Соболева производная

Пространство (И 2 ( 2)) — пространство С. Л. Соболева вектор-функций и = нг , компоненты которых заданы в 2, суммируемы с квадратом и имеют первые производные, суммируемые с квадратом. Для краткости обозначим это пространство буквой V. [c.42]

Пусть fVj [О, п ] — пространство Соболева, состоящее из заданных на сегменте [О, л] комплекснозначных ф-ций, к-рые имеют т — 1 абсолютно непрерывных производных и производную порядка т, суммируемую на сегменте [О, я]. Если q(x)elV [О, тс], то собств. значения [c.476]

Если функция / [х, у) лишь непрерывна, то формула (2) п. 5, вообще говоря, несправедлива, так как в этом случае функция Р (х, у) может не иметь частных производных по х и г/ в обычном смысле. Но можно обобщить понятие частных производных таким образом, чтобы функция Р (х, у) оставалась дифференцируемой и в этом случае. А именно, если понимать частные производные в смысле С. Л. Соболева, то в случае, когда функция / (х, у) лишь непрерывна, равенство (2) п. 5 имеет место почти всюду в 8. Более того, это равенство имеет место почти всюду в 8, если функция / (ж, у) лишь интегрируема по Лебегу. Доказательство этих результатов дано И. Н. Векуа [8]. [c.669]

Еще один вид уравнений, характерных для конечного плоского слоя, — уравнения с производными по длине промежутка интегрирования в интеграле в (59), т. е. по оптической толщине слоя. Непосредственно дифференцируя (59) по то и применяя те же рассуждения, что и при выводе соотношения Соболева для полупространства, получаем [c.133]

В главе 1П даются краткие сведения из теории пространств Соболева и коэрцитивных форм, необходимые для применения развиваемой теории метода конечных элементов к численному решению уравнений в частных производных. Здесь же на двух примерах рассмотрены вопросы существования и единственности обобщенных решений уравнений в частных производных. [c.6]

ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [c.54]

Наложение ограничений на непрерывность производных приводит к подмножеству пространств, которые называют пространствами Соболева. Пространство W2 содержит все функции, у которых дополнительно квадрат первой производной интегрируем. [c.22]

Здесь Н Р) — пространство Соболева, т. е. множество функций, которые вместе со своими первыми производными интегрируемы с квадратом и на границе Г области Р обращаются в ноль. [c.61]

Отсюда следует, что если оператор А имеет порядок 2й, то слабая форма (3.22а) требует, чтобы решение и имело измеримые производные порядка 2к, что в терминах пространства Соболева (см. гл. 5) можно Записать как и е (Я). Однако вторая слабая форма задачи (3.22Ь) требует только, чтобы и 2 Я), для пробных функций V — наоборот. Дополнительное требование обращения в нуль V на границе обычно — как [c.61]

Пространство Соболева й р (й) есть пространство всех распределений, которые (вместе со всеми обобщенными производными порядка 4 т) порождаются функциями, принадлежащими пространству 1 . Это банахово пространство с нормой [c.16]

В этом смысл замечательного неравенства Соболева, связывающего два свойства непрерывность и конечность энергии производных. Если V е и 5 /г/2, то гарантировать непрерывность [c.92]

Замечание 1. Предположение 0 с к — п12 необходимо для того, чтобы определить интерполянт ы/. Лемма Соболева (упоминаемая в разд. 1.8) гарантирует, что для функции и х, ..., Хп), обладающей к суммируемыми в квадрате производными, производная О и корректно определена в любой точке [c.172]

Укажем две группы важных теорем об этих пространствах, правда, вспомогательного характера для данной книги. Одна группа характеризуется неравенством Соболева (стр. 92, 170) и отвечает иа вопрос принадлежат ли производные порядка 2 пространству 1р если производные порядка (целого или нет) принадлежат 1 Иными словами, какое функциональное пространство содержит другое функциональное пространство (Соболев 5 содержит тогда и только тогда, когда 5 — д> п/2.) Вторую группу теорем составляют теоремы о следах пусть и — функция в 2/6 , насколько гладки ее граничные значения, рассматриваемые как функция на Г Грубо говоря, эта функция принадлежит (Г). Поэтому — подходящее [c.337]

Для целого т > О пространство Соболева (ii) состоит из функций V е I2( )> все частные производные которых (в смысле обобщенных функций) Э и принадлежат 2 (S2) при а [c.16]

Фреше 119 производный элемент 166 простая жидкость 231 простое твердое тело 231 простой материал 227 пространственные координаты 15 пространство Соболева 112 прямая сумма 39 [c.458]

Здесь р — плотность резины, f(r, t) — поле внешних массовых сил, /г(г, t) — неопределенный множитель Лагранжа соответствующей голономной связи, W 4(Q) — пространство Соболева векторных функций, компоненты которых и их первые производные суммируемы в четвертой степени. На этом пространстве определен функционал потенциальной энергии деформаций резины, и в него вложено конфигурационное пространство системы, определяемое голономной связью (несжимаемость резины). Скорости точек упругого тела принадлежат пространству векторных функций Ь2(П), на котором определен функционал кинетической энергии. Заметим, что голономная связь в данном случае (условие несжимаемости резины) определена на пространстве векторных функций У з(0), [c.281]

Особый интерес представляет найденный и развитый далее Я. Б. Зельдовичем, А. С. Компанейцем, Г. И. Баренблаттом и М. И. Вишиком факт существование конечной скорости распространения возмущений при нулевом начальном значении v (О, х) = Q для ф (и) = и более общего случая нелинейного уравнения типа уравнения теплопроводности. При этом решение является обобщенным (в смысле С. Л. Соболева) будучи непрерывным, оно имеет разрывную производную в точке v = 0 но непрерывную величину дц> (v)/dx, пропорциональную расходу жидкости или газа обобщенное решение удовлетворяет некоторому интегральному соотношению. В случае фильтрации воды из канала в грунт получается язык воды [1, с. 169 скоростью [c.209]

Задачи механики сплошных сред сводятся,к дифференци--альным уравнениям в частных производных, которые необходимо интегрировать при определенных краевых условиях. Приближенное решение краевых задач во многих случаях удается получить с применением так называемых прямых методов. По определению С. Л. Соболева, прямыми называются такие методы приближенного решения задач теории дифференциальных и интегральных уравнений, которые сводят эти задачи к конечным систейам алгебраических уравнений. В теории и практике применения прямых методов особое место занимают два метода метод Ритца и метрд Галеркина. [c.153]

Пространства Соболева. По определению, производная d f обобщенной функции f D G) для каждого мультииндекса s задается формулой [c.27]

Определение (10.14) имеет смысл, если / дифференцируема по а и Р другими словами, didw следует понимать как обобщенную производную Соболева или ареоларную производную Помпью (Векуа [19]). [c.211]

Последнее определение имеет смысл, если / дифференцируема по а и (3 в противном случае д/д ш следует понимать как обобщенную производную Соболева или ареолярную производную Помпью [38]. Очевидно, что соответствующим подбором 2, Н можно добиться того, чтобы любая дифференцируемая функция от а и (3 удовлетворяла уравнению (10.15). Но это нецелесообразно, ибо обобщенные аналитические функции полезны, когда имеется полностью весь класс функций, удовлетворяющих уравнению (10.15) с фиксированными 2 (Л может меняться). [c.362]

Л. Н. С л о б о д е ц к и й. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных. Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им, А. И. Герцена 197, 54—112 (1958). [c.416]

Однако эта функция не приводится к суперпозиции экспонент, и поэтому теория, изложенная в главе 3, приложима к рассматриваемому случаю не полностью. Выполняются равенство Гоо (т", ri) = Фоо( г Ti ) и соотношения Соболева, выражающие резольвенты уравнений для полубесконечной и конечной сред через резольвентные функции. Можно ввести преобразования Лапласа от резольвенты и резольвентной функции, в частности Н-функцию. Остаются справедливыми выражения для двустороннего преобразования Лапласа от Фс ) и соотношение Винера—Хопфа, а также уравнения, содержащие производные по толщине слоя го- Однако преобразование Лапласа от ядерной функции не является интегралом типа Коши. Явное выражение для ii-функции можно записать в том же виде, что и для неподвижной среды, но обратить преобразования Лапласа от резольвентных функций и представить их в виде, удобном для вычисления и исследования, в общем случае не удается. Поэтому асимптотическую теорию для рассеяния в дви-жухщосся средах нельзя построить так, как это было сделано для сред без учета их движения. [c.246]

Сделаем несколько замечаний, касающихся физической интерпретации функций, принадлежащих рассмотренным выше функциональным пространствам. При классической постановке задач теории упругости все величины, характеризующие напряженно-деформированное состояние, должны выражаться достаточно гладкими функциями [299, 373, 505, 571]. Функциональные пространства гладких функций имеют достаточно] простой физический смысл. Физические величины, описываемые такими функциями, непрерывны и обладают непрерывными производными до некоторого порядка. К сожалению, в большинстве встречающихся на практике случаев это требование не выполняется и корректного решения таких задач в классической постановке не существует. Для математического Исследования и разработки эффективных методов решения таких задач рассматриваются яеклассические (слабые) формулировки. В этом случае все известные и неизвестные величины предполагаются принадлежащими пространствам Соболева с индексом из множества действительных чисел. Эти функциональные пространства, в частности, содержат и гладкие функции. Такой подход к задачам динамической теории упругости впервые применялся в [354], . [c.87]

Функциональные пространства Соболева с целым положительным индексом описывают физическйе величины, которые могут иметь разрывы (скачки), а производные от них не существуют в классическом смысле. Пространства Соболева с целым отрицательньш индексом, как отмечалось выше, представляют собой пространства обобщенных функций. К этим функциональным пространствам принадлежат физические величины, которые сосредоточены в точках или на поверхностях (например, сосредоточенные силы, моменты сил и т. д.). Пространства Соболева с целым (положительным и отрицательным) индексом достаточно хорошо изучены и применяются при исследовд-нии различных физических процессов [56, 57, 166, 211, 244, 283, 850, 413 и др.]. [c.87]

Пространства Соболева с дробным индексом, в частности, описывают свойства функций принадлежащих границе области или любому другому многообразию меньшей размерности, содержащемся в области. Остановимся более подробнее на этом вопросе. При изучении краевых задач для дифференциальных уравнений с частньши производными приходится говорить о качениях функций, принадлежащих пространствам Соболева (например Н (V)), принимаемых на границе дУ. Если функция / (ж) б Н (У) непрерывна вплоть до границы, то [c.87]

Больщое место в книге уделено изучеиию конкретных физических задач. Их исследование проведено с использованием самых современных средств математики. Так как книга предназначена для щирокого круга читателей - математиков, механиков, физиков, инженеров, то часть I книги носит вспомогательный характер и посвящена.изложению в сжатом виде важнейших фактов функционального анализа, теории обобщенных функций и пространств Соболева, теории полугрупп а также теории обобщенных решений краевых задач для уравнений с частными производными. Эти факты существенно используются в дальнейшем. Указаны руководства, по которым с этими разделами математики можно познакомиться более детально. [c.5]

В то время как в лредыдущих примерах пространства V содержались в пространстве Нчр.), в последних примерах рассматриваются пространства Соболева, включающие производные второго порядка. Положим [c.38]

Рассмотрим пространство Соболева W -p(Q). которое для всякого целого числа /п О и всякого числа р, удовлетворяющего условиям Is p oo, состоит из тех функций ug / (Q), для которых все частные производные d v (в смысле обоб1ценных функций) ири а <т принадлежат пространству / (Q). С нормой [c.116]

V) Для чего требуется вводить промежуточное пространство -1, Р(/ )р зсех р Р ( ) функция (р—Пр) — также многочлен степени /г. Так как, с другой стороны, квадратурная схема точна для многочленов степени (2 —2), то для применения леммы Брэмбла — Гильберта к линейной форме (/(р —Пр)) необходимо, чтобы функция f выбиралась из пространства Соболева, включающего все ее производные до порядка ( —1) включительно и не более. [c.198]

Запас функций /, даваемый теоремой 3, достаточно велик. Во всяком случае он содержит класс Шварца 5(Ж) и тем более Со (М). Ясно также, что функция / удовлетворяет (6), коль скоро / принадлежит классу Соболева УУ2 (М) при 2а > 1. Для таких / мера т в (6) абсолютно непрерывна и производная с1т1сИ квадратично интегрируема с весом (1-Н ) 1 а потому и суммируема. Тем самым локально (т.е. на любом ограниченном интервале) заведомо достаточно, чтобы функция / имела две ограниченные производные. [c.345]

Здесь U2(xi, t) обозначена через v(s, t), a X — через s. Функции v(s, t), 8u(s, t) принадлежат конфигурационному пространству Я2 = О- t) e WiuO, 11), f(0, t) = v l, t) = 0 , если концы балки закреплены. Здесь И ([0, /]) — пространство Соболева функций, суммируемых вместе с квадратами вторых производных на отрезке [О, /]. Поскольку [c.247]

Из выражения вариации силового функционала следует, что функции К(г, 0. бК(г, t) принадлежат функциональному пространству X, совпадающему с областью определения силового функционала и вложенному в пространство ЬгСП). Свойства этого пространства зависят от выбранной модели, описывающей потенциальные силовые поля. Например, для классической теории упругости малых деформаций (функционал Е[и], определяемый формулой (9.2.4)) область определения силового функционала есть пространство Соболева Уг(П). В случае теории упругости малых, но конечных деформаций (формула (9.2.3)) функционал потенциальной энергии деформаций определен на пространстве Соболева У4(П), состоящем из векторных функций, имеющих суммируемые первые производные в четвертой степени. [c.277]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...