Теоремы интегральные векторного

Теорема об изменении количества движения материальной точки (в интегральной форме). Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток Времени равно векторной сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени [c.173]

Вывод теорем сложения для сферических волновых функций базируется на разложении плоской волны по сферическим волновым функциям и на интегральном представлении последних [50]. Если rq, 0g, фд) и fh, 0к, фй) — две сферические системы координат и положение второй относительно первой задается координатами ее начала Oh Rhq, Qhq, фк ) (полагаем, что оси Xq, Ун, Zh и Xk, Ук, Zk параллельны и одинаково ориентированы), то теоремы сложения для скалярных и векторных функций имеют вид [c.38]

Интегральные характеристики векторных полей 88 Векторная линия (88). Поток вектора через поверхность (89). Теорема Гаусса - Остроградского (89). Модификации теоремы Гаусса - Остроградского (91). Теорема Стокса (92). Модификация теоремы Стокса (92). [c.6]

Интегральные теоремы векторного анализа [c.95]

Теорема. Через каждую точку расширенного фазового пространства дифференцируемого (голоморфного) векторного поля проходит одна и только одна интегральная кривая соответствующего дифференциального уравнения с вещественным (комплексным) временем. [c.19]

Теорема 9. Предположим, что система (1.2) допускает интегральный инвариант (5.7), где т = рт. Тогда векторное поле w/p удовлетворяет уравнению Эйлера. [c.138]

Ввиду (4.8), поле V касается 1а при всех значениях постоянных а. Это же свойство для векторных полей вытекает из соотношения (4.7). Таким образом, к + 1 полей (4.12) касаются к + 1)-мерных интегральных поверхностей (4.13), линейно независимы в каждой точке и попарно коммутируют. После этого интегрируемость в квадратурах системы (4.1) вытекает из теоремы Ли об интегрируемости дифференциальных уравнений с абелевой группой симметрий. [c.211]

Как и В привычном случае векторного анализа в трехмерном евклидовом пространстве, в пространстве Минковского имеют место интегральные теоремы, позволяющие преобразовывать интеграл по замкнутому многообразию т измерений в-интеграл по заключенному в нем многообразию (т+1) измерения. В 4-мерном случае т может, очевидно, принимать значения 3, 2 и 1. Если обозначить временно элемент интегрирования для любого т одним значком df с равным т числом индексов,, то все такие интегральные теоремы можно записать единообразно как [c.172]

Оставляя подробное обсуждение этого обстоятельства до параграфа 19,. скажем пока только, что источник трудностей лежит в том, что хотя связь скалярных полей Ф< (см. 16.6) с А и локальна, само сопоставление векторному полю над некоторым пространством скалярных полей существенно зависит от свойств пространства как целого, что проявляется хотя бы в том, что обратные выражения векторного поля А через Ф< интегральны. В частности, в доказательстве теоремы об обращении в нуль векторного поля, все три инварианта которого суть нули, существенно использовалось то обстоятельство, что после обращения Ф1 в нуль задача о построении ненулевого А с равными нулю Фо и Фг сводится к нахождению нетривиального векторного (двумерного) поля, удовлетворяющего уравнению Лапласа иа всюду ортогональной К поверхности. На сфере таких решений не существует, ио иа касательной к сфере плоскости, которую мы получаем, заменяя поле в волновой зоне плоской волной, такие нетривиальные решения есть. Поэтому, если мы хотим сопоставлять векторному потенциалу инвариантные скалярные поля, то Мы должны (даже в волновой зоне ) учитывать кривизну сферы — волнового фронта излучаемой системой волны — что сводится к учет г возникающих при [c.277]

В данной главе приведены решения скалярных и векторных волновых уравнений для установившихся волновых движений в системах координат, в которых допустимо разделение переменных и которые используются в последуюших главах при изучении дифракционных процессов. Рассмотрены круговая цилиндрическая. эллиптическая цилиндрическая, сферическая, сфероидальная и параболическая цилиндрическая координатные системы. Для первых трех из указанных систем приведены теоремы сложения волновых функций. Даны основные свойства используемых специальных функций. Отметим, что в случае нестационарных процессов в результате применения интегрального преобразования Лапласа по времени волновые уравнения также сводятся к уравнениям Гельмгольца. Следовательно, приведенные в настоящей главе результаты справедливы и для нестационарных задач. Отличие состоит лишь в том, что в нестационарном случае волновые числа будут чисто мнимыми. [c.28]

Для преобразования поверхностного интеграла в объемный и наоборот служит важная теорема Гаусса-Остроградского для векторной функции а с непрерывными частными производными в ограничеппой односвязпой области V трехмерного евклидового пространства с граничной замкнутой регулярной ориентированной поверхностью S справедлива интегральная формула [c.353]

Рассмотрим стационарный случай поле и и функция Гамильтона Я не зависят явно от времени. Справедлива теорема Бернулли функция В постоянна на линиях тока (интегральных кривых векторного поля v x)) и на вихревых линиях. Действительно, в предположении стационарности уравнение (2.3) принимает вид rotu X г> = -дВ/дх. Если и> — вихревое поле, то dB/dx)w = = —(rotu X v)w = (rotu X w)v = 0. Аналогично, В — дВ/dx)v — = —(rot и X v)v = О ввиду кососимметричности матрицы rot и. [c.71]

Доказательство теоремы 3 в идейном отношении сходно с доказательством теоремы 4, однако сложнее технически из-за возможной расходимости преобразования Биркгофа. Здесь существенно используется тот факт, что преобразование Биркгофа сходится на асимптотических многообразиях (см. И гл. II). Подробное доказательство теоремы 3 содержится в работе [28]. Там же указан ее автономный вариант. Пусть невозмущенная система с гамильтонианом Но имеет аналитический интеграл Fq, причем все интегральные кривые гамильтонова поля замкнуты (примером может служить квадрат модуля кинетического момента твердого тела в задаче Эйлера). Предположим, что при малых е возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом Н = Но + Н + + о е) имеет две гиперболические траектории, и 7I, соединенные двоякоасимптотической траекторией 7e(i), гладко зависящей от е. В [28] доказано, что если несобственный интеграл Jqo (в (1-3) надо положить г = j = 0) отличен от нуля, то при достаточно малых е ф О система с гамильтонианом Н не имеет полного набора инволютивных аналитических интегралов на поверхности уровня = h, где h = Н )е)- Доказательство основано на сведении (при помощи интеграла Fo) гамильтоновой системы к неавтономной с периодическим гамильтонианом. Было бы интересно выяснить, следует ли из условий теоремы 3 несуществование п аналитических коммутирующих векторных полей у возмущенной гамильтоновой системы. [c.267]

При выводе интегральной теоремы Кирхгофа мы воспользовались только одним свойством функции и, а именно тем, что она удовлетворяет однородному скалярному волновому уравнению. Следовательно, эта теорема и заключения предыдущей главы применимы к каждой декартовой компоненте векторов поля, векторного потенциала, векторов Герца и т. д. в областях, где не существует ни токов, ни зарядов. Для того чтобы полностью описать поле, теорему Кирхгофа следует применять отдельно к каждой декартовой компоненте. Однако в силу удачного стечения обстоятельств в большинстве оптических задач виолне достаточно приближенного описания поля одной комплексной скалярной волновой функцией. [c.356]

Теорема становится неверной, если в ее формулировке поле направлений заменить на гюле плоскостей. Поле плоскостей — это соответствие, сопоставляющее каждой точке области векторного пространства проходящую через нее плоскость. Интегральная поверхность поля плоскостей — это дифференцируемая поверхность, касательное пространство к которой Bt каждой точке совпадает с плоскостью поля. [c.19]

Теорема. Каждая точка области, где задано вещественио дифференцируемое илн комплексно-аналитическое поле направлений, имеет окрестность, в которой существует диффеоморфизм (соответственно, биголоморфное отображение), переводящий интегральные кривые векторного поля в параллельные прямые. [c.20]

Таким образом, мы приходим к следующей общей картине на й-мерном многообразии 1 заданы к векторных полей, которые линейно независимы в каждой точке I и попарно коммутируют между собой. Тогда, оказывается, интегральные кривые каждого из этих полей можно найти с помощью квадратур. Это утверждение является частным случаем теоремы Софуса Ли об интегрируемости систе- [c.188]

Докажем первую часть теоремы Нехорошева о том, что компактные связные компоненты интегральных многообразий (2.5) будут торами. Для этого введем п-к гамильтоновых векторных полей VI,..., Vn-k, которые порождаются гамильтонианами Fi,..., Fn-k Поскольку эти функции по предположению независимы и находятся в инволюции со всеми функциями (2.4), то поля vi,..., v -k независимы, касаются 1с и попарно коммутируют. Так как dim/с = п — к, то отсюда вытекает требуемое (ср. с 1). [c.191]

Пусть а — гладкое векторное поле на т-мерном многообразии М, Т — отвечающая ему группа сдвигов вдоль траекторий векторного поля, и ц — абсолютно непрерывная мера, т. е. мера, которая в любой локальной системе координат задается плотностью d l = p(Xl,..., хт)йх1,..., 4хт. Известная теорема Лиувилля (J. Ь1оиу111е) утверждает, что мера ц инвариантна относительно группы Т , если плотность р удовлетворяет уравнению Лиувилля 1у(ра)=0. Эта мера называется мерой Лиувилля, или интегральным инвариантом динамической системы Г . Такая мера может быть бесконечной, но с помощью нее часто удается построить и конечные инвариантные меры. Перечислим некоторые случаи, где применима теорема Лиувилля. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...