Индекс замкнутой кривой

Индекс замкнутой кривой С, охватывающей некоторое конечное число особых точек, определяют аналогично. Как легко показать [67], этот индекс равен алгебраической сумме индексов особых точек, находящихся внутри кривой С. [c.109]

Отсюда следует, что угол поворота вектора преобразования V при обходе начальной точкой кривой С будет такой же, как и угол поворота вектора, нигде не исчезающего, конец которого при обходе начальной точкой кривой С также обходит кривую С, и потому этот угол равен Таким образом, индекс замкнутой кривой С в поле v равен - -1 следовательно, в области, ограниченной кривой С, вектор V обращается в нуль хотя бы в одной точке Xq, Но тогда Xq = TXq, т. е. точка Xq — неподвижная точка преобразования Т. Это противоречит условию. Теорема доказана. [c.188]

Ряд приложений теории индекса основан па том, что индекс замкнутой кривой равен сумме индексов состояний равновесия, расположенных внутри этой кривой (теорема 27), и что индекс замкнутой траектории, а также цикла без контакта равен 1 (теоремы 28 и 29). Из этих теорем вытекают некоторые основные условия возможности совместного существования замкнутых траекторий динамической системы и состояний равновесия того или иного типа. [c.205]

Мы получаем непрерывное векторное поле V, определенное внутри и на границе треугольника ОСЕ и не имеющее особых точек. Поэтому в силу леммы 4 индекс замкнутой кривой ОСВО по отношению к полю равен нулю [c.212]

Определение индекса, данное Пуанкаре. Приведем здесь в несколько измененной форме определение индекса, данное Пуанкаре (см. [5], гл. III и XIV). Этим определением в ряде случаев удобно пользоваться для вычисления индекса замкнутой кривой. [c.213]

Справедливость леммы непосредственно следует из теоремы 26 и из определений индекса замкнутой кривой и особой точки. [c.215]

В. Индексы замкнутых кривых. Индексы замкнутых кривых на лагранжевых подмногообразиях линейного фазового пространства можно вычислять также с помощью комплексной структуры. Введем в линейном фазовом пространстве R = (р, 9) , кроме симплектической структуры, dp Д dg еще евклидову структуру (со скалярным квадратом р -j- д ) и комплексную структуру, заданную умножением на мнимую единицу [c.413]

В первую очередь мы изложим общие законы совместного существования состояний равновесия различных типов и замкнутых траекторий, сформулированные Пуанкаре [108]. Для формулировки этих законов необходимо ввести понятие об индексе замкнутой кривой по отношению к векторному полю. Это понятие индекса будет иметь значение и для других целей, в частности для изучения зависимости качественной картины траекторий от параметра. [c.338]

Нетрудно видеть, что индекс замкнутой кривой N по отношению к векторному полю, определяемому системой (5.1), может быть выражен криволинейным интегралом [c.341]

Следствие I. Внутри замкнутой фазовой траектории находится по крайней мере одна особая точка, так как индекс такой траектории по-предыдущему равен - -1, а индекс замкнутой кривой, внутри которой нет особых точек, равен нулю. [c.344]

Простейшие бифуркации состояний равновесия. Выскажем сначала несколько простых соображений, касающихся зависимости состояний равновесия от параметра. Во-первых, очевидно (мы уже говорили об этом Б связи с так называемой о, Д-диаграммой), что при изменении параметра характер состояния равновесия может измениться лишь в том случае, если для соответствующего состояния равновесия либо Д, либо а обратится в нуль. Во-вторых, легко видеть, что при наших предположениях о Р х, у, X) и Q (дг, у, X) индекс замкнутой кривой [c.467]

Рис. 68. Индексы замкнутых кривых, не имеющих горизонтальных касательных в точках перегиба

Целое число у называют индексом замкнутой кривой по отноше к векторному полю. [c.62]

Рассмотрим простую замкнутую кривую Г, не проходящую через особые точки пусть точка р проходит всю эту кривую, двигаясь в положительном направлении (против хода часовой стрелки). Обозначим через 9 (р) наклон силы поля F к оси Ох в точке р. Если точка р, двигаясь по кривой в положительном направлении, против хода часовой стрелки, совершает один полный оборот, то 0 (р), изменяясь непрерывно с изменением р, получает приращение 2/гп, где п — целое положительное или отрицательное число или нуль. Число п называется индексом кривой для заданного поля. Изменение 0 при перемещении точки р по кривой Г можно представить посредством отображения кривой Г на единичную окружность. Если через и (р) обозначить единичный [c.385]

Если кривая Г фиксирована, а векторное поле F непрерывно изменяется, но так, что на кривой Г не появляется особых точек, то индекс кривой остается без изменения. Обратно, если зафиксировать поле и непрерывно деформировать кривую Г, но так, чтобы она оставалась простой замкнутой кривой, [c.385]

Если замкнутая кривая Г лежит в односвязной области поля F без особых точек, то ее индекс равен нулю. В самом деле, такую кривую можно, не изменяя индекса, путем непрерывной деформации стянуть в точку. Если Г — простая замкнутая кривая, не имеющая на себе особенностей, а имеющая лишь допустимые изолированные особые точки внутри ограничиваемой ею области, то индекс для кривой Г равен сумме индексов охватываемых ею особых точек. Число особых точек в области, ограничиваемой кривой, должно быть конечным. При этом условии сформулированное утверждение легко [c.386]

Понятие индекса особой точки состоит в следующем. Возьмем некоторую простую замкнутую кривую Г, которая не проходит через особые точки, а в области ограниченной этой кривой, имеется не более одной особой точки. В точках кривой Г рассмотрим [c.108]

Критерии существования замкнутых траекторий на фазовой плоскости. Исследования особых точек системы уравнений (163) проясняют картину поведения траекторий на фазовой плоскости в их окрестности, однако не позволяют окончательно изучить колебательные процессы, описываемые системой (163). Для системы (163) наличие колебательного процесса связано с существованием замкнутой траектории на фазовой плоскости. Пока не существуют общие теоретические методы, позволяющие установить существование замкнутых траекторий и определить место их расположения на фазовой плоскости. Общий геометрический принцип, с помощью которого можно решить вопрос о существовании замкнутой траектории системы (163), а также вопрос о существовании колебательного процесса в этой системе известен как принцип кольца и состоит в следующем.На фазовой плоскости выделяем несколько особых точек, сумма индексов которых равна + 1, и окружаем их двумя замкнутыми кривыми так, чтобы в полученной кольцеобразной области К не было особых точек. На границе Г этой области наносим направления вектора скорости изображающей точки. В кольцеобразной области /С существует по крайней мере одна замкнутая траектория. [c.111]

Существование замкнутых кривых из траекторий, стягиваемых по цилиндру в точку. В частности, существование неизолированных периодических траекторий или предельных циклов. Заметим, что в силу 2к-периодичности векторного поля системы по а, последняя задача сводится к отысканию замкнутых траекторий или замкнутых кривых из траекторий лишь вокруг точек покоя индекса 1. [c.220]

Понятие индекса основано на понятии вращения векторного поля. Если на простой замкнутой кривой задано непрерывное векторное поле, то вращением этого поля вдоль кривой называется, грубо говоря, число полных оборотов, которое делает вектор поля при однократном обходе этой кривой в положительном направлении (точное определение дано в п. 2 6). Индекс Пуанкаре изолированного состояния равиовесия О динамической системы есть вращение векторного поля, определяемого этой системой, вдоль любой достаточно малой замкнутой кривой, содержащей точку О внутри себя. [c.205]

Индекс простой замкнутой кривой по отношению к заданному па не 1 векторному полю. В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что на рассматриваемой замкнутой кривой выбрано положительное направление обхода. [c.208]

Лемма 4. Пусть С — простая замкнутая кривая, Г — область внутри нее, Г — замыкание этой области. Если V — векторное поле без особенностей, заданное на Г, то индекс кривой С по отношению к это.му полю ) равен нулю [c.210]

Теорема 25. Пусть С — простая замкнутая кривая, лежащая в области С,иТ — внутренняя область, ограничиваемая ею. Если Г целиком принадлежит области С и в Т нет ни одной особой точки динамической системы (I), то индекс кривой С равен нулю. I (С) = 0. [c.214]

Теорема 27. Пусть С — простая замкнутая кривая в области G, G Г — внутренняя область, ограничиваемая ею. Если Г целиком принадлежит G и содержит конечное число состояний равновесия, а на кривой С их нет совсем, то индекс кривой С равен сум.ие индексов всех состояний равновесия, расположенных внутри С (т. е. в Г). [c.215]

Индекс как криволинейный интеграл. В случае, когда С является простой гладкой замкнутой кривой и на ней не лежит ни одной особой точки системы (I), индекс кривой С можно представить в виде криволинейного интеграла. [c.216]

Возвращаемся к поставленной задаче. Нам нужно теперь вычислить индекс состояния равновесия О системы (6). С этой целью воспользуемся фор.мулой (4) и в качестве замкнутой кривой С, содержащей внутри состояние равновесия С, возьмем эллипс [c.218]

Мы будем обозначать индекс простой замкнутой криво11 С через I (С). Очевидно, данное определение индекса замкнутой кривой не зависит от того, какие именно точки М и М2 выбраны на кривой С. Это легко доказывается при помощи свойства б) (аддитивности) вращения поля на дуге. [c.208]

Из этого равенства следует, в частности, что число F (р) — F (а) не зависит от выбора параметризации на кривой С. Таким образом, для вычисления индекса замкнутой кривой С (ио отношению к заданному нолю) можно взять произвольную параметризацию кривой, построить оиять-таки произвольную угловую функцию F (и) п воспользоваться формулой (3). Из формулы (3) вытекает, что индекс замкнутой кривой есть всегда целое число, так как F (р) и F (а) являются полярными углами одного и того же вектора v М (а)) = v М (Р)), [c.209]

Индексы замкнутых кривых входят в асимптотические формулы для стационарных задач (собственных колебаний). Предположим, что фазовый поток, соответствующий потенхщалу 11, имеет инвариантное лагранжево многообразие, лежащее на уровне энергии Н — Е. Тогда уравнение [c.414]

Очевидно, однако, что при принятии такого определения мы не имели возможности говорить о грубо сти целого ряда систем, которые естественно считать грубыми. Так, например, пусть рассматривался динамическая система, которая имеет в некоторой области С (ограниченной замкнутой кривой) только одно седло илп узел и седло. Такие системы мы должны, очевидно, считать грубыми. Но мы не можем пользоваться определением I, так как граница области С в этих примерах, очевидно, не может быть циклом без контакта. Индекс замкнутой кривой, являющейся границей области С, в этих случаях, очевидно, не равен единице, и, следовательно, она не может быть циклом без контакта. Можно подправить определение I, делая более общие предположения относительно границы области С. Например, можно допускать, что граница области О есть гладкая простая замкнутая кривая, имеющая конечное число касаний с траекториями системы (А) и не содержащая состояний равновесия (см. [155]). Однако всякие такие предположения относительно границы области всегда являются ограничениями, посторонними понятию грубости динамической системы. Ограничения на возможные границы должны вытекать из определения грубости. Кроме того, по смыслу понятия грубости из грубости системы в некоторой области С должна вытекать — непосредственно из определения — грубость системы в произвольной замкнутой области Со, содержащейся в О. Поэтому все указанные определения грубости (с условиями на границе) не полностью отражают смысл понятия грубости системы, а его отражает более сложное по форме определение I. Отметим, что из определения I непосредственно вытекает, что система (А) — грубая в некоторой области С — груба во всякой области " =( . Определение Г фактически используется также при рассмотрении негрубых систем, когда область, в которой рассматривается негрубая система, естественным образом разделяется на части, в которых система является грубой, и части, в которых система содержит негрубые элементы. [c.153]

Это — криволинейный интеграл от полного дифференциала следовательно, если внутри области, охватываемой кривой N, вдоль которой производится интегрирование, соответствующие подинтеграль-ные функции и их производные непрерывны, то интеграл равен нулю. Отсюда сразу и строго получается наще первое утверждение о том, что индекс замкнутой кривой N, внутри которой нет особых точек, равен нулю ), так как при наших предположениях о правых частях системы (5.1) непрерывность подинтегральных функций и их производных может нарушаться лишь в тех точках, где одновременно Р(х,у) = 0, Q x,y) = 0. [c.342]

Итак, индекс замкнутой кривой, внутри которой нет особых точ равен нулю. Геометрически этот факт очевид (рис. 2.16). При однократном обходе з контура вектор вернется в исходное положе не сделав ни одного оборота. [c.62]

Если существует замкнутая область R, не содержащая особых точек и такая, что в каждой точке ее границы вектор поля F направлен внутрь области, то в такой области имеется по крайней мере одна циклическая траектория. (Предполагается, что граница области состоит из кривых с непрерывно изменяющимся наклоном касательной, за исключением конечного числа угловых точек.) В самом деле, любая положительная полухарак-теристика, начинающаяся в области R, остается в этой области и при < 0 эта положительная полухарактеристика либо является циклической, либо стремится к предельному циклу. К тому же выводу мы приходим и в том случае, когда во всех точках границы вектор поля JP направлен наружу. Для доказательства достаточно рассмотреть отрицательные полухарактеристики, начинающиеся в точках области R. Из сказанного, разумеется, не следует, что в области R имеется лишь одна циклическая траектория. (Область R не может быть односвязной. Если бы, например, область R состояла из простой замкнутой кривой Г и ограничиваемой ею области, а вектор 1 в каждой точке Г был бы направлен внутрь этой области, то индекс ( 20.1) кривой Г был бы равен единице, так что в области была бы по крайней мере одна особая точка.) [c.392]

Теорема 24 (Пуанкаре). Индекс гладкой простой замкнутой кривой по отноигению к полю своих касательных равен + 1. [c.212]

Пусть С — какая-нибудь простая замкнутая кривая, лежащая в области С. В каждой точке этой кривой иоле, соот-ветствующее динамической системе (1), задает определенный вектор, т. е. индуцирует на этой кривой определенное векторное поле. В дальнейшем, говоря об индексе замкнутой криво11 С, мы всегда будем подразумевать индекс этой кривой по отношению к полю, индуцированному полем г (М), соответствующему рассматриваемо динамической системе. Для такого поля, соответствующего динамической системе, сформулируем лемму 4 в виде следующей теоремы [c.214]

Определение XIII. Индексом (или индексом Пуанкаре) изолированной особой точки О векторного поля i соответствующего динамической системе, или индексом состояния равновесия системы (I), называется индекс любой замкнутой кривой С, содержащей внутри себя точку О, причем такой, что ни внутри С, ни на ней самой нет других особых точек поля V. [c.215]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...