Ляпунова-Малкина

Развитие теоремы Ляпунова-Малкина об устойчивости по линейному приближению [c.115]

В русле данного направления исследований ЧУ-задачи по линейному приближению определенную завершенность получили результаты, восходящие к очень часто используемой в приложениях теореме Ляпунова-Малкина [Малкин, 1966] об устойчивости по линейному приближению в критических по Ляпунову случаях. [c.115]

На основании теоремы Ляпунова-Малкина и метода нелинейных преобразований переменных решаются задачи стабилизации и управления по части переменных [c.167]

Теорема Ляпунова—Малкина в работе сформулирована при более общих предположениях, когда Y зависят 07 времени, и рассматривается [c.262]

Малкин И. Г., Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний, Гостехиздат, 1949. [c.383]

На замечание А.М. Ляпунова обратил внимание И.Г. Малкин [1938], который указал (без доказательства) некоторые условия переноса теорем Ляпунова на случай устойчивости по отношению к части переменных. [c.11]

Утверждение теоремы перестает быть верным, если устойчивость по Ляпунову нулевого решения линейной системы (2.2.26) не является равномерной. Это показывает пример [Реп-оп, 1930 Малкин, 1966], построенный для случая В = О, С s 0. [c.117]

Следует отметить, что из доказательства теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости следует, как это показал И. Т. Малкин (1954), что при условиях этой теоремы имеет место равномерная устойчивость по времени о и координатам Xq начальных возмущений в следующем смысле. [c.19]

Теории критических случаев по Ляпунову посвящена обширная литература, непрерывно пополняемая до настоящего времени. При этом основным методом исследования критических случаев оказался второй метод Ляпунова — Четаева. Первой после Ляпунова работой в этой области была, по-видимому, работа И. Г. Малкина (1933), в которой доказана неустойчивость невозмущенного движения для системы второго порядка вида [c.55]

Для такой системы мы имеем функцию Ляпунова (И. Г. Малкин) [c.75]

Широкое использование методов Пуанкаре — Ляпунова в теории нелинейных колебании началось, однако, только в тридцатых годах текущего столетия. Основная заслуга в деле развития и применения этих методов к решению задач механики, радиотехники и теории автоматического регулирования, несомненно, принадлежит отечественным ученым — Л. И. Мандельштаму, И. Д. Папалекси (1930—1950), А. А. Андронову, А. А. Витту (1930—1955), а также их последователям — Б. В. Булгакову (1942, 1954) и И. Г. Малкину (1944-1956). [c.157]

И. Г. Малкин с большой подробностью рассмотрел также колебания важного класса систем, близких к так называемым системам А. М, Ляпунова, [c.162]

Примечание. Следует отметить, что при условиях теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости всякое другое решение уравнений (2.1), достаточно близкое к невозмущенному по начальным условиям, неограниченно приближается к нулевому решению, когда оо. Если же выполняются условия теоремы Дубошина — Малкина, то всякое решение системы (2.1"), начальные значения которых численно сколь угодно малы, вовсе не стремится к нулевому решению системы (2.1), но всегда остается сколь угодно близким к этому решению, т. е. к невозмущенному движению. [c.90]

СИСТЕМЫ А. М. ЛЯПУНОВА ). В системах Ляпунова отсутствует малый параметр, на который в квазилинейных системах умножены нелинейные члены. Большей частью это консервативные системы, обладающие в качестве первого интеграла интегралом сохранения полной механической энергии. При известных условиях такие системы допускают периодическое решение, разлагающееся в ряды по степеням начального значения одной из координат в предположении, что это значение достаточно мало. Вопрос о существовании периодического решения в таких системах был связан у Л. М. Ляпунова с вопросом об устойчивости невозмущенного движения системы, определяемого нулевыми значениями координат в одном из критических случаев , именно, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Устанавливая условия периодичности возмущенного движения системы, можно, следуя Л. М. Ляпунову, получить также в этих условиях условия устойчивости невозмущенного движения в этом довольно часто встречающемся критическом случае. Общая теория нелинейных систем Ляпунова вместе с обобщением этой теории на класс систем, близких к системам Ляпунова, развита И. Г. Малкиным. Из монографии И. Г. Малкина [31] мы и заимствуем изложение теоремы Ляпунова о существовании и форме периодических решений рассматриваемых систем, приводимой без доказательства. [c.545]

В данном случае для совокупной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения спутника можно сначала решить задачу стабилизации по отношению к переменным, определяющим его положение в орбитальной системе координат. Делается это путем рассмотрения " "укороченной управляемой системы, получающейся из исходной совокупной обращением в нуль неконтролируемых на данном этапе решения переменных. Затем применением теоремы Ляпунова-Малкина [Малкин, 1966] доказывается, что в процессе проведенной стабилизации фактически обеспечивается не только асимптотическая устойчивость по указанной части переменных, но и устойчивость (неасимптотическая) по всем переменным исследуемого невозмущенного движения совокупной системы [Белецкий, 1965 Крементуло, 1977]. [c.23]

Условие полиустойчивости по линейному приближению. Приведем наиболее полный результат, относящийся к теореме Ляпунова-Малкина. [c.116]

В разделе 3.2.2 описано явление [Воротников, 1993, 1998, 1999с], представляющее интерес в динамике космических аппаратов с одним маховиком при демпфировании колебаний оси вращения аппарата боковой к этой оси маховик может выполнять функцию только перераспределения" кинетического момента системы. Сам же маховик в конце сеанса демпфирования приходит в состояние покоя, не принимая на себя возмущения. Отмеченное явление заслуживает дальнейшей более детальной разработки. Один из возникающих здесь вопросов какова допустимая область начальных возмущений системы Ответ на него связан с получением оценок области притяжения для теорем типа Ляпунова-Малкина. Судя по литературе, данная проблема ещё не исследовалась. [c.202]

Приведенные в обзоре результаты показывают, что, несмотря на некоторую специфику неголономных систем, исследование устойчивости и бифуркаций стационарных движений данных систем вполне успешно может быть проведено на основе модифицированной теории Рауса-Сальвадори и Пуанкаре-Четаева, если эти системы допускают первые интегралы, заданные в явной или в неявной формах, и теории Ляпунова-Малкина и Андронова-Хопфа, если эти системы являются системами общего вида, т. е. не допускают первых интегралов, отличных от интеграла энергии, но обладают диссипативными (см. замечания 4.3 и 4.4) свойствами. [c.462]

Аналогичные результаты несколько иным путем были получены И. Г. Малкиным (1937), рассмотревшим, кроме того, случай, когда порядок формы больше т и правые части присоединенной системы имеют переменные коэффициенты, являющиеся ограниченными непрерывными функциями времени. В этой работе Малкин дал обобщение теоремы Ляпунова об устойчивости в особенном подслучае случая одного нулевого корня на случай к нулевых корней, когда уравнения возмущенного движения допускают семейство установившихся движений, зависящее от к произвольных постоянных. Впоследствии М. А. Айзерман и Ф. Р, Гантмахер (1957) показали, что эта теорема Ляпунова — Малкина может быть использована для исследования устойчивости положений равновесия неголономной системы. [c.56]

В теории устойчивости тоже тесно переплетаются разработка общих математических методов и исследование более конкретных механических проблем. Задачи, выдвигаемые различными областями техники, заставили заняться, помимо статической, и динамической устойчивостью не только в рамках аналитической механики неизменяемых систем, но и в теории упругости, в механике жидкостей и газов. Потребовалось применение более строгих математических методов, поэтому были широко использованы замечательные результаты Ляпунова и началось дальнейшее развитие его методов. Оказалось целесообразным применение в различных вопросах разных характе-]шстик устойчивости. Формируется новая научная школа, разрабатывающая этот обширный цикл вопросов. В нее входят и специалисты по небесной механике, для которых устойчивость по Ляпунову, т. е. по отношению к возмущениям начальных данных, имеет особо важное значение (Московская школа — Н. Д. Моисеев, Г. Н. Дубо-шин, Н. Ф. Рейн и др.), и ученые, занимавшиеся общими методами аналитической механики и теории дифференциальных уравнений (Казанская школа — Н. Г. Четаев, Г. В. Каменков, И. Г. Малкин, К. П. Персидский и др.). [c.290]

Начала широкому использованию метода Пуанкаре было положено в тридцатых годах текущего столетия работами Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова и А. А. Витта. Несмотря на то, что эти исследования были посвящены преимущественно радиотехническим проблемам, обнаруженные в их ходе нелинейные явления (мягкое и жесткое возбуждение колебаний, резонанс п-го рода, затягивание и захватывание) носят универсальный характер. Суш,ественное значение, имела также работа Б. В. Булгакова (1942 г.) о колебаниях квазилинейных систем. Значительное развитие метод Пуанкаре получил в исследованиях И. Г Малкина (1944— 1956 гг.), который впервые систематически рассмотрел важный для приложений случай зависимости порождающего решения от произвольного числа параметров ау, обобщив результаты Пуанкаре, изучившего случай зависимости лишь от одного параметра. И. Г. Малкиным получены уравнения типа (50) и (59) для периодических и почтн-периоднческих решеннй квазилинейных и сильно нелинейных систем уравнений как с аналитическими, так и с неаналитическими правыми частями. Кроме того, изучен важный класс нелинейных систем, близких к так называемым системам А. М. Ляпунова решение уравнений (41) в этом случае может представляться рядами по дробным степеням параметра х. В работе Г. А. Мермана (1952 г.) изучен особый случай, когда уравнения типа (50) или (59) удовлетворяются тождественно, так что определитель вида (51) обращается в нуль показано, что в этом случае параметры порождающего решения следует пытаться найти из условий периодичности следующих приближений. [c.64]

Рассмотрим сначала работы, относящиеся ко второму методу Ляпунова, который также называют методом функций Ляпзшова. Здесь прежде всего подлежала изучению проблема существования У-функций, которая самим Ляпуновым не была затронута. Первые результаты по этой проблеме, включая критерии существования функций Ляпунова, получили И. Г. Малкин и К. П. Персидский Последующие исследования И. Г. Малкина изложены в его монографии . За этим последовали значительно продвинувшие вопрос работы Дж. Массера , Е, А. Барбашина , В. И. Зубова (они вошли в его монографию ), И. Н. Красовского (см. соответствующие разделы в его кни- [c.126]

Особо следует остановиться на проблеме устойчивости в целом систем автоматического регулирования. Первый фундаментальный вклад в решение этой проблемы внес А. И. Лурье (1944), который предложил специальный метод (метод квадратичной формы плюс интеграл от нелинейности ) построения функции Ляпунова. Метод Лурье и его работы были изучены и развиты в работах десятков советских и зарубежных исследователей (А. М. Летов, И. Г. Малкин, В. А. Якубович, М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер, С. Леф-шец, Ж. Ла-Салль, Р. Калман, Дж. Пирсон и многие другие). Принципиально новый метод исследования устойчивости систем автоматического регулирования предложил румынский инженер В. М. Попов. Метод частотных [c.128]

Для расширения области применения первого метода Ляпунова в том случае, когда коэффициенты линейной системы постоянны, а нелинейные члены не содержат времени, требовалось дополнить общие результаты Ляпунова исследованием особенных (критических) случаев. Ляпунову принадлежит анализ случая одного и двух нулевых корней (характеристического уравнения матрицы ) и двух чисто мнимых корней. Первые новые важные результаты были получены Г. В, Каменковым и И. Г. Малкиным Они в весьма широких предположениях провели анализ устойчивости при наличии двойного нулевого корня, затем нулевого корня любой кратности, нри наличии двух пар, затем любого числа мнимых корней (предполагается, что все остальные корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части). В тех же работах рассмотрены критические случаи для систем с периодическими коэффициентами в линейных членах и периодическими нелинейными членами (период предполагается одним и тем же для всех pgf и Zfe). Каменков и Малкин дополнили и в этом пункте результаты Ляпунова. [c.130]

Если воспользоваться рассуждениями Курцвейля [14], то теорему 2.5 можно обратить. Здесь мы проведем это обращение при дополнительном предположении о гладкости правых частей изучаемой системы. Предлагаемые рассуждения во МНОГОМ аналогичны рассуждениям, проведенным Массера при обращении теоремы Ляпунова об асимптотической устой чивости (см. Малкин [15], Массера [16]). )( [c.43]

Одним из первых, кто понял большое теоретическое и прикладное значение теории устойчивости Ляпунова, был Н. Г, Четаев. В начале тридцатых годов он организовал в Казани семинар, на котором докладывались работы по устойчивости движения, аналитической механике и качественной теории дифференциальных уравнений. В работе семинара активное участие принимали М. Ш. Аминов, Г. В. Каменков, П. А. Кузьмин, И. Г. Малкин, К. П. Персидский и многие другие. Так образовалось ядро созданной Н. Г. Четаевым и ставшей впоследствии знаменитой Казанской школы устойчивости, особенно прославившейся развитием второго метода Ляпунова. Развитие науки и техники показало, насколько важно было предвидеть необходимость исследований в новой области механики, значение которой было тогда неясным, организовать начало этих исследований и привлечь к ним молодежь. [c.12]

Важным для обоснования универсальности метода функций Ляпунова является вопрос об обратимости основных теорем, лежащих в основе этого метода. Действительно, если вторым методом Ляпунова пользоваться как основным при решении задач устойчивости, то должна быть уверенность, что соответствующие функции в самом деле существуют. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопроса о существовании в общем случае функций, удовлетворяющих его основным теоремам. Этот вопрос впервые был поставлен Н. Г. Четаевым перед участниками его семинара по устойчивости в Каэаня и к настоящему времени разрешен трудами ряда советских и иностранных ученых. Первой работой в этой области была статья И. Г. Малкина (1930), в которой рассматрива лись автономные системы второго порядка. Было показано, что для устойчивого установившегося невозмущенного движения может не существовать знакоопределенной не зависящей от времени функции, производная которой в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной противоположного знака однако можно найти такую функцию, зависящую явно от времени. [c.18]

Задача Айзермана для случая ге = 2 исследована Н. П. Еругиным (1950, 1952), указавшим многие случаи, когда задачи (а) и (б) имеют положительное решение. Для решения этой задачи он применил качественные методы исследования траекторий на плоскости х , х . Эти работы привлекли внимание многих ученых как к этой задаче, так и вообще к задачам устойчивости в целом. Построением функций Ляпунова по методу Лурье И. Г. Малкин (1952) показал, что для случая п — 2 задача (б) имеет [c.45]

Из результатов Я. Курцвейля (1956) и X. Массера (1956) следует, что если невозмущенное движение (периодическое или установившееся) асимптотически устойчиво, то существует функция Ляпунова, которая обладает всеми свойствами из теоремы II Ляпунова и имеет ограниченные частные производные по переменным х , т. е. удовлетворяет всем условиям теоремы Малкина. Отсюда сразу следует, что для устойчивости устайо- [c.52]

Некоторое уточнение формулировки этой теоремы сделано В. Н. Постниковым (1942). Доказательство И. Г. Малкина (1942, 1952) дано небезупречно, что отметили Н. П. Еругин и Г. В. Каменков. Во. втором издании книги И. Г. Малкина (1966) неточность исправлена. Обсуждаемая теорема известна в литературе под названием принципа сведения . Для рассмотренных Ляпуновым критических случаев этот принцип фактически был им введен и играет центральную роль при изучении критических случаев всеми последующими авторами. В процессе использования принцип сведения подвергся различным усовершенствованиям. В последнее время этот принцип получил весьма существенное развитие в работах [c.57]

V ( , 1,. . ., х ), решающую вопрос (это наблюдается и в других исследованиях сомнительных случаев, как, например, в работах И. Г. Малкина, Г. В. Каменкова), но в случае неасимптотической устойчивости всегда привлекается первый метод здесь в окрестности точки покоя появляется и интегральное многообразие (состоящее из интегральных кривых), которое оказывается асимптотически устойчивым. Хотя, как теперь доказано (Н. Н. Красовский, 1959), и в случае неасимптотической устойчивости существует функция Ляпунова, решающая вопрос, но мы не знаем, как ее построить. [c.73]

М. А. Айзерман и Ф. Р. Гантмахер (1957) заметили, что возникающий в случае исследования устойчивости состояния равновесия неголономной системы критический случай теории устойчивости относится как раз к тому частному случаю, который был полностью исследован А. М. Ляпуновым и И. Г. Малкиным. В связи с этим Г. Н. Князев (1963) предложил считать критическими случаями лишь такие, когда число нулевых корней характеристического уравнения больше числа уравнений неголономных связей, и рассмотрел случай, когда число нулевых корней больше числа уравнений неголономных связей на единицу. Ю. И. Неймарк и Н. А. Фуфаев (1965—1966) обратили внимание на то, что неголономная система не может иметь изолированных состояний равновесия, что состояния равновесия неголономной системы образуют многообразие, размерность которого в общем случае совпадает с числом нулевых корней и числом неголономных связей. Это позволило установить условия асимптотической устойчивости многообразия состояний равновесия по линейному приближению и выяснить особенности поведения неголономной системы по отношению к постоянно действующим возмущениям. [c.177]

Аналитическое исследопаиие устойчивости по Ляпунову постоянных осей вращения можно найти, напрнмер, в книге Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М. Наука, 1966, изд. 2. (Прим. перев.) [c.122]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...