Обобщенная функция умеренного роста

За исключением двух важных результатов, в этой книге мы будем иметь дело со специальным случаем так называемых обобщенных функций умеренного роста. Множество основных функций в этом случае обозначается через S или, если хотят указать, от каких племенных зависят основные [c.52]

Этот механизм дает четкую формулировку определения обобщенных функций умеренного роста. Обобщенная [c.53]

Вот аналог второй альтернативы для обобщенных функций обобщенная функция умеренного роста Т непрерывна в /, если для любого е > О найдутся такие целые г, s и [c.54]

Ясно, что обобщенные функции умеренного роста сильно ограничены в двух отношениях. Эти ограничения грубо можно описать так обобщенная функция умеренного роста при а оо в худшем слз гае растет как полином и порядок этого полинома в худшем случае конечен. Первое означает. [c.55]

Частный случай преобразования этого рода встречается при рассмотрении вакуумных средних в разделе 3-3, Там входят обобщенные функции умеренного роста на К " и точка описывается набором п четыре- [c.60]

К особой породе относятся те обобщенные функции умеренного роста Т, которые имеют вид gTl, где , а Тх — также обобщенная функция умеренного роста. Это — быстро убывающие обобщенные функции. Они встретятся нам снова в разделе 2-2. [c.63]

Уравнения (2-35) и (2-36) справедливы также для обобщенных функций умеренного роста. [c.71]

Остается доказать только полиномиальную ограниченность. Это следует из того, что любая обобщенная функция умеренного роста имеет вид (2-11). [c.72]

Уже на примере (2-67) видно, что голоморфная функция, являющаяся преобразованием Лапласа, не обязана обладать граничным значением даже в смысле теории обобщенных функций. Но если это — преобразование Лапласа обобщенной функции умеренного роста Т, то граничным значением будет преобразование Фурье от Т. [c.90]

Обратно, если Ту сходится в при rj->0 в любом таком конусе, то Т — обобщенная функция умеренного роста. [c.90]

Теорема 2-9 характеризует свойства тех голоморфных функций, которые получаются с помощью преобразования Лапласа из обобщенных функций умеренного роста, но они не выражаются непосредственно в терминах Х Т) как голоморфной функции. Последняя теорема этого раздела дает более прямую формулировку. [c.91]

Обратно, если F — функция, голоморфная в гТ и удовлетворяющая (2-80), то F = X T), где Т — обобщенная функция умеренного роста. [c.91]

В предыдущем разделе мы видели, что преобразование Лапласа обобщенной функции умеренного роста, исчезающей вне конуса, есть граничное значение функции, голоморфной в некоторой трубе. В настоящем разделе мы рассмотрим функцию или некое множество функций, голоморфных в этой трубе и обладающих определенным законом преобразования относительно SL 2, С) или, что сводится к тому же, относительно специальной группы Лоренца L Мы покажем, что эти функции с необходимостью голоморфны в более широкой области, в так называемой расширенной трубе, и удовлетворяют некоему закону преобразования относительно собственной комплексной группы Лоренца LA ). [c.93]

Фурье-образы функций Ж ж Ш представляют собой обобщенные функции умеренного роста, определяемые формулами [c.151]

Из аргументов, приведенных в разделе 2-1, следует, что в силу трансляционной инвариантности функция зависит только от разностей 1,..., п-1, или более точно, что существует обобщенная функция умеренного роста [c.152]

Область />1 подходит в качестве области определения поля, поскольку она явно удовлетворяет требованиям ф(й)/>1 с аОи Тое/>1, С7 я, Л)А сг >1. Так как функция (Тд, ф(fe)Tf) представляет собой конечную линейную комбинацию функций Ш, то она является обобщенной функцией умеренного роста с основной функцией к. Тем самым про- [c.175]

В качестве последнего шага доказательства покажем, что из равенства = Рг при (ж — <0 и при условии, что все переменные принадлежат к множеству следует его справедливость для всех Хи х , у у,. .., у и и всех пространственноподобных х — у. Для этой цели введем две новые обобщенные функции умеренного роста /1 и /г. Допустим, что четыре-вектор х — у таков, что [х — у ) <.0, и пусть р% — соответствующее открытое множество. Равенство [c.191]

Постулат IV (теория поля). В сРё определена опера-торно-значная обобщенная функция умеренного роста со следующими свойствами [c.17]

Запаздывающее произведение Я [х ,. . ., л ) является операторно-значной обобщенной функцией умеренного роста. Его значение Я (ф) на основной функции Ф (л ,,. . Хп) обладает свойствами полевого монома, устанавливаемыми постулатом IV,а. Иначе говоря, это замыкаемый оператор, определенный на пространстве В и отображающий В в себя. [c.20]

Пусть г (Xi,. . ., x,i), n = 2, 3,. . . — обобщенные функции умеренного роста со следующими свойствами [c.25]

Пусть ( 1. . ., Хп) — обобщенные функции умеренного роста, обладающие свойствами А, Б и В теоремы 2.1 и удовлетворяющие ампутированным уравнениям полноты ГЛЦ. Двухточечная функция Атр имеет вид (2.58). [c.32]

Наиболее общее решение уравнения (4.1), если не учитывать дополнительные условия,— это некоторая обобщенная функция умеренного роста, симметричная по первым двум аргументам х м у. Условие А симметрии совокупности переменных у, х ,. . ., означает, что функция h инвариантна относительно перестановок всех своих аргументов. В силу условия для носителя Б он должен принадлежать области [х — у) G V+- Однако с учетом симметрии по х, у) он должен принадлежать также области (у — х) G V+, так что в итоге он сводится к многообразию X = у. Ъ силу только что установленной симметрии по всем аргументам мы имеем [c.42]

Функции о, построенные в гл. 3—6, существуют как обобщенные функции умеренного роста. Кроме [c.95]

Итак, мы доказали, что правые части уравнений полноты (3.9) и (6.39) существуют как обобщенные функции умеренного роста, так что построение функций и а, произведенное в гл. 3—6, имеет смысл г а и существуют как обобщенные функции умеренного роста. Нам предстоит еще доказать, что они удовлетворяют теореме 7.1. Поскольку функция о (Р) равна функции (Р) плюс сумма членов вида (7.16), для этого достаточно доказать, что теореме 7.1 удовлетворяет функция [c.101]

Единственные обобщенные функции, не являющиеся функциями умеренного роста, с которыми мы встретимся в этой книге,— это элементы т. е. непрерывные линейные функционалы на пространстве Т) всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем ). Понятие сходимости в таково /п- / в если носители п лежат в каком-то фиксированном компактном множестве К и /п - / равномерно ъ К, а производные /п приближаются к производным / равномерно в К. [c.56]

Можно показать, что любая обобщенная функция умеренного роста может быть записана в виде (2-11). Мы не будем здесь доказывать этот результат. (Это делается в упражнении на стр. 28 лекций Гординга — Лионса.) Отметим только, что читатель с утилитарным складом ума может принять (2-11) за определение того, что понимается под обобщенной функцией умеренного роста, и это нигде в последующем не приведет его к ошибке. [c.55]

Ясно, что каждый элемент 3) является также элементом , так что каждый элемент Ш определен на элементах 3). Далее, последовательность элементов сходящаяся в к какому-то элементу З), конечно сходится в к тому же элe teнтy, Поэтому с 3) или, на обычном языке, обобщенные функции умеренного роста являются обобщенными функциями. Однако в 3) есть много элементов, которые не принадлежат 8. Как пример возьмем обычные непрерывные функции экспоненциального роста. В качестве другого примера рассмотрим [c.56]

Заметим, что правая часть — обобщенная функция умеренного роста, вычисленная для основной функции ехр [р (— I — й)ке, принадлежащей . Поэтому, по (2-10), она onst X некоторую норму Ц г, s этой основной функции. Но такая норма имеет вид [c.89]

Как отмечалось ранее, вак5гумные средние в силу теоремы о ядре являются обобщенными функциями умеренного роста. Если воспользоваться (3-25) с вместо А и свойством /(а, 4)Ч о = Ро [см. (3-1)], то соотношение (3-26) следует немедленно. [c.151]

Как мы увидим в следующем разделе, условия (я) — (е) — это достаточные условия, гарантирующие, что набор обобщенных функций умеренного роста представляет собой совокупность вакуумных средних в какой-либо теории поля, удовлетворяющей аксиомам О, I, ПиП1, за исключением требования единственности вакуума. Следующая теорема, как мы увидим в разделе 3-4, дает дополнительное условие, обеспечивающее это свойство. [c.155]

В силу соображений, приведенных при доказательстве тео ремы 4-2, Р(х,у) представляет собой обобщенную функцию умеренного роста. Ее фурье-образ равен нулю ), если только импульсы, сопряженные х а у, лежат в будущем световом конусе. Поэтому в силу теорем 2-6 и 2-7 функция Р(х,у) обладает аналитическим продолжением Г в трубу 1т ж, 1т г/еУ+. Нетрудно видеть, чтоР(х, у) обращается в нуль, если хиу вещественны, а [х — у) С.О. Последнее можно получить из (4-82), заметив, что если [c.231]

В этом рассуждении и в нескольких других местах последней части доказательства мы имеем дело с неразмазанными полями. Это вопрос чистого удобства. Необходимое размазывание могут легко произвести сами читатели. Напримот, вместо того чтобы иметь дело с (4-79), можно рассмотреть обобщенную функцию умеренного роста Т на R определенную равенством [c.231]

Суммирование здесь проводится по всем разбиениям совокупности хо,. . ., х на две взаимно дополнительные подсовокупности Хь и Хд, где Х может быть пустой, а Хь — нет ). Произведение Т (X) также является операторно-значной обобщенной функцией умеренного роста, обладающей свойствами 1, 2 и 7, входящими в определение -произведения. Вакуумное среднее т (х,,. . ., х ) произведения Т (Х),. . ., х ) называется хронологической функцией, или функцией Грина. Функцию т (X) можно разложить в сумму по пучкам [c.37]

Достаточность условий а — д будет установлена ниже явным построением решения. Мы хотим, чтобы функция г а была обобщенной функцией умеренного роста, т. е. непрерывной линейной формой над пространством быстро убывающих основных функций [191, и так и будем строить решение. Построение будет вьшолнено в несколько шагов, причем на каждом из них будет расширяться пространство основных функций, на которых определена обобщенная функция Го- Приступая к построению, введем новые обозначения. Будем говорить, что основная функция ф(х1,. . ., Хп) обращается в нуль сильно в точке (01,. . ., а ), и записывать это как ф (й1,. . ., о ) = О, если ф в этой точке обращается в нуль вместе со всеми своими производными. [c.46]

Отметим также, что функция будучи фурье-сбразом обобщенной функции умеренного роста rii , сама является обобщенной функцией умеренного роста. Это значит, что существуют хорошо определенные правила интегрирования ее сингулярностей в начале координат. В явном виде нам эти правила не потребуются. Фактически функция определена не только на пространстве но даже на простран -стве Яе- Пусть ф (Qo) б Яе и введем произвольную функцию (Qo) 6 oS . причем 1] = 1 в. окрестности начала координат. [c.104]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...