Приведенные волновые векторы

Может оказаться, что к —к лежит вне первой зоны Бриллюэна. В этом случае матричный элемент q , отвечающий приведенному волновому вектору 1 , не равен нулю. Это соответствует процессу переброса Пайерлса. Мы будем учитывать такую возможность, не ограничивая область допустимых значений . в первой зоной, помня, что в соответствующем q величина х представляет приведенный вектор в первой зоне. Тогда член [c.759]

Явное вычисление допустимых значений приведенных волновых векторов к можно сделать, если учесть, что согласно (4.1) собственные значения операторов трансляций должны удовлетворять равенствам [c.21]

При выполнении этих условий выражение (4.8) определяет N различных значений приведенных волновых векторов к. Каждое из этих значений соответствует неприводимому представлению группы трансляций. [c.21]

Чем больше тем меньше ДАГ/. Из выражения (4.10) следует, что один приведенный волновой вектор приходится на объем к-пространства, равный [c.22]

В простой кубической решетке первая зона Бриллюэна имеет форму куба. Значения приведенных волновых векторов определяется выражением [c.22]

Перейдем к выяснению физического смысла приведенного волнового вектора к, используемого для характеристики стационарных возбужденных состояний кристалла.. Если к определен в первой зоне Бриллюэна (центр зоны совпадает с к = 0), то каждому абсолютному значению к можно сопоставить длину волны Я возбужденного состояния с помощью равенства [c.22]

Приведенный волновой вектор к характеризует собственные значения оператора трансляции Т на вектор решетки. Интересно сравнить его с вектором к, определяющим собственные значе- [c.22]

По аналогии и приведенному волновому вектору к в кристалле сопоставляют вектор [c.23]

Таким, образом, собственные функции оператора Н должны быть одновременно собственными функциями оператора трансляции. Следовательно, эти функции классифицируются по неприводимым представлениям группы трансляций, т. е. зависят от приведенного волнового вектора к и удовлетворяют уравнениям [c.24]

Классификация одноэлектронных состояний с помощью энергетических зон а, каждая из которых имеет N подуровней, различающихся значениями приведенных волновых векторов к из первой зоны Бриллюэна, не единственно возможная. В некоторых случаях более удобно определять состояния указанием значений волновых векторов к во всем й-пространстве — расширенном к-пространстве. При этом переходу из одной энергетической зоны Еа (к) в другую р (к) в первой зоне Бриллюэна в расширенном й-пространстве соответствует переход из одной в другую зоны Бриллюэна. На простом примере этот переход обсужден в 20. Энергия Е (к), заданная в таком расширенном й-пространстве на границах зон Бриллюэна, претерпевает разрывы. [c.123]

Таким образом, на границах зон Бриллюэна наблюдаются разрывы в энергетическом спектре, величина которых равна 2]/7 7р. Энергии (20.6) определены для всех значений волновых векторов к (расширенная зонная схема на рис. 25, о). Используя свойство периодичности энергии и свойство эквивалентности волновых векторов, отличающихся на векторы g обратной решетки, можно преобразовать энергию Е (к) в многозначную функцию Еа (к) (рис. 25, б) приведенных волновых векторов к. В этом случае энергетические состояния распадаются на квазинепрерывные полосы энергии. Граничным состояниям в этих полосах соответствуют стоячие волны. При удалении от границы зоны Бриллюэна роль возмущения становится незначительной. [c.135]

Как было показано в 19, одноэлектронные состояния в кристалле характеризуются волновыми функциями (г, s,) и энергией Ea k), являюш,имися решениями уравнения (19.5), где ft — приведенный волновой вектор, —спиновое состояние и а — остальные квантовые числа, характеризующие одноэлектронное состояние кристалла. Ниже для упрощения записи совокупность квантовых чисел ft, а, s, будем обозначать одной буквой А,. Таким [c.139]

Приведенные волновые векторы 21 Примеси акцепторные 147 [c.638]

Рис. 5.176. Экспериментальные дисперсионные кривые зависимости V от Я" для алмаза в направлениях [100] и [1И], где /С — приведенный волновой вектор в единицах я/а. Обращает на себя внимание существование оптической и акустической ветвей, характерное для кристалла с двумя атомами (даже одинаковыми) на примитивную ячейку. Правая половина рисунка относится к фононам, распространяющимся в направлении [100], левая — к распространяющимся в направлении [111]. В указанных направлениях распространения поперечные моды являются дважды вырожденными имеются два независимых направления поляризации для каждой точки кривых ТА я ТО [24].

Этот результат просто двойник классического результата, который гласит, что скорость есть производная гамильтониана по импульсу. В выражении (2.5) роль импульса играет величина к ее называют квазиимпульсом (если к — приведенный волновой вектор). Пока электрон локализован в области, размеры которой велики по сравнению с межатомным расстоянием (и поэтому флуктуации и около ко малы), естественно, связывать скорость с данным электронным состоянием в кристалле. Для свободного электронного газа эта скорость есть просто Йк/т. Для более сложных зонных структур скорость принимает более сложный вид (2.5). [c.78]

При рассмотрении зависимости энергии от волнового вектора к изменению энергии е(к), отвечающей изменению к внутри одной зоны Бриллюэна, соответствует энергетическая зона. В схеме приведенных зон одной энергетической зоне соответствует изменение функции 6(к) при однократном проходе внутри зоны Бриллюэна. В этом случае для различения разных энергетических зон их часто нумеруют дополнительным индексом. Итак, зонам Бриллюэна вдоль оси энергий соответствуют энергетические зоны. Еще раз обращаем внимание читателя зона Бриллюэна — зона в к-пространстве, энергетическая зона — зона в шкале энергий. [c.64]

На этом этапе появляется возможность упростить общий подход, воспользовавшись особенностями потенциала Каца. Вследствие его дальнодействующего характера в пропагаторах следует учитывать лишь очень малые волновые векторы к у все остальные обрезаются вершинным множителем Но из рассуждений, приведенных в разд. 13.3, нам известно ), что при малых значениях к основной вклад дают пять гидродинамических мод, имеющих порядок к и к все остальные моды имеют порядок и выше. Следовательно, в пределе "у О, к- Оу ку у — конечная величина, пропагатор (20.7.11) приближенно можно представить в виде [c.304]

Подчеркнем, что в формуле (5.3.65) сначала совершается предельный переход Л О и лишь затем z 0. Обратный порядок предельных переходов, как видно из соотношения (5.3.62), дает Тр = оо. Это означает, что свойства корреляционных функций с приведенным оператором Лиувилля L = QLQ существенно отличаются от свойств корреляционных функций, в которых эволюция описывается полным оператором Лиувилля L. Хотя во многих конкретных задачах оператор проектирования удается исключить с помощью разложений по малым параметрам (параметру взаимодействия, волновому вектору возмущения и т. д.), следует помнить, что все подобные разложения должны совершаться в правильном порядке. Наивные попытки улучшить результат для времен релаксации путем учета членов более высокого порядка в корреляционных функциях могут привести к нефизическим расходимостям. [c.385]

Следуя в точности методу, изложенному в 36, 37, можно использовать все неприводимые представления (44.15) группы Z/X(k) для построения индуцированных неприводимых представлений группы П(й). Очевидно, допустимое представление )( )(т) группы n(fe) индуцировано с помощью того представления группы Z/X(k), которому соответствует правильное значение р, определяемое из (44.15). В таком случае ясно также, почему запрещенное представление соответствует набору волновых векторов (40.7). Это представление индуцировано с помощью иных представлений, чем те, для которых р определяется соотношением (44.15). Это доказательство дополняет прямое доказательство, приведенное в 40. [c.115]

Коэффициенты ( к к к") являются коэффициентами приведения для волнового вектора они равны целым числам. С помощью этих коэффициентов утверждение о том, что ( - О векторов выражаются через сумму по полным звездам, можно записать в виде [c.143]

Можно отметить, что, определяя коэффициенты приведения к к 1 к") для волнового вектора, мы фактически выполняем разложение тех диагональных матриц представления прямого произведения, которые соответствуют элементам группы 5 . Матрицы (53.9) уже являются диагональными, и наше построение сводится к такой перегруппировке диагональных элементов, чтобы все векторы, входящие в одну звезду, оказались собранными вместе. [c.144]

Возможно, полезно заметить также, что случай совпадающих звезд к и к не вносит ничего нового. В этом случае мы должны рассматривать обычное прямое произведение представления само на себя. Соответствующие коэффициенты приведения для волнового вектора можно получить аналогично (56.10) [c.144]

Вектор у, слева соответствует приведенному вектору в первой зоне Брил-люэна сумма S берется по всем х, которые соответствуют тому же приведенному волновому вектору. Уравнение (39.2< ) эквивалентно следующему [c.764]

Здесь суммы по к и я распространяются на все возмож ные значения волновых векторов, в то время как значения координат соответствуют приведенным волновым векторам в первой зоне Бриллюэна. Заметим, что т. е. оператор Ящ эрмитовский. [c.299]

Эта связь справедлива для блоховской функции грк с волновым вектором к и энергией Ш (к), поскольку в импульсном представлении спектр а13к состоит из дискретных пиков в точке к и во всех точках обратного пространства вида к g, приводимых к к в схеме расширенных зон (рис. 10.14, а). Средние значения импульса, входящего в определение (10.116), и приведенного волнового вектора к, вычисленные в этом блоховской состоянии, не обязаны совпадать, и первое из них правильно дается формулой (10.129). [c.510]

На рис. 30 [2] показано чередование разрешенных энергетических зон и щелей для периодического потенциала. Энергия электрона дана как функция волнового вектора в схеме расширенных и приведенных зон Бриллюэна для одномерного кристалла с постоянной решетки а. Нелокализо- [c.78]

Следовательно, в образце наведется четыре стоячих волны поляризации вдоль четырех разных направлений, определяемых приведенными в формуле (15.99) комбинациями волновых векторов трех лазерных импульсов. Очевидно, что именно вдоль этих четырех направлений будет регистрироваться импульс эха. Эти направления не совпадают с направлением распространения лазерных импульсов. Поэтому возбуждающий свет отделен от света эха не только в шкале времени, но и в пространстве. [c.224]

Сравнивая этот результат с (10.1.8), получаем, что двулучепрелом-ляющие акустооптические модуляторы в случае неколлинеарной конфигурации взаимодействия не дают увеличения полосы модуляции. Однако требование, накладываемое на угловую расходимость акустического пучка (8ф 8в), в этом случае выполнить легче, что позволяет увеличить длину взаимодействия без уменьшения полосы модуляции и приводит к более высокой эффективности дифракции Г]. Приведенная на рис. 10.3, а конфигурация взаимодействия часто используется при создании акустооптических дефлекторов пучка, в которых звуковой волновой вектор тангенциален поверхности нормалей дифрагированной моды (см. разд. 10.2). [c.408]

График зависимости кинетического фактора / (р) от волнового числа приведен на рис. 10.12. Для р<ркр в области лабильности / (р)>0 и концентрационные волны растут со временем экспоненциально. В метастабильной области, р>ркр, (Р)< <0, твердый раствор остается гомогенным, так как в соответствии с уравнением (10.10) флуктуации затухают со временем. В области лабильности наиболее быстро растут волны с волновым вектором Рт=ркр/У2, поэтому на начальных стадиях распада в твердом растворе преимущественно возникают неоднородности состава с характерной длиной волны Кт = 2п1Кт. [c.216]

Хотя допущения, лежащие в основе метода ячеек, менее законны вблизи границ ячейки и приведенная выше зависимость энергии от волнового вектора к для металлов, вероятно, не соответствует действительности (это не относится к полупроводникам), все же этот метод обладает тем преимуществом, что он дает зависимость энергии, соответствующей данной волновой функции, от радиуса ячейки (межатомного расстояния). На фиг. 15 показано, как изменяется с расстоянием энергия низшего атомного s-состояния в литии. К преимуществам метода относится и то, что он позволяет вычислить равновесное межатомное расстояние, энергию сцепления и сжимаемость, если допустить, что можно пренебречь всеми вкладами в потенциал решетки, кроме вклада от иона в центре ячейки. Например, относительное изменение объема dQIQ связано с изменением расстояния соотношением [c.85]

Приведенные результаты позволяют сделать определенные выводы и о поведении спектров поля и( ) в окрестности нулевой точки пространства волновых векторов. В самом деле, рассмотрим, например, тензор Fji(k) и предположим, что в окрестности точки к = О он допускает разложение в ряд Тэйлора (5.54). В таком случае и фунции (к), а/(к) и а (к) в правой части (5.72) также могут быть разложены в ряды Тэйлора. Но из условий (5.73) легко следует, что aj(0)=0 при всех /, так что и а (0)=0 поэтому ясно, что ряды Тэйлора функций а/(к) начинаются с членов первого порядка, а функций а (к) и Ь к) — с квадратичных членов. Отсюда вытекает, что и разложение функций Fji k) в ряд Тэйлора должно начинаться с членов второго порядка, т. е. что [c.223]

До сих пор метод полной группы успешно применялся для получения полного набора коэффициентов для ряда различных симморфных и несимморфных групп. Следует отметить, лто он использовался также для анализа значительно более сложных случаев, чем те, к которым применялся метод подгруппы. Чтобы понимать в равной степени и теорию конечных групп, и общую теорию пространственных групп в целом, необходимо полностью разобраться в методе полной группы, и только тогда применять в специальных случаях метод подгруппы, соблюдая во избежание ошибок известную осторожность. В 53—60 обсуждается структура представлений прямого произведения, полученных вычислением обычного и симметризованного прямого произведения неприводимых представлений пространственной группы. Затем излагается основной принцип построения правил отбора для волновых векторов и звезд. Используя эти правила, можно определить все коэффициенты приведения и тем самым осуществить приведение. [c.134]

Часто коэффициенты приведения для волнового вектора можно получить прямой проверкой. Это, в частности, удобно для звезд высокой симметрии. В остальных случаях оказывается полезным систематическое перечисление членов в (56.2). Таким образом, можно составить прямоугольную таблицу, строки которой соответствуют лучам звезды к, а столбцы — лучам к. Выпищем лучи звезды вектора к [c.143]

Роль коэффициентов приведения для волновых векторов и правил отбора для волновых векторов состоит в том, что они выделяют только те звезды, которые возникают при нахождении прямого произведения представлений. Другими словами, при разложении произведения следует лищь найти [c.146]

Коэффициенты приведения для волнового вектора, или коэффициенты приведения для звезд, аналогичны коэффициентам приведения для рядов Клебща — Гордана. Действительно, ряд [c.146]

ПО отношению к полной пространственной группе , а также гомоморфизм остальных представлений, входящих в соотношение приведения Достоинство этого метода (в случаях, когда возможно его применение) состоит в том, что он допускает проверку коэффициентов с помощью соотношения ортонормированности. Как и в случае более пр0С10Г0 метода малой группы, состоящего в определении неприводимых представлений группы (3 к) по неприводимым представлениям группы П(Л), оказывается, что метод группы приведения полезен в случае звезд высокой симметрии, т. е. канонических волновых векторов высокой симметрии. [c.152]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...