Отображение квазипериодических

Для теории нелинейных колебаний теория бифуркаций состояний равновесия и периодических движений представляет интерес не только тем, что облегчает исследование конкретных систем, но и в первую очередь тем, что решает вопрос о характере смены установившегося режима при медленном изменении параметров. Можно напомнить, что именно теория бифуркаций дала математическое описание мягкого и жесткого способов возникновения колебаний в ламповом генераторе и сделала эти понятия одними из основных в теории нелинейных колебаний, а метод точечных отображений позволил решить вопрос о мягком и жестком возбуждении в многомерном случае. Методом точечных отображений была решена и аналогичная задача о возбуждении квазипериодических колебаний в автономной системе и обнаружен случай мягкого удвоения периода автоколебаний (Ю, И. Неймарк, 1958—1959). [c.156]

Если для интегрируемых систем последовательные итерации отображения ложатся на инвариантные кривые, состоящие из периодических или квазипериодических движений (см. 7), определенные дополнительным интегралом (рис. 5), то в общей (неинтегрируемой ситуации траектория может хаотическим образом заполнять целые области в фазовом пространстве (на уровне Н = И, рис. 6). [c.57]

Отображение (5.2.4) соответствует движению интегрируемой гамильтоновой системы на инвариантном торе (01, бг). Можно сказать, что это движение эргодично на торе, но не эргодично во всем фазовом пространстве. Из рассмотренного примера квазипериодического движения ясно, что эргодичность еще не означает стохастичность. С другой стороны, наше определение эргодичности позволяет считать эргодическим стохастическое движение и в некоторой ограниченной области фазового пространства, например в стохастическом слое. Однако такое определение может оказаться не очень удобным в том случае, когда область стохастичности содержит много островков устойчивости ). [c.294]

Конечный набор точек периодическое или субгармоническое колебание Замкнутая кривая квазипериодическое движение в присутствии несоизмеримых частот Незамкнутая кривая имеет смысл попытаться моделировать одномерным отображением постройте X (О как функцию х(/ + Т) [c.60]

Бесформенный набор точек 1) динамическая система со слишком сильным случайным сигналом или шумом на входе 2) странный аттрактор, но диссипация в системе очень слаба — для проверки используйте показатель Ляпунова 3) странный аттрактор в фазовом пространстве с более чем тремя измерениями — попытайтесь применить множественное отображение Пуанкаре 4) квазипериодическое движение с тремя или большим числом доминирующих несоизмеримых частот [c.60]

Рис. 2.18. а — Отображение Пуанкаре для квазипериодического движения в тепловой конвекции Рэлея — Бенара при отношении частот, близком к и,/ш2 = 2,99 б — ра рушение тороидальной поверхности перед появлением хаоса [9]. [c.67]

Если в движении присутствуют три или более несоизмеримых частоты, то мы можем не увидеть аккуратной замкнутой кривой отображения Пуанкаре, и следует обратиться к спектру Фурье. С помощью фурье-спектра сигнала можно также обнаружить разницу между хаотическим и квазипериодическим движениями. Квазипериодическому движению будет соответствовать несколько хорошо выраженных пиков, подобных показанным на рис. 4.10. Хаотиче- [c.140]

Рис. 5.22. Схематическое изображение траекторий с периодом 1 и периодом 2 и сопутствующих квазипериодических траекторий для стандартного отображения, используемого при выводе критерия Чирикова.

Аттрактор Множество точек или подпространство в фазовом пространстве, к которому приближается траектория после затухания переходных процессов. Классическими примерами аттракторов в динамике могут служить точки равновесия или неподвижные точки отображений, предельные циклы или поверхности торов для квазипериодических движений. [c.268]

Интересные случаи вы обнаружите при О < / < 1,5. При/Г 1 можно наблюдать квазипериодические замкнутые траектории вокруг периодических неподвижных точек отображения. При К = 1 должны появиться области консервативного хаоса вблизи точек сепаратрис (см. рис. 5.21). [c.283]

Существование таких квазипериодических решений легко устанавливается при помощи теоремы существования из 1. Для этого мы построим сохраняющее площадь преобразование, отображающее начальные значения а (0), у(0) решения при i = О в значения ж(2тг), у(2тг) при t = 2ti. Это отображение определено в замкнутом интервале а + + 6 у Ь — 5 при достаточно малом 5, вещественно-аналитично в нем и имеет вид [c.341]

Мы видим, что при малых ц, < 0,92 имеют место либо квазипериодические движепия, либо синхронизм высоких порядков. При ц, 0,02 возникает касание графика функции точечного отображения с биссектрисой, а затем сначала две, потом четыре точки пересечения. Это означает появление сначала одного, а затем двух устойчивых периодических движений периода 2я. При дальнейшем росте параметра ц- они теряют устойчивость, но взамен появляются устойчивые периодические движения периода 4л. Уже при х = 1,44 устойчивые неподвижные точки численно не обнаруживаются, и движения системы носят хаотический характер (естественно, в малой окрестности некоторой тороидальной поверхности, пересекающейся с секущим цилиндром 0 = О по замкнутой кривой 1). При дальнейшем увеличении параметра ц-возникают новые пересечения графика точечного отображения с биссектрисой, т. е. вновь, но уже для очень узкого промежутка значений параметров возникают устойчивые периодические движепия периода 2л, 4л и т. д. Затем наступает хаос. При дальнейшем увеличении параметра x картина повторяется, но с каждым разом области существования устойчивых периодических движений периодов 2л, 4л,. .. по параметру [х становятся меньше и меньше. При больших значениях параметра ц- они практически исчезают, и движения приобретают хаотический характер. Инте- [c.204]

Модель Рюэля—Тэкенса исследовалась численно на примере простого двумерного отображения [100]. Были обнаружены переходы от устойчивого фокуса к предельному циклу, затем к двухчастотному движению и, наконец, к странному аттрактору. В этой связи важно отметить, что в отличие от модели Лоренца с тремя модами в модели конвекции Рэлея—Бенара, использующей 14 мод, также обнаружен квазипериодический аттрактор на некоторой двумерной поверхности в 14-мерном фазовом пространстве [98]. [c.480]

Понятие потока описывает пучок траекторий в фазовом пространстве, который начинается на множестве близких начальных условий. Для тех, кто занимается колебаниями в инженерных системах, наиболее близок пример потока, связанный с непрерывным движением частицы. Однако определенную качественную и количественную информацию о системе можно получить, анализируя эволюцию параметров системы на дискретно выбранных моментах времени. В частности, в этой книге мы обсудим, как получить разностные эволюционные уравнения для непрерывно эволюционирующих систем с помощью сечения Пуанкаре. Отображения Пуанкаре иногда помогают отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например периодические, квазипериодические и хаотические. В некоторых задачах не только время принимает дискретные значения, но и информация о параметрах системы оказывается ограниченной конечным набором значений или категорий, как, например, красный или синий, нуль или единица. Например, в задаче с парой потенциальных ям (см. рис. 1.2, б) нас может интересовать только, в какой яме находится частица, правой (К) или левой (Ь). Тогда траектория может описываться последовательностью символов ЬККЬКЬЬЬК,. ... Периодическая орбита может иметь вид ЬКЬК. .. или ЬЬКЬЬК. ... На современном новом этапе развития нелинейной динамики для описания эволюции физических систем применяются модели всех трех типов (см. обсуждение символической динамики в [26] или [211]). [c.33]

Рис. 3.25. а — Схема упругого прута, совершающего трехмерные движения в паре потенШ1альных ям, созланных двумя маг-иитами б — наложенные друг на друга траектория движения в фазовом пространстве и отображение Пуанкаре для квазипериодического движения (вверху)-, отображение Пуанкаре для хаотического движения (внизу). [c.107]

При автоматизации таких измерений иужио позаботиться, чтобы не принять квазипериодическое движение за хаотическое. Отображения Пуанкаре остаются очень полезным инструментом отде-ленмч квазипериодических и хаотических движений. [c.136]

Отображения Пуанкаре квазипериодические колебания. Часто то, что кажется хаотичным, вполне может быть просто суперпози-Ш1ей двух гармонических движений с несоизмеримыми частотами, например [c.139]

Рис. 5.14. Блок-схема, показывающая взаимо- Рис. 5.15. а — Периодическаа связь между гомоклиннческими орбитами, траектория в сечении Пуанкаре отображениями типа подковы и хаосом в физи- 6 — квазипериодическая траекто-ческнх системах. рия в — гомоклиническая траек-

Рис. 5.21 а. Отображение Пуанкаре для движения шарика, упруго подпрыгивающего на колеблющемся столе (стандартное отображение) при /Г = 0,6 в уравнеюш (5.3.32). Видны периодические и квазипериодические траектории. [c.190]

Возможные движения, наблюдаемые при этом отображении, являются периодические, квазипериодические и хаотические режимы. Чтобы увидеть периодические циклы, постройте точки на окружности с прямоугольными координатами = eos 2irx , = sin 2тгх [c.283]

Отображения такого рода встречаются также в теории Ньюхау-са—Рюэля—Такенса квазипериодического пути к хаосу. [c.287]

Как следует из 3 и приведенного выше описания абсолютного движения, задача адвекции для системы трех вихрей приводит к одностепенной гамильтоновой системе (1.17), (1.18) с квазипериодическим по времени (двухчастотным) возмущением. В литературе рассматривались лишь частные постановки этой задачи с периодическим возмущением, в частности, для доказательства неинтегрируемости ограниченной задачи четырех вихрей на плоскости [23]. В общем случае анализ подобных систем сводится к исследованию некоторого трехмерного точечного отображения (сечения) Пуанкаре [И] и в настоящее время не выполнен. [c.65]

В рассматриваемой задаче предельный цикл — замкнутая фазовая траектория в четырехмерном фазовом пространстве Xi, х , Уи уз — проектируется на отрезок 12 биссектрисы лгз = — Xi плоскости xi,x , в силу чего этот отрезок пробегается изображающей точкой Xi, то в одном, то в другом направлении. Однако можно сделать так, чтобы разрывные периодические колебания отображались движением изображающей точки по обычному предельному циклу на некоторой фазовой поверхности, если только соответствующим образом выбрать вид этой поверхности (вместо фазовой плоскости). Мы видели, что, попадая на замкнутую кривую I (рис. 580), изображающая точка перескакивает на кривую Г, после чего траектории медленных движений заключены в области между этими двумя кривыми. Считая точку а тождественной А, точку Ь тождественной Z и т. д., т. е. спрессовывая в точки отрезки траекторий скачков, мы сможем отобразить эту область (взаимно однозначно и непрерывно) на поверхность шара. Разрывные автоколебания при этом отобразятся предельным циклом (например, экватором). Кроме того, на сфере мы получим две особые точки (два неустойчивых узла), расположенные по разные стороны цикла (например, на полюсах) и соответствующие точкам касания кривых Г и Г. После такого отображения сразу видно, что в мультивибраторе не может быть квазипериодических колебаний (такие колебания могли бы существовать только тогда, когда фазовая поверхность — тор). Не может быть также и периодических движений изображающей точки по замкнутой траектории, дважды охватывающей шар. А priori эти результаты не очевидны. [c.853]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...