Гесса матрица

Матрица Гессе - см, Гессе матрица [c.213]

Галеркина метод 696 Гесса матрица 756 [c.821]

Условие (6.41) есть достаточное условие максимума. Матрицу Г, удовлетворяющую условию (6.41) при любых Д X, называют отрицательно определенной, а в случа< (4Х)т Г(А X) >0 для любых АХ — положительно определенной. Поэтому достаточные условия экстремума можно представить как требование отрицательной определенности матрицы Гессе для максимума или положительной определенности для минимума в экстремальной точке. [c.279]

На основе метода Ньютона разработан эффективный метод, получивший название метода переменной метрики. Идея метода заключается в использовании информации о градиенте критерия оптимальности для приближенного вычисления матрицы Гессе. Этот метод — итерационный. Поиск в нем ведется по формуле [c.288]

Главное преимущество метода переменной метрики перед методом Ньютона — отказ от вычислений матрицы Гессе на каждой итерации. Положительно определенная матрица [c.288]

Область пространства называют выпуклой, если отрезок прямой, соединяющей две любые точки этой области, расположен целиком в ней. Так, область допустимых решений на рис. 8 образует выпуклый четырехугольник. Функция является выпуклой, если выпукло множество точек, расположенных над ее графиком. Например, U(в) на рис. 4 — выпуклая функция. В многомерных пространствах эти наглядные представления не удается применить, и понятие выпуклости без дополнительных критериев, позволяющих выразить те же особенности функции в аналитическом виде, становится не более как образным выражением. Необходимым и достаточным условием выпуклости непрерывной функции с непрерывными вторыми производными является неотрицательность определителя матрицы, составленной из этих производных (матрицы Гессе). Если же гессиан определен положительно, т. е. условие э-0 для соответствующей квадратичной формы может быть заменено условием >0, то функция называется строго выпуклой. [c.185]

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИИ ЛАГРАНЖА. Можно доказать обратное утверждение (о неустойчивости), предполагая невырожденность критической точки д, не являющейся минимумом. Невырожденность означает, что определитель матрицы Гесса i V d V [c.176]

V / (X ) — матрица Гесса / (Х ), представляющая собой квадратичную матрицу вторых частных производных / (X), взятых в точке Х [c.133]

Метод Ньютона осуществляет необходимый поиск в области варьируемых параметров, где/(Х) дважды дифференцируема и где матрица, обратная матрице Гесса целевой функции, является положительно определенной. Поиск этой области осуществляется или методом дискретного перебора значений параметров, или методом ЛП-поиска. [c.134]

Особенность сопряженных направлений для Q = Г, где Г — матрица Гессе, в задачах с квадратичной целевой функцией F(X) заключается в следующем одномерная минимизация F(X) последовательно по N сопряженным направлениям позволяет найти экстремальную точку не более чем за N шагов. [c.163]

Примечание. Матрицей Гессе называют матрицу вторых частных производных целевой функции по управляемым параметрам. [c.163]

В методе переменной метрики вместо трудно вычисляемой обратной матрицы Гессе используют некоторую более легко вычисляемую матрицу N, т. е. [c.165]

Дважды непрерывно дифференцируемая функция / называется сильно выпуклой, если ее матрица Гессе [c.141]

P ") = -V/( .W), где — матрица Гессе (5.35). Метод спуска [c.142]

Коэффициенты квадратичной формы образуют матрицу размерности лхл (матрицу Гессе) [c.474]

В дальнейшем нам понадобится матрица Гесса размерности пХ п [c.205]

Невырожденность матрицы Гесса (Аг= 0), как мы увидим дальше, играет существенную роль в методах асимптотического интегрирования канонических систем. [c.205]

Функция Лагранжа системы L = L q) зависит только от обобщенных скоростей. Показать, что действие но Гамильтону на прямом пути, проходящем через две точки (qW,io) и P(qW,ii) п + 1)-мерного расширенного координатного пространства, будет минимальным но сравнению с действием на любых окольных путях, проходящих через эти же точки, если матрица Гессе [c.220]

Я(х) —матрица Гессе и — вектор управлений [c.10]

Методы сопряженных направлений основаны на таком выборе векторов направлений поиска, при котором они были бы сопряженными относительно матрицы Гессе. Два вектора направления как известно, являются сопряженными относительно положительно определенной матрицы М, если выполняется соотношение [c.154]

Примером матрицы М может служить матрица Гессе Я х) целевой функции. [c.154]

У ) — вектор-строка, Ю —матрица Гессе [c.153]

Следовательно, достаточное условие максимума Р ) в точке У может быть сформулировано, как требование отрицательной определенности матрицы Гессе или [c.153]

Необходимое условие минимума совпадает с (6.3), а достаточное условие заключается в положительной определенности квадратичной формы А У -Ю-А У или положительной определенности матрицы Гессе в У. [c.153]

Большое значение с точки зрения эффективности поиска максимума функции имеет наличие гребней на ее гиперповерхности (или оврагов при поиске минимума). Гребень на поверхности функции (6.4) совпадает с направлением Ь—Ь, его отличительные признаки — в окрестностях гребня имеются направления, вдоль которых производная функции резко изменяется с переменой знака в точке гребня (направление с—с ), и направления, вдоль которых производная меняется слабо (направление Ь—Ь ). Наличие гребней или оврагов связано с плохой обусловленностью матрицы Гессе чем больше отношение максимального по модулю собственного значения матрицы Ю к модулю минимального собственного значения, тем резче выражены гребни (овраги), тем существеннее трудности в организации эффективного поиска экстремума. Характер трудностей аналогичен трудностям, возникающим при численном интегрировании дифференциальных уравнений с плохо обусловленной матрицей Якоби. [c.155]

Методы градиента и наискорейшего спуска получаются при единичной матрице N,. Попытка применения этих методов к решению большинства задач оптимизации электронных схем приводит к возникновению проблемы, аналогичной проблеме минимальной постоянной времени в задачах численного интегрирования дифференциальных уравнений математических моделей схем. Эта аналогия позволяет установить, что количество шагов поиска в гребневых ситуациях соизмеримо с отношением максимального и минимального собственных значений матрицы Гессе. [c.157]

Скорость сходимости к экстремуму удается существенно повысить, используя в (6.6) матрицу N, специального вида. Наиболее заметное уменьшение количества шагов получается при применении метода Ньютона, где Ng — матрица, обратная матрице Гессе. Однако этот метод не позволяет получить малые затраты машинного времени из-за большой трудоемкости вычисления матрицы Гессе. [c.157]

Метод сопряженных градиентов. В градиентных методах для поиска экстремума использовались свойства ортогональности векторов. В методе сопряженных градиентов оптимум целевой функции ищется на ос-fiOBe свойств орготональности приращений вектора градиентов. Для этой цели наряду с градиентом используют матрицу Гессе Г критерия оптимальности. С помощью матрицы Г удается выбрать направление поиска, наиболее полно учитывающее особенности критерия оптимальности. Напомним, что векторы А и В называют сопряженными относительно симметричной и положительно определенной матрицы Г, если скалярное произведение векторов А и ГБ равно нулю, т. е. <А, ГВ > =0. Направление поиска Р +1 на й+1-м шаге определяется как [c.287]

Методы Ньютона и переменной метрики. Ускорение поиска экстремума связано с улучшением выбора сопряженных направлений. Довольно эффективным является поиск сопр1Яженных направлений с одновременным накоплением информации о матрице Гессе критерия оптимальности. Используют соотношение [c.287]

Трудности, связанные с применением метода Ньютона, привели к разработке группы методов, которые называются квазиньютоновскими методами переменной метрики или градиентными методами с большим шагом. Сущность их заключается в аппроксимации матрицы Гессе или обратной к ней матрицы таким образом, чтобы ограничиться только использованием первых производных. [c.246]

В процедуре HAMLDETl используется вспомогательная процедура GESSEMAT, позволяющая находить прямоугольную матрицу Гесса размерностью ихш (описание процедуры SILVSTR приводится на с. 111). [c.98]

Рис. 48. Геометрический смысл нормальных колебаний они направлены в точки касания эллипсоида q-Aq= (Л — матрица коэффициентов кинетической энергии) с эллипсоидами из семейства q-Bq = onst (В — матрица Гесса потенциальной энергии). Изображен весьма часто встречающийся случай с двумя степенями свободы в первом из нормальных колебаний обе определяющие координаты растут и убывают одновременно, во втором — изменяются в противоположные стороны

V/(j " ), где — текущее приближение к матрице Гессе, которое строится по значениям градиента в вычисленных точках. При определенных условиях эти методы сходятся сверхлинейно. Содержательное обсуждение квазиньютоновских методов см. в [14, 22, 78]. [c.142]

Запишем условия из (28) на компоненты матрицы A j и вектора s в главной системе координат S2 = О, А В — С) — з1лУС А — В) = О, где А, В, С — главные моменты инерции, s — компоненты вектора s в главной системе координат. То есть тело представляет собой гироскоп Гесса [28]. Поскольку при наличии соотношений (28) решения (27) удовлетворяют равенству AU s = О, то справедлива [c.244]

Применим теорему 2 к гамильтоновым уравнениям Янга — Миллса для однородного двухкомпонентного поля (см, 8 гл, I), Функция Гамильтона имеет вид (5,19), где V = х х2. Уравнения (5,21) допускают решение с = (1/ /2,1/ /2) -, собственные значения матрицы Гессе Г равны —1 и 3, Следовательно, Др1 = —7 и Др2 = 5, Эти числа рационально несоизмеримы, поэтому по теореме 2 уравнения Янга— Миллса не допускают нового голоморфного интеграла. Этот результат получил впервые С, Л, Зиглин в [64], Аналогичный результат имеет место и для трехкомпонентной модели Янга — Миллса, где V = х х -Ь х х -Ь х х. Здесь с = = (l/V ,l/V ,0)T, а числа Др равны соответственно /17, 5, В силу их рациональной несоизмеримости гамильтонова система неинтегрируема. [c.369]

Методы переменной метрики, называемые также ква-зиньютоновскими или градиентными с большим шагом, основаны на аппроксимации матрицы Гессе или обратной ей матрицы с использованием только первых производных. При использовании этих методов новое значение вектора [c.155]

Большинство детерминированных методов носит эвристический характер. К ним относятся релаксационный метод, метод конфигураций, метод Розенброка, симплексный метод, метод деформи руемого многогранника и т. д. При минимизации функции качества по методу Пауэлла [161] направления поиска оказываются сопряженными относительно матрицы, аппроксимирующей матрицу Гессе функции Р (х). Использование информации о вторых частных производных функции приводит вблизи точки минимума к квадратичной скорости сходимости. Относительная простота и эффективность метода Пауэлла позволили принять его в качестве основного при поиске минимума функций качества. С использованием цифровой модели индукционного нагревателя непрерывного действия разработана программа оптимизации установок для градиентного нагрева заготовок [162]. Начальный вектор оптимизируемых параметров вводится в начале работы программы. В оптимизирующей процедуре используется относительное изменение параметров. Для этого начальное и конечное заглубление нормируется относительно длины заготовки, а число витков индуктора — относительно начального задания 1 и, т. е. [c.253]

В соответствии с делением экстремумов на локальные и глобальные различают методы локального и глобального поиска. Большинство известных методов относится к методам локального поиска, попытки определения глобального экстремума обычно сопровождаются резким увеличением объема вычислений. Достаточным условием того, что найденный максимум глобальный, является вогнутость целевой функции в пространстве WA, т. е. отрицательная полуопределенность матрицы Гессе. Однако в задачах схемотехнического проектирования указанные условия использовать не удается, так как отсутствуют возможности для исследования вогнутости целевых функций во всей допустимой области. [c.155]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...