное выражение для двухчастичной гриновской функции через одночастичные, из формулы (6.3.31) можно найти соответствующее приближение для элементов массового оператора, а затем и для интеграла столкновений. В сущности, это и есть обычный способ вывода кинетических уравнений в технике временных функций Грина. [c.47]

Оператор А(у), соответствующий краевой задаче, строится при помощи умножения левой части дифференциального уравнения на произвольный элемент V е V (умножение является скалярным, если дифференциальное уравнение векторное) с последующим интегрированием по области Г) изменения независимых переменных. После т-кратного применения формулы интегрирования по частям (формулы Грина) возникает билинейный функционал, обозначаемый А и),у), величина А и) в котором и определяет оператор над решением при вариационной (слабой) постановке краевой задачи. Во многих случаях элемент А(и) е V, хотя это не обязательно. [c.97]

Редукционная формула для матричных элементов. Совпадение на массовой оболочке функций Грина, построенных из гейзенберговских и 1п-операторов поля (см. (26)), не случайно, а является проявлением справедливости в НТП общей редукционной формулы [10], выражающей матричный элемент в физической области через среднее значение гейзенберговских операторов поля. Эта формула имеет вид [c.140]

Из формулы (3.20) следует, что, в отличие от Kj и функция ЛГ(,(Х, X Е), вообще говоря, не является аналитической и не допускает расширения в комплексную плоскость. Существенно, однако, что в формулах, для всех функций Грина КК / и К при заданных операторах и С2 фигурирует одна и та же спектральная функция 7(Х, X Е). Поэтому с точки зрения исследования энергетического спектра и матричных элементов операторов безразлично, какой именно функцией Грина мы. будем пользоваться. [c.33]

Действительно, вряд ли стоит подчеркивать, что усредненная функция Грина, соответствующая случайному гамильтониану, должна быть совсем не такой, как функция Грина для усредненного гамильтониана. Это ясно видно из формулы (9.20), поскольку на индексы узлов, по которым суммируется каждое слагаемое, не накладывается никаких ограничений. В диаграммном представлении этого ряда (рис. 9.1) линии на одном и том же графике могут по нескольку раз сходиться в каком-либо узле, показывая, что матричный элемент возмущения может встречаться в одном и том же произведении несколько раз. Несмотря на условие (9.16), среднее по ансамблю от такого произведения не обязано обращаться в нуль. Это ясно хотя бы из того, что если рассматриваемая система не идеально упорядочена, то дисперсия случайного возмущения не обращается в нуль [c.381]

В общем случае этот детерминант Ллойда бесконечного порядка, и точно вычислить его невозможно. Однако он дает явное представление инвариантной формулы, содержащей только матричные элементы -матрицы на изоэнергетической поверхности, и играет благодаря этим свойствам центральную роль в теории рассеяния. Далее при выводе соотношения (10.107) считалось, что рассматривается ячеечный потенциал ( 10.3), составленный из вкладов VI (г — Кг), каждый из которых центрально-симметричен в своей ячейке. Однако более тщательное исследование [50] показывает, что единственное необходимое условие состоит в том, чтобы суммарный потенциал Т т) обладал однозначным ячеечным представлением, т. е. потенциалы отдельных ячеек нигде не должны перекрываться. Иначе говоря, мы можем разбить нашу систему на ячейки Вороного, отделенные друг от друга лишь бесконечно малыми междоузельными областями, и считать, что во всем объеме каждой ячейки задано свое распределение У (г — К,), не ограничиваемое требованием центральной симметрии ячеечной ямы. С формальной точки зрения это означает просто, что ячеечные -матрицы (10.103) уже не обязательно диагональны по индексам, нумерующим парциальные волны при этом, правда, надо аккуратнее определить матричные элементы неполной функции Грина [c.500]

Мы поясним метод конечных элементов и введем необходимый математический аппарат на хорошо известном примере. Возьмем одномерное пространство, чтобы конструкция элементов была проста и естественна, а математические преобразования вели прямо к цели — требуется всего лишь интегрирование по частям вместо использования общих формул Грина. Итак, мы выбираем уравнение [c.13]

Далее отметим, что в часто реализуемых на практике ситуациях внутренним электрическим сопротивлением Х х) элемента батареи можно пренебречь по сравнению с сопротивлением изоляции его электродов (Xg l). Для таких ситуаций формулы (5.105)—(5.108) принимают особенно простой и наглядный вид. Действительно, используя предельный переход при Xg- 0, получаем из (5.105) для функции Грина сопряженного уравнения электропроводности следующее приближенное выражение [c.161]

Сформулированы правила построения матричных элементов в нелокальной теории поля. Эти правила отличаются от обычных включением форм-фактора в вершинную часть диаграммы с обязательным условием не учитывать особенностей форм-фактора при вычислении интегралов методом вычетов. Исследуются аналитические свойства матричных элементов и отмечено появление специфических особенностей, положение которых не зависит от величины элементарной длины. Показано, что функции Грина, построенные из гейзенберговских и in-операторов поля, не совпадают друг с другом этим объясняется появление комплексных особенностей собственно энергетической части. Выяснена применимость в нелокальной теории поля редукционной формулы Лемана-Симанзика-Циммермана для матричных элементов рассеяния. [c.130]

Р1наче говоря, если хронологическая свертка двух операторов есть с-число, то она с точностью до множителя I совпадает с соответствующей причинной функцией Грина. С этим и связано название причинная функция свертки определяют элементы -матрицы, описывающей причинную эволюцию квантовомеханической системы во времени. При этом формула (1.23), очевидно, решает поставленную задачу для частного случая двух операторов выражение Т С С ) представлено в виде суммы нормального произведения и члена [c.269]

Следует, однако, подчеркнуть, что наличие у функции (9.137) конечной мнимой части еще пе свидетельствует о делокализован-ном характере всех волновых функций в модели Ллойда. Критерий локализации применяется к диагональным элементам функции Грина (9.110), взятой в узельном представлении для одной конкретной реализации, а не к усредненной по ансамблю функции (9.11) [95, 96] ). На основании критерия (9.131) можно ожидать, что в центре зоны локализация наступает, когда величина Г достигает приблизительно ширины идеальной зоны В [73]. Однако модель Ллойда полезна как пробный камень для проверки математических методов, используемых при изучении спектра неупорядоченных систем с беспорядком замещения (см., например [98]). Интересно отметить, например, что плотность состояний (9.7), вычисленная, скажем, с помощью формулы (9.137) и рассматриваемая как функция к, не характеризуется какими-либо необычными чертами или сингулярностями вблизи края подвижности при переходе от локализованных волновых функций к делокализованным (ср. [99, 1001). Это наводит на мысль, что переход Андерсона не относится к фазовым переходам, для которых характерна неаналитичность термодинамических функций вблизи критических точек (гл. 5). [c.431]

Заметим, что это уравнение имеет тот же вид, что н уравнение (12,196). Хотя подобный вид получается и из вариационной формулировки, в данном случае производные во вкладе элемента имеют тот же порядок, что и в определяющем уравнении, тогда как для вариационной формулировки производные в элементном вкладе имеют болес низкий порядок (см. разд. 2,1). Таким образом, в случае метода Галеркина получается, что для соответствующей вариациокной формулировки требуется пробная функция более высокого порядка. Далее, однако, показано, что это требование можно обойти. Граничное условие Дирихле (12.25а) может накладываться обычным способом, но совсем не очевидно, как ввести условие Коши [уравнение (12.256)], Ниже также будут рассмотрены средства, с помощью которых этого можно достигнуть. Формулу Грина для двух переменных ы и у в области > можно записать [c.276]

Для каждого i в качестве v представляется естественным выбрать функцию, сужение которой на каждый конечный эле-Menj /( совпадает с функцией d (v / ). Так как каждый конечный элемент /( имеет непрерывную по JlnnuJHHy границу дК, то можно применить формулу Грина (1.2.4) Для каждого [c.49]

Проверка приведенных вьш1е утверждений не представляет затруднений. Она опирается, в частности, на следующий результат (Лионе, Мадженес [1]). Если задана функция q Я(div Q), то можно определить ее внешнюю нормальную компоненту (обозначаемую по определению) q-v вдоль Г как элемент пространства Я / (Г), причем таким образом, что справедлива формула Грина [c.399]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...