Классы функций и функциональные пространства

Классы функций и функциональные пространства [c.18]

П.2.3. Определение и свойства функционалов. Функционалом F(f) в пространстве Z.2 называют такое математическое правило, по которому каждой функции fei-2 (действительной или комплексной) из некоторого класса функций ставится в соответствие определенное число, являющееся значением функционала F(f). Класс функций, на которых определен функционал F, называется областью задания функционала. Функционал — частный случай оператора. Он осуществляет отображение функционального множества в числовое множество. Например, интеграл [c.215]

Приведем определения основных пространств функций и классов поверхностей, которые будут использованы в дальнейшем при математическом рассмотрении поставленных задач. Более обстоятельно изучение и обсуждение математических свойств определяемых функциональных пространств и вопросов их использования при решении различных задач имеются в цитированной ниже литературе. [c.82]

Примем, что fliGB zu, где В — ограниченное замкнутое и выпуклое множество. Если — действительное число, то и —точечное евклидово яространство если аДт)—функция, то и — функциональное пространство класса С [0, Л. [c.174]

Ясно, что условия (3.3) — (3.5) и (3.6) или (3.6 ) будут выполняться при любом осреднении (3.1) с произвольной весовой функцией (О, удовлетворяющей условию (3.2). Иначе обстоит дело с наиболее сложным условием (3.7). Так, например, если пользоваться временным или пространственным осреднением по некоторому интервалу, то можно показать, что, строго говоря, ни при каком выборе интервала осреднения это условие не будет достаточно точно выполняться. Нетрудно, однако, привести соображения в пользу того, что интервал осреднения можно выбрать так, чтобы это условие приближенно выполнялось со сравнительно большой степенью точностью для этого надо только, чтобы интервал осреднения был велик по сравнению с характерными периодами пуль-сационного поля / = / — /, но был мал по сравнению с периодами осредненного поля /. Подобного рода соображениями и ограничился в свое время Рейнольдс в настоящее время, однако, эти качественные соображения вряд ли могут быть признаны вполне убедительными. Поэтому после работы Рейнольдса появился целый ряд прикладных исследований, посвященных вопросу о степени точности соотношения (3.7) для тех или иных конкретных операций осреднения и классов функций / и а также и чисто математических работ об общих операциях осреднения , заданных на тех или иных функциональных пространствах (т. е. специальных совокупностях функций) и точно удовлетворяющих условиям Рейнольдса (или каким-то родственным условиям тога же типа) см., например, Монин и Яглом (1965), с. 165. Однако все полученные на этом пути результаты не нашли важных приложений в механике турбулентности в первую очередь потому, что в современной теории турбулентности вопрос о смысле операции осреднения почти всегда решается совершенно иначе и притом так, что все условия Рейнольдса здесь оказываются точно выпол- [c.168]

Излагаемая в настоящей книге теория существенным образом опирается на А1атемати<1еский аппарат функционального анализа. Последний рассматривает подходящим образом выбранные классы функций как множества точек в топологических пространствах. При этом понятие множества вводятся аксиоматически и служит основой для определения более сложных понятий пространства и линейного пространства. Абстрактное множество представляет собой совокупность, собрание каких-либо объектов, элементов, обладающих общим свойством или признаком. [c.205]

Напомним определение функциональных пространств Гёльдера в случае гладкой границы. Пусть граница области Q принадлежит классу С и пусть v — функции из °°(Q). Рассмотрим замыкание v по норме [c.65]

В частности, здесь требуются дополнительные предположения о существовании решений, их единственности и должной зависимости их от параметров и управляющих функций (а также и предположения о некоторых специфических обстоятельствах, связанных с математическими конструкциями, например, о наличии внутренних точек у рассматриваемых по ходу дела множеств элементов функциональных пространств и т. д.). В общих случаях многие из таких предположений нелегко проверить эффективно. Таким образом, хотя формализм принципа максимума достаточно полно переносится на рассматриваемые системы (с соответствующими выкладочными изменениями, отвечающими особенностям нового аппарата), однако по содержанию общая проблема такого переноса все-тА ки представляется еш,е не исследованной до конца, тем более, что вопрос о классах допустимых управлений и ж о существовании в них оптимальных управлений и Ь) и движений х 1) в общем случае пока исследован также не полностью. К числу строгих результатов, относящихся к проблеме существования и единственности оптимального управления системами, описываемыми функциональными уравнениями, (22.1), отвечающим случаям параболических и гиперболических систем, относятся результаты Ю. В. Егорова (1962). При этом, в частности, была рассмотрена задача об управлении процессом теплопроводности, когда управляющие функции м входят в граничные условия и минимизируется квадратичный функционал, определенный распределением температуры, при заданном интервале времени или минимизируется время переходного процесса к желаемому распределению температуры при известных квадратичных ограничениях. [c.235]

Определение 5 [249, 373]. Поверхность S принадлежит классу С °, (где I — натуральное число, О а 1, 7 -f а 1). Если 6 S, то существует декартова система координат h, 1 , Is, у которой начало совпадает с х , а ось 1з совпадает с нормалью к S в точке Хо, такая, что а) сфера радиуса d = onst > О с центром в точке Xq вырезает из S участок, который может быть задан уравнением = Л ( 1, а) б) функции h (Si, I2) принадлежат функциональному пространству и h (О, 0) = dih (О, 0) = d h (О, 0) — 0. Поверхность класса С ° называется поверхностью Ляпунова. [c.83]

Усеченная версальная деформация и бифуркационная диаграмма функций. Пусть f (С , 0)- (С, 0) —росток функции. В п. 1.7 мы определили версальную деформацию ростка f x), используя в качестве функционального пространства М пространство ростков функций на С". Ограничимся теперь деформациями в классе ростков функций 1 з ш,. Определения эквивалентности н версальности деформаций без изменений переносятся на этот случай. [c.22]

Здесь —линейный оператор, действующий на определенном классе функций, а именно удовлетворяющих краевым условиям и дважды дифференцируемых. С математической точки зрения основная задача такова подобрать пространство функций и и класс правых частей / так, чтобы каждой функции соответствовало единственное решение и. Как только соответствие между I VI и установлено, задача Ьи = 1 в абстрактном смысле решена . Разумеется, это лишь первый шаг в определении решения и, соответствующего данной функции Эта задача составляет предмет всей книги. Однако мы счйтаем, что стоит потратить время на определение таких функциональных пространств. При использовании вариационных принципов и аппроксимации особенно важно знать точно, на каком функциональном пространстве они применимы. (Термин пространство предполагает линейность.) [c.14]

В гл. 1 в случае правой эквивалентности функций мы уже видели, что положительные ответы на эти вопросы равносильны тому, что касательное пространство к классу эквивалентности ростка имеет конечную коразмерность в касательном пространстве ко всему функциональному множеству. Настоящий параграф мы начнем с изучения действий групп Л, , зЛ-, тя. Ж (в пп. 2.1—2.3 означает одну из них) на ростки отображений. Ситуация оказывается совершенно аналогичной действию 31 на функции. В п. 2.5 рассматриваются достаточные условия, которые гарантируют, что ситуация останется столь же хорошей и в более общем случае ( хорошие геометрические группы). При этом в число плохих попадают, например, естественные эквивалентности диаграмм отображений, содержащих циклические или расходящиеся поддиаграммы (к таким диаграммам приводят, скажем, задача о классификации отображений многообразия в себя или задача об огибающей семейства гиперповерхностей— см. 1.6 в [27]). [c.176]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...