Канонические переменные производящая функция

Важно отметить, что сам процесс движения механической системы можно рассматривать как непрерывное каноническое преобразование, производящей функцией которого является ее гамильтониан. Смысл этого утверждения сводится к следующему. Допустим, что q , Pi — значения канонических переменных системы в момент времени t, а и ptJ M — их значения в некоторый [c.201]

Если можно найти такое каноническое преобразование, что все новые импульсы оказываются постоянными, то решение в новых канонических переменных описывается соотношениями (1.2.22) и (1.2.24). Обратное преобразование в этом случае дает полное решение в исходных переменных. Производящей функцией такого преобразования служит решение уравнения Гамильтона—Якоби [c.25]

Пример 14. Пусть в плоской круговой ограниченной задаче трех тел период невозмущенного движения астероида близок к половине периода обращения Юпитера. Воспользуемся каноническими переменными L, G, I, g примера 10. Величина /+ + 2g является медленной переменной. Производящая функция W и новые переменные ри q введенные при доказательстве теоремы 12, задаются формулами [c.187]

Итак, произвольный выбор производящей функции S, удовлетворяющей условию (129), сразу позволяет получить как формулы для соответствующих свободных канонических преобразований, так и выражение для гамильтониана преобразованной системы через новые гамильтоновы переменные. В этом смысле выбор функции S и числа с О задает свободное каноническое преобразование. [c.319]

Замечание 9.7.2. С помощью канонических преобразований обобщенные импульсы можно переводить в обобщенные координаты, и наоборот. В самом деле, пусть, например, обобщенный импульс р, требуется преобразовать в обобщенную координату и, наоборот, координату q, — в импульс, а остальные канонические переменные оставить без изменений. Для зтого достаточно применить производящую функцию вида [c.688]

Вариант 2. Предположим, что функция Но допускает введение переменных действие-угол. Это значит, что существует каноническое преобразование q,p) —> , п) с производящей функцией [V, удовлетворяющей уравнению типа уравнения Гамильтона-Якоби [c.700]

Функция F, определяющая переход от старых канонических переменных к новым, должна быть функцией как тех, так и других. Поэтому, кроме времени t, она может содержать 4п переменных. Но так как старые и новые переменные связаны 2я уравнениями преобразования (8.4), то независимыми из них будут только 2п. Поэтому производящую функцию F можно записать в одном из следующих четырех видов [c.266]

Наконец, в лагранжевой механике не существует какого-либо общего метода упрощения функции Лагранжа. Не существует никакого систематического приема для получения циклических переменных и их можно получить лишь путем удачной догадки. В гамильтоновой механике может быть предложен определенный метод получения циклических переменных и упрощения функции Гамильтона. Этот метод сводит всю задачу интегрирования к нахождению одной фундаментальной функции, являющейся производящей функцией некоторого преобразования. Он играет центральную роль в теории канонических уравнений и, как будет показано в следующей главе, предоставляет широкие возможности для различных обобщений. [c.226]

До сих пор аналогия с S-функцией Якоби, удовлетворяющей тому же самому дифференциальному уравнению, кажется совершенно полной. Обе функции зависят от 2п переменных и каждая из них может рассматриваться как производящая функция некоторого канонического преобразования. После интегрирования уравнения (8.5.4) обе функции будут содержать п констант интегрирования. [c.293]

Таким образом, если заданы производящая функция 5(д, Q, t) и валентность с канонического преобразования, то связь старых и новых переменных определяется из равенств (48), а функция Гамильтона, отвечающая преобразованной к новым переменным Q, Р системе (1), вычисляется по формуле (54). Мы видим, что при преобразовании системы (1) к новым переменным нужно все вычисления проводить не с 2п функциями (4), а с двумя функциями S и Н. Ясно, насколько это важно при рассмотрении конкретных задач, особенно при большом числе степеней свободы п. [c.350]

Тогда из последних п равенств (4) можно выразить р через д, Р и и можно получить производящую функцию Si канонического преобразования (4), зависящую не от (д, Q, t), как это было в случае свободного преобразования, а от переменных (д, Р, ) . В самом деле, перепишем (18) в виде [c.352]

Но функцию У( 1,..., qn i,..., n-i h) можно рассмотреть как производящую функцию некоторого канонического преобразования, свойства которого отличны от свойств преобразования, осуществляемого функцией S. Рассмотрим унивалентное каноническое преобразование, при котором новые импульсы Pi будут постоянными щ (г = 1, 2,..., п), причем = h. Пусть соответствующей производящей функцией будет У( 1,..., q Pi,..., Pn-i Р-п)- Согласно п. 174, старые и новые переменные связаны соотношениями вида (62) [c.361]

Для производящей функции (6) канонического преобразования q, р W, I после замены переменных (17) получаем выражение [c.376]

Пусть S = 5( 1,..., qn 1,..., п, t) — полный интеграл этого уравнения. Сделаем в уравнениях (1) каноническую замену переменных по формулам (9) п. 175, принимая полный интеграл S за производящую функцию [c.391]

Для упрощения уравнений движения введем переменные Q, F при помощи близкого к тождественному унивалентного канонического преобразования (3, Р Q, Р, задаваемого при помощи производящей функции [c.511]

Таким образом, начав с производящей функции Gi x, х ), на которую наложено единственное условие (88.16), мы получаем КП из (88.13) или (88.14). Этот мош ный метод установления КП не дает, однако, всех КП. Он не дает тех канонических преобразований, для которых переменные х, х ) связаны одним или более соотношениями ) таким путем, в частности, не получаются также КП Матье, для которых ) [c.296]

Подробное изложение принципа Даламбера, уравнений Лагранжа, вариационных принципов, вариации произвольных постоянных, оптики Гамильтона, характеристической функции, уравнений Гамильтона — Якоби, разделения переменных, интегральных инвариантов, систематическое интегрирование систем канонических уравнений, канонические преобразования, подстановки или производящие функции, эквивалентные системы. [c.442]

По лемме Каратеодори любая каноническая замена переменных может быть превращена в стандартную несколькими каноническими перестановками. Аппарат производящих функций в этом смысле универсален. [c.261]

Найти производящую функцию канонической замены переменных, приводящей гамильтониан к виду [c.263]

Обозначим через q, обобщенную координату, pi — обобщенный импульс, i = 1,п. С помощью производящей функции V t,qi,. ..,qn, l,..., n) перейдем от старых канонических переменных qi,Pi к новым переменным по формулам [c.201]

Теорема 6.4. Если канонические переменные qi,Pi преобразуются к новым переменным с помощью производящей функции V(1, д, С) согласно соотношениям (6.52), то тогда дифференциальные уравнения для новых переменных имеют гамильтонову форму [c.202]

Уравнения в новых переменных имеют гамильтонову форму. Следовательно, преобразование, осуществляемое при помощи производящей функции —каноническое. [c.476]

Бесконечно малые канонические преобразования. Рассмотрим фазовое пространство переменных / , q2,...,qh, ри Р2, , pk-Каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией W t, q, Q), определяет множество преобразований этого пространства с помощью формул преобразования [c.477]

Полученное равенство определяет каноническое преобразование с производящей функцией V Ь, д, а) при переходе от канонических переменных рз к новым переменным ав, Рз- Новые переменные удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона [c.602]

Равенства (28) имеют вид свободных унивалентных канонических преобразований с производящей функцией П и независимыми переменными , qf, р1, г = [25]. Эти переменные могут рассматриваться как независимые за счёт учёта в функции П условных уравнений, выражающих зависимости между переменными, с неопределёнными множителями р/. [c.141]

Примечание. Главная функция Гамильтона представляет собой действие по Гамильтону, вычисленное при переменном верхнем пределе и выраженное через начальные и текущие значения обобщённых координат. Будучи производящей функцией канонического преобразования начальных значений обобщённых координат и импульсов в их текущие значения, главная функция позволяет ответить на вопрос какие [c.219]

Сделаем каноническое преобразование к новым переменным 91 Q2, Pi, Р2, производящая функция которого равна [c.149]

Отметим, что получаемый с помощью теоремы Якоби общий интеграл канонической системы в форме (10) представляет каноническое преобразование переменных р в переменные д,, р , производимое с помощью производящей функции V, Всякий другой общий интеграл ее вида [c.537]

Рассмотрим наиболее распространенный случай канонических преобразований, когда с=, а в качестве аргументов производящей функции взят один из следующих наборов переменных [c.430]

Для простоты изложения все методы рассматриваются лишь в первом порядке по е, а канонические преобразования выполняются с помощью зависящей от смешанного набора переменных производящей функции. Эти методы можно перенести и на более высокие порядки [34], но последовательное распутывание старых и новых переменных становится алгебраически сложным, а соответствующие ряды оказываются громоздкими. Однако высшие приближения часто необходимы, как, например, в задаче Хенона и Хейлеса, где первый порядок теории возмущений дает неверный результат даже в предельном случае очень низкой энергии. В 2.5 мы знакомим читателя с теорией преобразований Ли, которая пришла на смену старым способам получения классических рядов в высоких порядках по 8. Методы Ли иллюстрируются на примерах задач с одной степенью свободы и вычисления адиабатических инвариантов высших порядков. [c.84]

Резюме. Общая форма произвольного канонического преобразования связана с производящей функцией, которая определяет собой это преобразование. Любая функция переменных qi и Q,- может быть выбрана в качестве производящей функции для соответствующего канонического преобразования. В дополнение к этой функции а priori может быть задан ряд определенных соотношений между qi и Q,-. В этом случае мы получаем обусловленное каноническое преобразование. Число заданных заранее условий может меняться от одного до п. Формулы канонического преобразования имеют ту особенность, что они не задают преобразование в явном виде. Вместо выражений для новых переменных через старые либо наоборот — старых через новые мы имеем некоторое смешанное представление. Старые и новые импульсы выражаются через старые и новые позиционные координаты. [c.240]

Поверхности 5 = onst замечательным образом связаны с задачей движения. С помощью этой частной производящей функции S невозможно решить канонические уравнения в стиле теории интегрирования Якоби, так как мы не знаем, каким образом функция 5 зависит от переменных Qi. Однако вместо того, чтобы использовать вторую группу уравнений преобразования, можно обратиться к первой группе [c.305]

Это — общее условие канонического преобразования, причем любая функция и Q может быть выбрана как производящая функция канонического преобразования. В добавление к этой функции могут быть заданы некоторые условия между и Qi (число условий может изменяться от 1 до п). Формулы канонического преобразования имеют ту особенность, что они не выражают это преобразование в явном виде. Вместо определения новых переменных только через старые, или наоборот, обычно применяется смешанное представление, в котором старые обобщенные импульсы выражаются через старые и новые координаты положения. Как известно, если ввести риманово мероопределение, то гамильтонова характеристическая функция в оптике и основная функция в динамике определяют расстояние в римано-вом пространстве, выраженное в функции координат конечных точек этого расстояния. Эта функция, которая тесно связана с вариационным интегралом, является производящей функцией некоторого частного канонического преобразования. [c.877]

В предыдущей главе были введены различные преобразования, оставлявшие канонические уравнения (5.108) инвариантными по форме эти преобразования были получены через производящие функции. Там же было сказано, что мы особенно внимательно займемся преобразованиями TiHia (5.220b). Смысл всех этих преобразований состоит в упрощении уравнений движения. Эта цель достигается в том случае, если преобразования так видоизменяют гамильтониан, что он зависит только от одной совокупности канонических переменных (скажем, а,,) и совсем не содержит переменных другой совокупности (Р ). Если ыы получили такой гамильтониан Я(а ), уравнения движения приобретают вид [c.153]

Однако, для того чтобы в рамках лиевского варианта пол5гчить непосредственно законы сохранения движения центра масс и энергии (как производящие функции некоторых бесконечно малых канонических преобразований), потребовалось бы такое расширение канонического формализма, которое бы придало и времени характер канонической переменной. Но, несмотря на то, что уже Ньютон (и даже некоторые его предшественники) ясно представлял себе однородность времени и галилеев принцип относительности, обе эти симметрии рассматривались как бы совершенно независимо от широко используемой евклидовой симметрии. По существу представление о галилеево-ньютоновой группе G как единой фундаментальной [c.234]

Поставим для нее задачу найти каноническую замену переменных (i) Р) ( ) р), приводящую ее уравнения к наипростейщей форме. Воспользуемся для этого производящей функцией первого типа [c.299]

Я, if) и (J, ф). Из вида гамильтониана следует, что ф представляет собой быструю переменную, и по ней можно выполнить усреднение. Переменная J является интегралом движения усредненной системы и в дальнейшем рассматривается как параметр. Совершим еще одно каноническое преобразование (Я, ip) i-> —) (Р, (р) с производящей функцией Wi = (Р + Rres J t)) чтобы ввести новую переменную действие Р = R — Rres , сопряженной ей угловой переменной будет (р. В малой окрестности резонанса, где Р есть величина порядка -y/i, гамильтониан принимает следующую форму [c.172]

Пусть биллиард медленно вращается с угловой скоростью uj, причем параметры с и а медленно изменяются с = et), а = а (et). Пусть в декартовой системе координат х,у) фокусы биллиарда имеют координаты (с, 0) и (—с,0). Обозначим импульсы, канонически сопряженные (х,у), через PxtPy)- Переходя к новым переменным Ри,и, P ,v) с помощью канонической замены переменных с производящей функцией W = с(рж osh v os w — Ру sinh г sin и) [11], получим следующий гамильтониан [c.178]

Параметры с , Су равны друг другу в невозмущенной системе и близки по величине в возмущенной системе. Невозмущенную систему можно рассматривать как два несвязанных между собой нелинейных осциллятора, фазовые портреты которых представлены на рис. 8. Введем переменные действие-угол ( и Ч и-> Iv,4 v) посредством канонического преобразования с производящей функцией S — S Iu, Iv u,v, Pt,r), которая содержит г, Pj в качестве параметров. В новых переменных невозмущенный гамильтониан трансформируется в Tio = = У-oiIu, Iv,Pt,T) = Uuilu, Pt,r) + Hy Iy, Pt,r). Функция S имеет вид [c.179]

Так как det d W/dqdx = det d V/dqdx ф О, то W[q,x) — полный интеграл уравнения (7.3) — можно принять в качестве производящей функции канонического преобразования p,q —> у,х у = = dW/dx, р = dW/dq. В новых канонических переменных х,у функция я становится равной К х), поэтому уравнения Гамильтона сразу интегрируются х = xq, у = уо + w xo)t, ш х) = дК/дх. [c.98]

Согласно формулам канонических преобразований новые координаты, вообще говоря, зависят как от старых координат, определяющих положение системы, так и от старых импульсов. Поэтому с помощью новых координат нельзя задать положения оистемы,, и только совокупность всех новых переменных Q и определяет цоложения и скорости точек механической системы. Однако в частном случае канонических преобразований с производящей функцией [c.434]

Эти величины оказываются иостояиными, несмотря на изменение а и Я, со временем. Чтобы убедиться в этом, выберем в качестве новых импульсов переменные действия (9.215) и произведем соответствующее каноническое преобразование. Выражая а с помощью (9.215) через / и Я и исключая а из д, а, Я), найдем производящую функцию интересующего нас преобразования [c.444]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...