Интеграл Стокса

Используя формулу Стокса, преобразуем этот интеграл по объему пузырька т к интегралу по его поверхности [c.92]

Другой важной в механике теоремой, дающей преобразование линейного интеграла в поверхностный, является теорема Стокса циркуляция вектора по замкнутому контуру I равна потоку вихря вектора через поверхность S, ограниченную данным контуром [c.16]

Теорема Стокса о преобразовании интеграла по замкнутой кривой в поверхностный интеграл (поток ротора сквозь поверхность, охватываемую исследуемой кривой)" [c.16]

Сравнивая формулу Стокса (2.287) для оператора Ламе с (2.345), видим, что для задач теории упругости роль объемного потенциала играет интеграл [c.102]

Применив теорему Томсона к бесконечно малому замкнутому контуру бС и преобразовав интеграл по теореме Стокса, получим [c.31]

Второй интеграл в левой части (70.46) преобразуем по теореме Стокса [c.374]

Заменив вектор скорости на некоторый вектор а, получим известную из векторного анализа формулу Стокса, связывающую интеграл по контуру с интегралом по поверхности, опирающейся на этот контур, [c.55]

Но по смыслу функция ф должна зависеть лишь от выбора контура Г, но не от натянутой на его поверхности 2. Поэтому момент М должен свестись К моменту от некоторых сил, распределенных по контуру Г, следовательно, интеграл по поверхности, определяющий момент JH, должен преобразовываться в контурный интеграл. Чтобы выполнить это преобразование, будем отправляться от формулы Стокса [c.458]

В общем случае циркуляцию скорости вдоль некоторой замкнутой пространственной кривой К можно представить, используя формулу Стокса (выражение криволинейного интеграла через поверхностный), в виде [c.76]

По теореме Стокса интеграл (175.2), распространенный по контуру, можно заменить интегралом (175.3), распространенным по поверхности. [c.171]

Заметим, что согласно формуле Стокса ) интеграл (6) записывается в виде интеграла по поверхности S, ограниченной контуром С [c.123]

Отметим еще следующие термины интеграл Пуанкаре — Картана / и интеграл Пуанкаре /j называются относительными интегральными инвариантами первого порядка. Термин относительный означает, что область интегрирования представляет собой замкнутый контур первый порядок означает что в выражение, стоящее под знаком интеграла, дифференциалы входят линейно. Заметим, что относительный интегральный инвариант первого порядка Д при помощи формулы Стокса может быть представлен в виде абсолютного интегрального инварианта второго порядка [c.138]

Такая сила (система) называется консервативной. С физической точки зрения ясно, что при наличии трения или других диссипативных сил система не может быть консервативной, так как соответствующий этой силе член F-ds будет все время отрицательным, и поэтому интеграл (1.14) не может обратиться в нуль. Согласно теореме Стокса условие консервативности сил [условие (1.14)] можно записать в виде [c.14]

Это следует непосредственно из теоремы Стокса. Интеграл (22.5.5) берется по площади одной стороны двусторонней поверхности, движущейся вместе с жидкостью. [c.438]

Теорема (Стокса). Интеграл от ротора винт-функции, взятый по некоторой ограниченной поверхности, равен интегралу от этой винт-функции, вычисленному по замкнутой кривой, ограничивающей данную поверхность. [c.84]

Криволинейный интеграл (4.3) можно записать в декартовых координатах и применить формулу Стокса для выражения криволинейного интеграла через интеграл по площади з, охватываемой кривой [c.56]

П. 6. Преобразование Стокса. Известно, что линейный интеграл (циркуляция) вектора по дуге С [c.847]

Теорема Стокса сводит, таким образом, количественное определение интенсивности вихревой трубки к вычислению циркуляции скорости. Непосредственное измерение поля скоростей специальными приборами не представляет в настоящее время особых трудностей, а суммирование слагаемых, входящих в интеграл (25), определяющий циркуляцию, является операцией, несравнимо более точной, чем дифференцирование распределения скоростей, требуемое для вычисления значений вихря скорости, и последующее суммирование, связанное с определением потока вихря. Вместе с тем понятие циркуляции является и более наглядным с физической стороны. [c.44]

Иное получится, если в безвихревом движении имеется изолированная вихревая трубка (рис. 52). Производя в этом случае интегрирование по контуру С, вновь получим равенство (7) но другой результат будет иметь место, если вместо контура С взять контур С , охватывающий вихревую трубку. Интеграл, стоящий в правой части равенства (7), вычисленный по замкнутому контуру (С -Ь С[) (замыкание показано на рисунке пунктиром), как это следует из теоремы Стокса ( 6), будет равен интенсивности вихревой трубки [c.161]

В соответствии с теоремой Стокса преобразуем интеграл по по-верхности в интеграл по контуру [c.146]

Выберем теперь замкнутый контур, т.е. предположим, что точка М совпадает в (1.19) с точкой Mq. Тогда интеграл в (1.19) должен для односвязной области обратиться в ноль. Применим к нему теорему Стокса о роторе [84] [c.11]

Используя теорему Стокса, преобразуем этот интеграл в контурный [c.175]

Полученные выше формулы для предельных граничных значений производных потенциалов включают сингулярные интегралы, вычисление которых сопряжено с определенными вычислительными трудностями. Значительных упрощений можно добиться с помощью выражения сингулярных интегралов через регулярные. Такие выражения, а также соответствующие формулы для предельных граничных значений потенциалов и их производных будем называть формулами регулярного представления [130]. Примером такой формулы служит формула (4.21), которая, в отличие от (4.26), не содержит сингулярного интеграла. Для регулярного представления в ней использована формула типа Гаусса. Другой подход для построения формул регулярного представления состоит в использовании теоремы Стокса. При этом требуется представить ядра потенциалов в виде, допускающем применение этой теоремы (для случая изотропной среды см. по этому поводу [84, 171]). [c.58]

Следовательно, в этом случае вихревая (удвоенная угловая) скорость не представляет постоянную величину, а изменяется вместе с д и л Но во всяком случае мы можем и здесь применить теорему Стокса, Тогда для криволинейного интеграла по замкнутой кривой, ограничивающей в плоскости осевого сечения участок площади любой формы, мы получим выражение [c.119]

В теории кратных интегралов доказывается теорема Стокса о преобразовании криволинейного интеграла, взятого по замкнутой кривой (Г), в двойной интеграл, распространенный на поверхность (2), проходящую через кривую [c.40]

Легко видеть, что последние два уравнения принадлежат рекуррентной системе интегральных уравнений для функций /< > в теории Гильберта — Энскога ). Следовательно, на расстояниях, много больших к, т. е. при x — 0 Xj<), решение уравнения Больцмана стремится к решению Гильберта, и если ограничиться двумя членами ряда (5.3а), то течение может быть описано уравнениями Навье — Стокса (см. 3.8). Вблизи тела, т. е, в L-масштабе, решение уравнения Больцмана при малых е также упрощается, так как сводится к решению рекуррентной системы дифференциальных уравнений (5.3а). Однако в промежуточной области, т. е. на расстояниях порядка от тела, течение описывается интегро-дифференциальными уравнениями (уравнением Больцмана для и линейными уравне- [c.385]

Уравнение (11.9) показывает, что при go = 0 решение задачи с граничными условиями можно выразить через интеграл, включающий G(x — х, I, I ) для X OR. Поэтому если для любой точки х, x dR, значение х — х велико по сравнению со средней длиной свободного пробега (т. е. если точка х удалена от границы на расстояние в несколько средних длин свободного пробега), то решение зависит от координат и скорости так же, как и Ga. В частности, заключаем, что все решения будут удовлетворять соотношениям Навье — Стокса — Фурье на расстояниях от границы в несколько длин свободного пробега, причем коэффициенты вязкости и теплопроводности даются формулами (7.66) и (7.67), [c.249]

Согласно теореме Стокса (4) 32 мы можем заменить криволинейный интеграл, распространенный по замкнутой кривой, через поверхностный интеграл, распространенный по произвольной поверхности, которая ограничена этой замкнутой кривой. Таким образом при небольших изменениях обозначений мы имеем [c.264]

Для замкнутого контура можно применить формулу Стокса, преобразующую интеграл по контуру в интеграл по поверхности, натянутой на этот контур [c.221]

Докажем теорему вначале для двухсвязной области. Для этого соединим внешний L и внутренний I контуры перемычкой , как показано на рис. 2.19, б. Точки Л и Л, В и S расположим достаточно близко одна к другой. Сложный контур ALA В 1ВА ограничивает односвязную область и к нему применима теорема Стокса, доказанная в п. А. Следовательно, Yala i-чва 2/, где J — суммарная интенсивность ви.чрей, проинзывающих, область а. Разбивая криволинейный интеграл, которым выражается циркуляция, на интегралы по отдельным участкам, получаем [c.49]

Стильтьеса интеграл — Вычисление 192 Стирлинга формула 136, 303, 304 Стокса теорема 233 [c.586]

Д.— Б, 3. ярко проявляется при рассеянии заряж. частицы на бесконечно длинном соленоиде радиуса Д (расположенного перпендикулярно движению частицы), внутри к-рого имеется магн. поток Ф и к-рый окружён непроницаемым для частиц цилиндрич. экраном радиуса Rg>R. В этом случае волновая ф-ция частицы целиком сосредоточена в области, где магн. поле отсутствует и только векторный потенциал А отличен от нуля в силу Стокса теоремы АсИ Ф (интеграл берётся по контуру L, охватывающему соленоид). Поэтому, хотя сила Лоренца на заряж. частицу не действует, амплитуда расходящейся цилиндрич. волны оказывается зависящей от потока магн. поля. Она содержит два члена, один из к-рых, описывающий рассеяние на экранирующей поверхности, исчезает в пределе Ло О Второй член, не зависящий от Ло, [c.7]

Большое разнообразие встречающихся в физике Н, у. м. ф. затрудняет развитие общих матем. методов их исследования. Лишь для сравнительно немногих Н. у. м. ф. доказаны теоремы существования и единственности, к таким относятся ур-ния Янга — Миллса, ур-ния Навье — Стокса в двумерном случае, ур-ния газовой динамики. Для ур-ний Навье — Стокса в трёхмерном случае теорема единственности решения задачи Коши до сих пор не доказана. Затруднена даже проблема классификации Н. у. м. ф. Часть их попадает под классич. разделение на эллиптич., гиперболич. и параболич. ур-ния, но значит, число важных Н. у. м. ф. (среди них Кортевега — де Фриса ур-ыие, Кадомцева — Петвиашвили ур-ние) не могут быть отнесены ни к одному из этих типов. Нек-рую классификацию Н. у. м. ф. можно осуществить на основе физ. соображений. Прежде всего это разделение на стационарные и ЭВО.ТЮЦ. ур-ния. Большинство стационарных ур-ний относится к эллиптич. типу. Среди эволюц. ур-ний, явно содержащих производные по времени, можно выделить консервативные Н. у. м. ф., сохраняющие интеграл энергии, и диссипативные Н. у. м. ф., описывающие открытые системы , обменивающиеся энергией с внешним миром . Одним из интересных достижений теории Н. у. м. ф. было обнаружение того факта, что консервативные Н. у. м. ф., как правило, являются гамильтоновыми системами, хотя явное введение кано-иич. переменных зачастую оказывается трудной задачей. Установлена гамильтонова природа большинства консервативных обобщений ур-ний Эйлера и даже системы ур-ний Власова, описывающих плазму без столкновений. Для гамильтоновых систем, близких к линейным, развиты методы теории возмущений, позволяющие учитывать нелинейные эффекты и производить статистич. описание решений. Все перечисленные выше универсальные Н. у. м. ф., за исключением Бюргерса ур-ния и Хохлова — Заболотской ур-ния, являются гамильтоновыми. [c.315]

СТОКСА ТЕОРЁМА — обобщение Стокса формулы, утверждение о равенстве интеграла от внеш. дифференциала d i) дифференциальной формы по ориентированному компактному многообразию М интегралу от самой формы по ориентированному (согласованно с ориентацией многообразия М) краю дМ многообразия М . [c.691]

Широко известными частными случаями ( ) являются Гаусса — Остроградероео формула, Грина формулы. СТОКСА ФОРМУЛА одна яз осн. интегральных теорем векторного анализа, связывающая поверхностный интеграл с криволинейным [c.691]

Как известно, уравнения переноса количества движения и энергии в современной молекулярно-кинетической теории выводят, исходя из решений так называемого интегро-дифференциального уравнения Больцмана. Решение уравнения Больцмана в первом приближении, т. е. когда можно пренебречь градиентами скоростей и температур по средней длине свободного пути молекул, приводит к уравнениям движения газа в форме Навье — Стокса. Второе приближение, найденное Барнетом по методу Энского—Чепмена, вводит в систему уравнений движения и теплового потока принципиально новые члены, которые существенным образом меняют законы дисперсии акустических волн. В этом случае в какой-то степени уже учитывается изменение градиентов скоростей и темпёратур на средней длине свободного пути молекул. Существует решение уравнения Больцмана и в третьем приближении. Оно 54 [c.54]

Вычислим теперь конгурный интеграл (циркуляцию) ектора т взятый вдоль всей срединной линии, преобразуя гыражениеего (см. начало 69) но теореме Римана-Стокса [c.403]

Когда плотность газа становится достаточно низкой, так что средняя длина свободного пробега больше ие является- пренебрежимо малой по сравнению с характерным размером течения, результаты, полученные методами механики сплошной среды, требуют поправок, которые становятся все более и более значительными по мере увеличения степени разреженности. Если разреженность достаточно велика, то вместо механики сплошной среды необходимо пользоваться кинетической теорией газов, а вместо уравнений Навье — Стокса — уравнением Больцмана. Последнее представляет собой весьма сложное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, решение которого для практических задач осуш ествимо, по-видимому, только при помощи соответствующих приближенных математических методов. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...