Вигнера функция координаты, Вигнера функци

Так как свойства функции Вигнера аналогичны свойствам классической функции кл(1, р), кажется разумным интерпретировать функцию Вигнера как совместную квантовую функцию распределения координат и импульса. Такая интерпретация является, однако, ошибочной, поскольку в квантовой механике координаты и импульс не могут одновременно иметь определенных значений. В математическом отношении это проявляется в том, что функция Вигнера не удовлетворяет всем необходимым условиям для функции распределения. Хотя / (г,р) является действительной функцией ), она может принимать отрицательные значения. Тем не менее, связь между функцией Вигнера и классической функцией распределения существует и может быть найдена путем усреднения / (г,р) по фазовой ячейке Аг Ар, объем которой велик по сравнению с (27r/i) . Операция усреднения разрушает квантовую интерференцию состояний и можно показать [71], что для Аг Ар > (27r/i) [c.30]

Итак, интегрирование функции Вигнера по координате приводит к распределению по импульсам. [c.94]

На рис. 4.5 показана функция Вигнера, а также соответствующие распределения для координаты и импульса, полученные интегрированием функции Вигнера по импульсам и координатам, соответственно. Функция Вигнера осциллирует в области, ограниченной классической траекторией в фазовом пространстве, и поэтому значение интеграла [c.132]

Функция Вигнера состояний координаты и импульса. [c.165]

Функция Вигнера зависит от двух аргументов, которые соответствуют координатам и импульсу частицы. [c.29]

Функции распределения координат и импульса (т. е. диагональные элементы матрицы плотности) получаются интегрированием функции Вигнера [c.29]

И выполняя с помощью плоских волп (1.2.37) преобразование Фурье по отношению к относительным координатам х . В результате мы приходим к Д/ -частичной функции Вигнера, которая является естественным обобщением функции (1.2.29) [c.32]

Мы рассматриваем квантово-механическое движение частицы с массой М. Для простоты ограничимся одномерным движением, которое описывается операторами координаты и импульса жир соответственно. В силу коммутационного соотношения = Ш между х и р невозможно определить истинное распределение в фазовом пространстве. Можно определить функцию, зависяш,ую от собственных значений X и р, однако у такого распределения есть недостатки. В частности, оно может принимать отрицательные значения. Мы покажем ниже, что центральное понятие интерференции амплитуд вероятностей отражается в этих отрицательных частях функции Вигнера. [c.91]

Предельные распределения. Проинтегрируем функцию Вигнера по переменной р или по переменной х и покажем, что таким образом получается распределение вероятностей координаты или импульса, соответственно. Начнём анализ с интегрирования по р. [c.93]

Отсюда, функция Вигнера обладает тем свойством, что при интегрировании по переменной импульса получается распределение вероятностей У/ х) для координат. [c.93]

Таким образом, кинетическая часть Т включает только первую производную по координате. Напротив, член Ы, отвечаюш,ий потенциальной энергии, в зависимости от вида потенциала II(х), может включать производные функции Вигнера по импульсу более высоких порядков. [c.98]

Возможно ли, что временная эволюция квантовых состояний всё ещё управляется классической механикой даже при условии Н О Действительно, если рассматривается эволюция в потенциале, содержащем только слагаемые не выше второго порядка по координате, классическое уравнение Лиувилля тождественно квантово-механиче-скому уравнению движения для функции Вигнера. В этом случае каждая точка в фазовом пространстве функции Вигнера движется в соответствии с классическими уравнениями движения. Квантовомеханические свойства системы спрятаны в начальном условии. В то время как в классической механике допускается любая нормируемая неотрицательная функция распределения, в квантовой механике это уже не так. Класс функций, которые могут представлять квантовое состояние системы, определяется законами квантовой механики. [c.99]

В области фазового пространства, заключённой внутри классической орбиты, видны характерные осцилляции. Кроме того, имеется очень заметный максимум в начале координат фазового пространства. Снаружи траектории функция Вигнера затухает, что обеспечивает условие нормировки. [c.103]

Если рассмотреть зависимость функции Вигнера от импульса при фиксированной координате, предыдуш,ее уравнение примет вид обыкновенного дифференциального уравнения бесконечного порядка [c.105]

Следовательно, функция Вигнера т-го собственного энергетического состояния в начале координат фазового пространства меняет знак в зависимости от чётности или нечётности квантового числа, как показано на рис. 4.4. [c.131]

Рис. 4.5. Функция Вигнера фоковского состояния т = 4) и соответствующие распределения по координатам и импульсам. Так как состояния с данным числом заполнения являются собственными состояниями гармонического осциллятора, функция Вигнера, как и распределения по координатам и импульсам, стационарны. Эти распределения получаются путём интегрирования функции Вигнера вдоль осей импульсов и координат, соответственно. Из-за осцилляций функции Вигнера вторичные распределения также осциллируют

Однако в данном разделе мы используем другой подход. Сначала мы найдём функцию Вигнера когерентного состояния в момент времени t = О, а затем получим эту функцию для более поздних моментов времени, решая обсуждавшееся в гл. 3 уравнение Лиувилля для функции Вигнера. После интегрирования получившегося результата по координатам или импульсам, мы получим зависящее от времени импульсное или координатное распределения. [c.144]

На рис. 4.10 показана функция Вигнера (4.26) и соответствующие распределения по координате и импульсу (4.22) и (4.27) как функции времени. Функция Вигнера показана только для момента времени t = О, в то время как результат её интегрирования по одной из [c.145]

Эволюцию во времени этой функции Вигнера мы найдём, заменив начальные координаты xq и импульсы ро классическими траекториями [c.163]

Рис. 4.19. Эволюция во времени сжатого состояния с а = 2 и параметром сжатия 8 = 4. Функция Вигнера представляет собой асимметричную сжатую гауссовскую функцию, которая движется по окружности в фазовом пространстве. Мы показали только начальную функцию Вигнера и указали направление вращения. В процессе эволюции во времени маргинальные распределения, имеющие форму гауссовских функций, совершают гармоническое колебание. В противоположность случаю когерентного состояния, ширины теперь осциллируют во времени большой ширине по импульсу соответствует малая ширина по координате, и наоборот. Получается дышащий волновой пакет

Итак, функция Вигнера собственного состояния координаты хо) есть дельта-функция в точке х = хо. Заметим, что переменная импульса вообще не вошла в ответ. Поэтому функция Вигнера является бесконечно тонкой и бесконечно высокой стенкой, средняя линия которой расположена параллельно оси импульсов, как это показано на эис. 4.20, а. Такое представление функции Вигнера собственного состояния координаты подтверждает наивную картину такого состояния координата точно определена, но полностью отсутствует информация об импульсе. [c.166]

Рис. 4.20. Функции Вигнера а) собственного состояния координаты жо) и б) собственного состояния импульса ро) представляют собой бесконечно тонкие и бесконечно высокие стенки, расположенные параллельно осям импульса

Томографические срезы функции Вигнера. Можно ли реконструировать квантовое состояние, представленное, например, функцией Вигнера, если использовать различные распределения вероятностей Очевидно, что только распределений по координате и импульсу недостаточно. Что можно сказать о распределениях по квадратурным переменным [c.171]

В гл. 3 мы ввели функцию Вигнера как наглядное изображение квантового состояния. Мы также показали, что это распределение реализуется в фазовом пространстве, образованном фазовыми переменными координатой и импульсом. В случае электромагнитного поля такими переменными служат напряжённости электрического и магнитного полей. Функция Вигнера, однако, не является единственным распределением в фазовом пространстве. Существует бесконечно много функций распределения. В данном разделе мы вводим так называемую ( -функцию, которая обладает тем замечательным свойством, что она всюду в фазовом пространстве положительна. Мы сначала определяем ( -функцию и иллюстрируем её на различных примерах. [c.365]

В данном разделе мы ограничимся рассмотрением исключительно атомного движения. Нас будет интересовать распределение атомов в фазовом пространстве, образованном поперечной координатой х и импульсом р. В качестве основного инструмента исследования будет выступать функция Вигнера. [c.644]

Моментальные снимки функции Вигнера. На рис. 20.2 изображены линии уровня исходного гауссовского сигарообразного волнового пакета (20.22), расположенного около начала координат [c.649]

Последующая свободная эволюция, которая описывается формулой (20.26), изображена на рис. 20.2 для трёх фиксированных значений времени, т. е. для трёх фиксированных значений координаты вне области взаимодействия с полем. Заметим, что ширина функции Вигнера по пространственной переменной х сначала уменьшается, а затем возрастает, достигая своего минимального значения в тот момент, когда сигарообразное распределение пересекает линию х = Xf. Таково физическое происхождение пространственной фокусировки атомов. [c.649]

До сих пор мы рассматривали движение атома в потенциале 17 , который определяется п-м фоковским состоянием поля. Если состояние поля представляет собой суперпозицию фоковских состояний, функция Вигнера атомного движения х,р-,г) является некогерентной суммой (20.9) функций Вигнера Wn(x,p t), взвешенных с функцией распределения числа фотонов ъип . На рис. 20.3 изображена функция Вигнера VK(ж,p t) на выходе резонатора, а на рис. 20.4 показаны горизонтали этой функции Вигнера в различные моменты времени t, т. е. для различных координат [c.649]

Если спин-орбитальное взаимодействие не настолько мало, чтобы им можно было пренебречь, то удобнее пользоваться спиновыми функциями в координатах, фиксированных относительно молекулы. Такие спиновые функции преобразуются операциями симметрии и должны принадлежать к одному из типов симметрии точечной группы молекулы. Чтобы определить тип спиновой функции, сначала рассмотрим свойства симметрии спиновых функций свободного атома (точечная группа К )- Вигнер [44] нашел, что при целочисленном спине (т. е. при четном числе электронов) спиновая функция принадлежит к одному из четных типов группы ЛСд, а именно Dog, Dig, Dzg, в соответствии со значениями 6 = О, 1, 2,. . . (табл. 55 приложения I). Например, при 6 == 1 получается трижды вырожденный тип Dig (соответствующий типу орбиты Pg). Набор из трех спиновых функций будет [c.22]

Ее интегралы по всем координатам и по всем импульсам дают, соответственно, диагональные элементы матрицы плотности в координатном и импульсном представлениях. Как и в случае одной частицы, рассмотренном выше, переход к классической статистике можно обосновать путем интегрирования Д/ -частичной функции Вигнера по фазовым ячейкам, объем которых значительно превосходит 2тгН) . [c.32]

Функция ff (kiPi,. . ., kgp ) — это просто фурье-образ функции fY (qiPi, м qsPs) переменным qi,. . ., q , т. e. no координатам. Чтобы не загромождать обозначения, мы не вводим специального символа для фурье-образа различие определяется видом аргументов. Необходимо отметить следующее важное соотношение между аргументами к , p функции Вигнера, с одной [c.112]

Так же, как и в классической механике, пространственно однородная система определяется требованием трансляционной инвариантности вигнеровских функций [см. формулу (3.5.1)]. Если, однако, использовать представление Фурье, то это свойство будет выражаться немного иначе. Из соотношения (3.6.15) видно, что добавление ко всем координатам q произвольного вектора а, вообще говоря, приводит к изменению функции fV (ч> P)i не изм1внявтся лишь вклад, обусловленный теми значениями к, сумма KOfopHX равна нулю. Следовательно, в вигнеров-хкую функцию, описывающую однородную систему, могут давать вклад только фзфье-компоненты с волновыми векторами, дающими в сз мме нуль [c.119]

Вигнер вводит группу операций Ря, которые преобразуют функции, в отличие от группы операций R, которые преобразуют значения координат ядер и значения функций от них. Группы Ps) и У являются изоморфными. Мы выбрали определен ие операций перестановки ядер как переставляющих ядра и преобразующих функции согласно (1.18). [c.95]

Возник интересный вопрос почему квантовомеханический процесс может описываться классическим уравнением Фоккера— Планка Это ведет к дальнейшему развитию принципа соответствия, который позволяет нам установить связь между квантовомеханическим описанием и классической формулировкой, не теряя квантовомеханической информации. Такая формулировка теории была предложена Вигнером (1932 г.), который рассмотрел квантовые системы, описываемые операторами координаты и импульса. Следующий важный шаг сделали Глаубер и Судершан (1963 г.), которые ввели операторы бозе-поля. В частности, тщательное исследование Глаубером квантовых корреляционных функций дало общую основу для описания когерентных свойств света. Но, конечно, будучи общей, она не позволяла сделать какие-либо предсказания о когерентных свойствах лазерного света. Поэтому и потребовалось разработать квантовую теорию лазера (см. разд. 1.2.3). В последней нельзя было обойтись без включения в рассмотрение атомной системы, а для этого понадобилось весьма расширить принцип соответствия. Задача была решена Гордоном (1967 г.) и Хаке- [c.30]

Действительно, матричный элемент х" р динатных переменных. Совершаем фурье-преобразование по одной из них, и в результате имеем снова две переменные фурье-переменную скачка, которую мы называем р, и центральную точку скачка х. Обе величины являются с-числами, а не операторами. Поэтому функция Вигнера зависит от двух классических переменных х и р. Однако пока ещё не вполне очевидно, что эти переменные соответствуют координате и импульсу, образующим то фазовое пространство, в котором задана функция Вигнера. Мы докажем это в следующем разделе. [c.92]

Рис. 3.4. Экспериментально восстановленная функция Вигнера состояния, близкого к фоковскому состоянию п = 1). Чёрный контур отвечает значению W ) = 0. Отрицательные значения в окрестности начала координат выявляют неклассический характер этого состояния. Взято из работы Leibfried et al.,

Переход от положительных к отрицательным значениям функции Вигнера в начале координат при переходе от одного т к другому имеет важное следствие. Последним волновым фронтом всегда является волновой горб, то есть функция Вигнера здесь всегда положительна. Этот последний горб находится в окрестности квантованной траектории в базовом поостоанстве [c.131]

Рис. 4.11. Запись шумов (слева), квадратурные распределения Р х ) = = W X ) и реконструированные функции Вигнера (справа) для различных генерируемых квантовых состояний. Сверху вниз когерентное состояние, сжатое по фазе состояние, повёрнутое ф = 48°) сжатое состояние, сжатое по амплитуде состояние, сжатое вакуумное состояние. Для четырёх верхних состояний запись шумов как функции времени отвечают осцилляции электрических полей в интервале 4тг, в то время как для сжатого вакуума (относящегося к другому набору измерений) показан интервал Зтг. Квадратурные распределения (в центре) можно интерпретировать как эволюцию во времени волновых пакетов (плотностей вероятности координат) за период одного колебания. Для эеконструкции квантовых состояний достаточно интервала тг. Взято из работы

В этом разделе мы вычислим функцию Вигнера собственных состояний либо координаты х) либо импульса р). Эти состояния нормированы на -функции, поэтому функции Вигнера таких состояний следует понимать в смысле обобщённых функций. В частности, здесь нарушается правило (3.8), что квадрат функции Вигнера, проинтегрированный по всему фазовому пространству, равен 1/(2тгЙ). [c.165]

Координатная волновая функция повёрнутых квадратурных состояний. Наша цель заключается в том, чтобы получить функцию Вигнера W x ) собственного состояния Х ). Для этого нужна волновая функция Х х Х ) = х Х ) в координатном представлении. Это выражение должно, очевидно, зависеть от переменной координаты X и собственного значения Х , задаюш,его состояние при фиксированном угле Обозначим эту волновую функцию Х х Х ). [c.168]

Динамика как перемеиьивание координат фазового пространства. Рассмотрим эту динамику более подробно. Заметим, что соотношение (17.38) связывает координату х и импульс р функции Вигнера в момент времени t с координатами фазового пространства х ир, входящими в функцию Вигнера при t = 0. Чтобы связать это преобразование [c.540]

После этого оператор сжатия S(r) сжимает получившуюся функцию Вигнера в направлении оси х фазового пространства, поскольку параметр г(г) = 0,719 является веш,ественным. Одновременно центр гауссиана перемеш,ается вдоль гиперболы х р = х hun [2 (г) на расстояние, которое зависит от г. Наконец, третье преобразование R(0) поворачивает эллипс сжатого состояния на угол 0(г) = 2,454 эадиан вокруг начала координат. Это означает, что оси эллипса оказываются повёрнутыми на угол 0(г) по отношению к фиксированной системе координат. Для данного рисунка мы выбрали параметры ловушки а = О, g = 0,4 и реперную частоту ujr = Сс (0). [c.543]

Рис. 20.2. Эволюция атомной функции Вигнера внутри и вне светового поля, находящегося в фоковском состояния с п = 2. В области поля первоначальный гауссовский сигарообразный волновой пакет, узкий по импульсной переменной, но широкий по координате, поворачивается в результате эволюции в параболическом потенциале. Вне светового поля импульс атома сохраняется, что приводит к сдвиговому деформированию функции распределения. Ширина заспределения по пространственной переменной минимальна, когда сигарообразное распределение принимает вертикальное положение, что соответствует

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...