Функция напряжений сосредоточенной силы

Наиболее просто решается вопрос в том случае, когда особенность решения обусловлена структурой краевых условий (например, когда какая-либо линия является линией разрыва краевых условий в напряжениях или когда приложена сосредоточенная сила или сосредоточенный момент). В этом случае особенность в решении возникает, даже если само уравнение граничной поверхности будет бесконечно дифференцируемой функцией. Приведем менее тривиальный пример. Допустим, что в плоском случае в окрестности неко орой точки граничный контур представим в виде двух дуг, пересекающихся под прямым углом. На одной стороне задано постоянное касательное напряжение, на другой оно тождественно равно нулю. Краевые условия здесь подобраны так, чтобы в угловой точке нарушался закон парности касательных напряжений. Естественно, что предположения, при которых закон парности выводился (имеется в виду дифференцируемость напряжений, о чем см. 1 гл. II), здесь не выполняются, что и приводит к неограниченности производных от смещений. [c.305]

Для этого нужно в (10.9.1) заменить координату х па X — I, т. е. получить решение для сосредоточенной силы, приложенной в точке ж—Далее, эта сила Р полагается равной 9( )t и производится интегрирование по Хотя мы и отправлялись от решения для сосредоточенной силы, получаюш иеся в результате формулы (10.8.9) содержат сходящиеся интегралы и напряжения оказываются конечными, если функция q(%) ограничена. [c.351]

Для случая сосредоточенной силы возьмем первое из решений (203). Если опустить индексы, то функция напряжений принимает вид [c.393]

Известно, что в однородной полуплоскости при ВОЗ действии сосредоточенной силы возникает радиальное распределение напряжений [138]. Исследования, выполненные в [73] и [131], показали, что существует целый ряд функций г1з(г), при которых это имеет место и в неоднородной полуплоскости (клине). [c.132]

Выше мы рассмотрели решение двух задач об изгибе тонкой полосы (балки) прямоугольного поперечного сечения. Для расчета консоли, нагруженной на конце сосредоточенной силой, оказалась подходящей функция напряжений в виде полинома четвертой степени, для свободно опертой по концам балки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки,— полином пятой степени. [c.368]

Единицу измерения для длин обозначим через = И = [ ], а для сосредоточенной силы—через 2 = [ ]- Распределенная нагрузка p = Pjb имеет размерность [о =QL , а величины 0, а, Р — безразмерные, то есть [0] = [о ]= р] = 1- Так как напряжения Of, q, т 9 имеют размерность силы, деленной на площадь l o = QL ), то из формул (18.21) следует, что функция ф имеет размерность силы [c.383]

Действительно, напряженное состояние, создаваемое единичной силой, сосредоточенной не в начале координат, а в точке X =3 I, определяется по (3.2.6) функцией напряжений [c.518]

В рассматриваемой здесь задаче разыскивается напряженное состояние в упругой полуплоскости г/ > О, в точке гт]о которой приложена сосредоточенная сила X- iY, тогда как граница г/ = О свободна от нагружения. Называя через U функцию напряжений этой задачи, полагаем [c.529]

Первое слагаемое правой части, под которым подразумевается аналитическая часть функции г(5 (S), будет в малой окрестности точки S = So давать напряженное состояние, отвечающее случаю, когда область G свободна от внешних поверхностных сил. Три последних слагаемых соответствуют загру-жению оболочки в точке S = So сосредоточенной силой и моментом. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся интегральными уравнениями равновесия (16.26.8) и подсчитаем с их помощью R , Ry, R , Q , Q , Q , положив [c.236]

Пусть к замкнутой сферической оболочке в точках С = О и С = Со и только в них приложены сосредоточенные силы и моменты. Примем пока, что So оо. и будем искать соответствующую комплексную функцию напряжений г 5 (С). Эта функция должна быть аналитической во всей плоскости Z, за исключением точек = Ои = Со-В общем случае функция (С) имеет полюс третьего порядка при а функция (S) имеет полюс третьего [c.237]

Не Представляет труда обобщить полученный результат на случай, когда оболочка загружена сосредоточенными силами и моментами в п + 1 точках S = Ср (Sp = оо, р = 1, 2,. . ., п) и S = 0. Комплексная функция напряжений, соответствующая этому случаю, имеет вид [c.237]

Формула (16.27.2) составлена в предположении, что в верхнем полюсе географической системы координат, т. е. в точке S = О, оболочка, вообще говоря, будет испытывать действие силы и момента. Однако (16.27.2) остается в силе и в случае, когда точка S = О не загружена. Для этого надо только выбирать силы и моменты, приложенные в точках = р, так, чтобы они были в совокупности уравновешены. При этом в точке S = О сосредоточенные силы и моменты будут отсутствовать. Более существенно принятое выше предположение, что ни одна из точек приложения сосредоточенных сил и моментов не совпадает с нижним полюсом географической системы координат ( р = оо). Поэтому задачу о построении комплексной функции напряжения для случая, когда сосредоточенная нагрузка действует в точке = оо, надо рассмотреть отдельно. [c.237]

В (13.4.5) под 1]5 (Q надо подразумевать комплексную функцию напряжений, соответствующую действию на оболочку заданной системы сосредоточенных сил и моментов ( 16.26, 16.27). Задача, таким образом, сводится к такому подбору аналитической функции Н ( ), при котором будет на всей плоскости S однозначной функцией точек срединной поверхности. [c.238]

Пусть срединная поверхность задается одним из трех векторных уравнений (13.6.2). Тогда решение однородных статических безмоментных уравнений, как было показано в 13.6, выражается через аналитическую функцию г(5 (S). Точкам полного эллипсоида, двухполостного гиперболоида или эллиптического параболоида соответствует вся плоскость комплексного переменного Полюсы комплексной функции напряжения имеют такой же смысл, что и для сферы в точке = So (So отлично от нуля и бесконечности) полюс не выше третьего порядка соответствует сосредоточенным силам и моментам, а полюсы выше третьего порядка дают сосредоточенные воздействия более сложной структуры в точках S = О и S такой же смысл имеют полюсы функций (S) и (S) соответственно. Интенсивность и направление силы и момента, входящих в состав сосредоточенного силового воздействия, можно определить с помощью комплексных интегральных уравнений равновесия. Для оболочек второго порядка они выводятся так же, как для сферы, при помощи равенств (16.26.1), (16.26.2). Опуская подробности, приведем эти уравнения [c.242]

Таким образом, для оболочек второго порядка полностью сохраняется описанный в 16.27 метод подбора комплексной функции напряжений (О, соответствующей действию на оболочку произвольной системы сосредоточенных сил и моментов. Формула (16.27.2) остается в силе, но в ней при определении констант pj надо вместо (16.26.8) пользоваться формулами (16.29.1), [c.243]

Заканчивая главу о сосредоточенных воздействиях, обсудим, в какой мере полученные результаты можно считать правильными, если учесть, что они получены по безмоментной теории. Физически ясно, что вблизи точки приложения сосредоточенной нагрузки соответствующее напряженно-деформированное состояние имеет большую изменяемость (и расчет по безмоментной теории не вызывает доверия), но при удалении от этой точки изменяемость делается малой (и можно надеяться, что безмоментная теория станет достаточно точной). Для сферической оболочки это можно подкрепить и математически. Комплексная функция напряжений, соо ветствующая приложению сосредоточенных сил в точке = Со> имеет вид [c.243]

Чтобы комплексная функция напряжения if ( ) соответствовала случаю, когда к оболочке в точке = О и только в ней приложены сосредоточенные сила и момент, положим [c.246]

Таким образом, по форме (Q не отличается от комплексной функции напряжения (16.27.3), решающей задачу о замкнутой оболочке, загруженной сосредоточенными силами и моментами в противоположных полюсах географической системы координат. Поэтому в (17.30.8) константы а , Oq, Д 1 надо определить формулами (16.26.13). Однако из (17.30.8) вытекает, что константы а , Оо, a i должны удовлетворять двум равенствам [c.247]

Q в точке = О зависит от /г, и легко видеть, что при п 2 она не только аналитична, но и имеет нуль по меньшей мере второго порядка. Это значит, что формулами (17.31.9), (17.31.10) определяется комплексная функция напряжения, отвечающая случаю действия на оболочку сосредоточенных сил и моментов, приложенных в точках и только в них. [c.252]

Пусть сосредоточенные силы и моменты приложены к оболочке в точках I, = l,k k = 1, 2,. . ., г). Тогда (S), а вместе с тем и ij) Ц) должны при С = иметь в общем случае полюсы третьего порядка, а это значит, что ф (Q по смыслу совпадает с комплексной функцией напряжений задачи 3 ( 17.30). Это значит, что надо принять [c.253]

Здесь h - толщина пластины, (X , Y ) - сосредоточенные силы, приложенные в точках 2f , потенциалы Фо(г) и Г2о(2) описывают напряженно-де-формированное состояние сплошного тела под действием четырех сосредоточенных сил Р. Комплексные потенциалы Ф1 (z) и должны быть определены из краевых условий (4.7.4), (4.7.5). Для нахождения функций Ф1 (z) и S2i (z) представим краевые условия (4.7.4), (4.7.5) в виде [c.226]

Действие сосредоточенных растягивающих сил на контуры отверстий. Рассмотрим поставленную выше задачу для случая, когда напряжения на бесконечности отсутствуют, а плоскость растягивается двумя сосредоточенными силами Р, приложенными к контурам отверстий и Lg (рис. 43). Берега трещины свободны от нагрузки. Комплексные потенциалы напряжений Ф (г) и (z), согласно выражениям (V.53), ищем в виде (V.121), где функции Фо (z) и о z) определяются соотношениями [c.178]

Функция напряжений для полуплоскости, к краю которой в точке О приложена сосредоточенная сила F, составляющая угол а с внутренней нормалью, получается на основании уравнения (4.171), изменяя соответственно обозначения, в виде [c.347]

Как ВИДИЛ1, в точке приложения силы имеется особенность в перемещениях они, как и напряжения, стремятся к бесконечности. Это, как уже указывалось, является следствием схематизации сосредоточенной силы, приложенной в точке. Если воспользоваться выражениями (4.112) или (4.110), (4.111) как функциями влияния, то по выражению типа (4.108) от распределенной нагрузки, приложенной к краю, получим конечные перемещения. [c.120]

Теперь оказывается возможным перейти к рассмотрению задачи, когда нагружение (осуществляемое лишь нормальными усилиями) не является осесимметричным. Для этого следует обратиться к формулам (1.27), положив в них ст (0) = б(0), т. е. рассмотреть задачу, когда в полюсе приложена сосредоточенная сила. Тогда, просуммировав эти решения по всей сфере, можно получить интегральное представление решения в случае произвольного нагружения нормальными силами (которые можно рассматривать как своего рода функцию Грина). Поскольку же задача внутренняя, то подобный прием нуждается в корректировке. Дело в том, что в этом случае нагружение оказывается неуравновешенным и формально полученное решение становится лишенным смысла. Необходимо приложить какую-либо компенсирующую нагрузку (которая на заключительном этапе построения решения автоматически устраняется из-за условия самоурав-новешенности внешних сил). Можно приложить, например, в центре компенсирующую сосредоточенную силу. Правда, тогда решение будет иметь особенность в начале координат, но она уничтожается при суммировании. В уже упомянутой работе [7] предложен иной путь компенсирующая нагрузка представляется в виде суммы массовых сил, равномерно распределенных по объему и направленных по оси г, и некоторого решения, компенсирующего касательные напряжения. Тогда решение [c.340]

Подставляя в уравнение для функции напряжений (10.6.8), мы получим дифференциальное уравнение четвертого порядка для функций / , одинаковое как для решения Рибьера, так и для решения Файлона. Каждая из функций / будет зависеть от четырех констант. Представляя заданные при Х2 = 6 нагрузки или перемещения формально рядами по косинусам или синусам аргумента, кратного nxjl, мы находим эти константы таким образом, граничные условия на длинных сторонах оказываются удовлетворенными. Подчеркнем еще то, как это уже делалось неоднократно, что ряды Фурье для заданных величин нагрузок вовсе не обязательно должны быть сходящимися, нагрузки могут быть разрывными и даже содержать дельта-функции и.чи производные от них (сосредоточенные силы и моменты). [c.355]

ОНО имеет в точках, определяемых координатами T = th = Когда эллипс очень узок, эти значения весьма велики и точки, в которых они действуют, близки к концам большой оси. Имеются решения для эллиптического отверстия в пластинке, находящейся под действием чистого изгиба в своей плоскостии параболического распределения касательных усилий, которое возникает в тонкой балке прямоугольного сечения ), для эллиптического отверстия с равными и противоположными по знаку сосредоточенными силами, приложенными по концам малой оси ), а также для жесткого и упругого включений, заполняющих отверстие в растянутой пластинке ). Рассматривались и более общие виды решений в форме рядов для действительной функции напряжений ф в эллиптических координатах ). Эквивалентные им комплексные потенциалы можно построить из функций, использованных или упомянутых здесь вместе с аналогом простых функций, приведенных в задачах на стр. 197, если необходимо учесть влияние дислокаций, а также сосредоточенных сил и моментов. Решение для общего случая нагружения эллиптического отверстия дается позже в 67—72. [c.204]

Термоупругое перемещение в любой точке можно найти, если мырасполагаем решением вспомогательной задачи для напряжений, вызванных сосредоточенной силой, приложенной в этой точке. Рис. 230 изображает упругое тело, опертое таким образо 1, что оно обладает определенными перемещениями, и нагруженное в точке А силой Р" , действующей в направлении оси х. Это означает, что точка А рассматривается как центр малой сферической полости так же, как и в задаче из 135. Решение этой вспомогательной задачи дает 0" как функцию положения. Она будет пропорциональна Р , и мы можем записать [c.465]

С помощью функции напряжений (6.18). добамяя в случае необходимости степенные полиномы, можно получить решения для более широкого круга задач, чем с помощью только степенных полиномов. Среди них можно назвать задачу об изгибе балкжтенки, задачу о действии на пластинку нагрузок, распределенных вдоль контура по любому закону (в том числе сосредоточенной силы). [c.65]

Сосредоточенная сила, действующая на кромку изотронной полуплоскости. Сила направлена перпендикулярно к кромке (рис. 1.6.7). Функция напряжения [c.79]

Коэффициент интенсивности напряжений для круговой трещины, поверхность которой нагружена двумя парами сосредоточенных сил, был найден в работе Смита, Кобаяси и Эмери [56]. Задачу нетрудно свести к случаю нагружения поверхностей трещины парой сосредоточенных сил и использовать далее соответствующее решение в качестве функции Грина для задачи об определении коэффициента интенсивности напряжений прп произвольном распределении давления по поверхности трещины. Изменение коэффициента интенсивности напряжений вдоль края круговой трещины радиуса а внутри бесконечного твердого тела, нагруженной произвольно распределенным давлением р г, ср), определяется по формуле [57] [c.42]

Влияние инерционных эфектов впервые было исследовано Л. И. Слепяном [84]. Несмотря на то что Л. И. Слепян имел дело с полной системой уравнений поля, а не с урезанным подмножеством этой системы (2.23), (2.24), тем не менее последняя позволяет достаточно точно воспроизвести основные результаты работы [84]. Заметим прежде всего, что поскольку компоненты напряжений являются в вершине трещины ограниченными и однозначно определенными, то функция Р(г, 0) также должна обладать этими свойствами. Следовательно, существует функция 6(0), такая, что р(г,0)- 6(0) при г- 0. Далее, величина 7(г, 0) пропорциональна скорости частиц, и поскольку при отсутствии сосредоточенных сил скорость частиц ограничена вследствие конечности инерционных сил, то гду/дг 0 при г->0. Если теперь уравнения (2.23), (2.24) переписать в локальной [c.93]

Функция напряжений, нечетная по 0, линейна по г но нечетной бигармоннческой функцией, пропорциональной г, исключая тривиальную г sin 0, является С0г os 0, дающая по (4.1.7) решение задачи об изгибе клина сосредоточенной в его вершине силой. Поэтому в задаче об изгибе моментом функцию напряжений следует принять зависящей только от 0 такой функцией, удовлетворяющей краевым условиям (4.3.1), является [c.538]

В недавних работах [118, 95] одновременно и независимо была решена задача о движении с постоянной скоростью полубесконеч-ного разреза (как в задаче Бейкера) к берегам разреза приложены сосредоточенные силы. Это решение можно использовать в качестве функции Грина в случае произвольных статических нагрузок. Используя характерное свойство коэффициента интенсивности напряжений в полученном решении, удалось обобщить его на случай произвольной непостоянной скорости движения разреза при произвольных внешних нагрузках [118]. [c.114]

Если задан полюс комплексной функции напряжений г) (С), то можно подсчитать интенсивность несамоуравновешенной части соответствующего сосредоточенного воздействия, т. е. найти входящие в него силу и момент, при помощи интегральных уравнений равновесия. В 14.13 они были получены для произвольной оболочки. Перепишем их в виде равенств [c.231]

Эти результаты полностью подтверждают общие рассуждения, приведенные в начале настоящего параграфа. Дополнительно выяснилось, что в сферической оболочке простейшему силовому воздействию — тангециаль-ной сосредоточенной силе — соответствует простейшая особенность комплексной функции напряжения — полюс первого порядка. Учитывая это, назовем тангенциальной сосредоточенной силой такое сосредоточенное воз действие, которое статически эквивалентно этой силе и соответствует наи меньшей из всех возможных особенностей комплексной функции напряжения Можно показать (на чем мы не будем останавливаться), что такое формаль ное определение, во-первых, остается в силе не только для сферической обо лочки, но и для любой оболочки положительной кривизны, и во-вторых оно по смыслу совпадает с обычным представлением о сосредоточенной силе как о пределе, к которому стремится равномерно распределенная нагрузка лри беспредельном уменьшении области ее приложения и беспредельном увеличении ее интенсивности. [c.235]

Она и решает рассматриваемую безмоментную статическую задачу для случая, когда отсутствуют поверхностные силы (в том числе и сосредоточенные). Это значит, что однородная безможНтная статическая задача, соответствующая условию (17.31.2), при п 2 имеет нетривиальное решение, зависящее от 2п — 3 действительных констант Лр, 5 (й == 1, 2,. . . . .., п — 2). Можно показать (на этом мы не будем останавливаться), что при рассматриваемых условиях формула (17.31.6) дает самое общее выражение комплексной функции напряжения и что множители при Л и 5 линейно независимы. [c.251]

Влияние свободных поверхностей учитывают с помощью функций в виде полиномов в сочетании с техникой конформных отображений. При этом комплексная переменная г, соответствующая геометрии трещины, выражается как функция другой комплексной переменной g, соответствующей геометрии единичного круга или полуплоскости в бесконечном теле. Иллюстрация этого метода дана Парисом и Си [7], рассмотревшими действие единственной сосредоточенной силы F, направленной под произвольным углом к поверхности трещины. Для представления полей растягивающих и сдвиговых напряжений у вершины трещины, возникающих благодаря этой силе, ими был использован комплексный коэффициент интенсивности напряжений К = К — iK , и после формального вывода Стц и сГзг из полной комплексной функции напряжений Вестергаарда с использованием переменной т] = (z—вместо действительного расстояния г = (Xi — а) [как в выводе уравнения (115) из (ПО)] они смогли записать [c.75]

В 4,14 было уже показано, что сосредоточенная сила, приложенная в точке, лежащей внутри бесконечной пластинки, вызывает систему напряжений, зависящую от коэффициента Пуассона т]. Это обусловливается необходимостью комбинировать функции напряжений типа rig г os б и /-0sin0 таким образом, чтобы обеспечить однозначность перемещений. Таким образом получается типичное решение вида (4.1481), заключающее в себе коэффициент Пуассона. Каждая из двух функций напряжений г os 6 Ig г и И) sin б в отдельности приводит к перемещениям, содержащим в себе множитель 6. В выражениях для этих перемещений множитель, [c.429]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...