Производная тензорная

Однако для абсолютной производной тензорного поля мы получаем, например, [c.29]

Из (4.22) также следует формула для ковариантных производных тензорного произведения тензоров и Тр, , [c.106]

TO этот тензор f, x (X) называется производной тензорной функ- [c.19]

Производные тензорной функции могут быть образованы таким же образом, например [c.17]

Данное выражение для ковариантной производной тензорной плотности ранга 1 легко обобщить на тензорную плотность произвольного ранга. Для тензорной плотности ранга 2 имеем, например [c.242]

Это определение, уже известное для скалярной функции, распространяется, таким образом, на векторные, точечные и тензорные функции. Производная il3, которая является скаляром для скалярных функций, представляет собой вектор для векторных и точечных функций и тензор для тензорных функций. Мы уже встречались с примерами таких производных в гл. 1. [c.78]

Прежде чем перейти к дальнейшему рассмотрению, необходимо ввести два простых математических понятия, а именно производные скалярной функции по векторному и тензорному аргументам. [c.159]

Тензорные поля. Абсолютный дифференциал и ковариантная производная. Геодезические кривые [c.385]

Следующим шагом на пути обобщений является превращение неинвариантного равенства (IV. 165) в инвариантное, т. е. тензорное равенство, согласно основному принципу инвариантности аналитических формулировок основных законов природы, о котором шла речь выше. Чтобы пройти этот этап, надо построить тензор второго ранга с компонентами, содержащими вторые производные от компонент метрического тензора. [c.530]

Пусть теперь задано поле некоторой скалярной (типа температуры) или тензорной величины f = f x, t) как функции эйлеровых переменных и пусть требуется вычислить скорость изменения этой величины для конкретной физической частицы, находящейся в данный момент времени t в данной точке х пространства. При решении этого вопроса х константой считать нельзя, так как координаты частицы меняются во времени, и, следовательно, f = f(x(t), t). Производная этой функции по времени [c.6]

Этот тензор назовем тензорной производной тензора А . Это правило имеет место для любого тензора 4 . Действительно, [c.353]

Вторая — тензорную производную [c.356]

V (VS) определятся формулами (6.68), если в них вместо 0 подставить VS. При этом производные в формулах (6.67) и (6.68) необходимо заменить ковариантными производными ковариантных векторов по формуле (2 .60). В результате тензорное уравнение (6.25) можно заменить тремя векторными уравнениями [c.128]

Ковариантное дифференцирование пригодно для любой системы координат и имеет тензорный характер. Поэтому, выражая какую-либо векторную операцию через ковариантные производные, получим выражение, справедливое в любой системе координат. [c.416]

В тензорном анализе вводится понятие ковариантной производной, которая представляет собой тензор. Ковариантная производная ковариантного вектора Л равна [c.129]

Тензорные уравнения замкнутости закрытых кинематических цепей в форме (3.21), (3.24) или открытых кинематических цепей в форме (3.20) содержат всю информацию о параметрах движения этих цепей. Для определения, например, абсолютных и относительных перемещений звеньев конкретной цепи необходимо заменить входящие в перечисленные уравнения тензоры отображающими их матрицами и после осуществления операций умножения матриц и приравнивания соответствующих элементов правой и левой частей получить систему алгебраических уравнений, решение которой даст возможность определить перемещения звеньев. Как известно, скорости и ускорения движения звеньев и их точек представляют собой соответственно первые и вторые производные по параметру времени от перемещений звеньев. Дифференцируя дважды по параметру времени полученную систему алгебраических уравнений, получим соответственно две системы уравнений одну для определения ускорений, другую для определения скоростей. Разумеется, первая система может иметь коэффициенты, зависящие от величины перемещений, которые следует считать известными после решения исходной системы уравнений. Аналогично коэффициенты системы линейных уравнений для определения ускорений могут содержать величины перемещений и скорости звеньев. Решение линейных систем не представляет принципиальных трудностей и может быть осуществлено по методам Крамера (при помощи определителей) или Гаусса (при последовательном исключении неизвестных). Иллюстрация изложенного дана на примерах (см. 3.4). [c.46]

Возможен и другой путь составления уравнений для определения скорости и ускорений движения механизмов и кинематических цепей. Соотношения между скоростями, ускорениями, перемещениями звеньев и постоянными их параметрами могут быть получены путем дифференцирования по параметру времени тензорных уравнений (3.20), (3.21), (3.24) и т. д. Такие производные, очевидно, многокомпонентных произведений тензоров, входящих в уравнения, будут содержать в качестве сомножителей в правой и левой частях уравнений как сами тензоры, так и их производные первого порядка в уравнениях для определения скоростей и производные первого и второго порядка в уравнениях для определения ускорений. [c.47]

Координаты Римана определяются как произведения единичных векторов i , касательных к геодезическим линиям данного пространства, проходящи.м через начало координат, на путь S х = S (/ = 1, 2,..., п). В этих координатах уравнение геодезических линий имеет простой вид d xi dS = О, причем ковариантные производные от тензоров сводятся к обы ным производным. Подробнее см. П. К. Р а ш е в с к и й. Введение в риманову геометрию и тензорный анализ, изд. 1-е, ОНТИ, 1935, стр. 95. [c.911]

Понятие ковариантная производная понимается здесь в более общем смысле, чем в тензорном анализе, h называется ковариантной производной ввиду того, что она обладает теми же трансформационными свойствами, что и h. [c.911]

Здесь необходимо отметить одно очень существенное обстоятельство. Если сравнить информацию, необходимую для однозначного определения поля температур в области элемента в случае задания на части границы температуры и ее нормальной производной и в случае задания температуры и тензора деформаций, то можно заметить, что роль скалярной функции в первом случае (градиент температуры) во втором случае выполняет тензорная функция (тензор деформаций). Отсюда ясно, что информация [c.83]

В тензорной форме записи система уравнений после исключения вектора М принимает вид (опуская знак тильды в обозначении локальной производной) [c.164]

Заметим, что V-(pvv) и V-П — не простые дивергенции из-за тензорной природы pvv и П. Уравнение (2.1.5) можно преобразовать, используя уравнения неразрывности и определение субстанциональной производной векторного поля, а именно [c.40]

Ковариантные производные являются тензорными величинами. Например, ковариантные производные контравариантных компонент вектора есть [c.61]

III.4. Дифференцирование базисных векторов. Проведение операций векторного и тензорного анализа в криволинейных координатах усложняется необходимостью учета изменяемости векторного базиса е , обязательно знание выражений производных этих векторов по координатам q . [c.854]

Область определения функционала (1)—множество непрерывных или непрерывно-дифференцируемых функций и(х) (возможно, векторных или тензорных), определенных в области Q п-мерного (чаще всего одно-, двух- или трехмерного) евклидова пространства. Функция может зависеть не только от функции и, но и от ее частных производных. [c.13]

Дифференцирование векторов и тензоров. При отыскании производных от векторных и тензорных полей в криволинейных координатах приходится учитывать то обстоятельство, что координатные векторы являются переменными величинами. Различие координатных систем в точках а и а + da приводит к тому, [c.211]

Приведенные выще результаты для векторных полей с помощью изложенного выше метода (несколько модифицированного) могут быть немедленно обобщены на случай тензорных полей любого ранга при наличии временных производных. Приведем результаты для тензор иых полей второго ранга. Если справедливо условие [c.406]

В (12.81) или (12.82) будут присутствовать также (не выделенные пока) материальные постоянные среды. Если их возможно представить скалярным телесным метрическим полем, то такой материал целесообразно называть изотропным. Если такое представление невозможно и требуются тензорные телесные поля, не являющиеся изотропными, то такие материалы следует называть анизотропными В случае, когда материальные постоянные можно представить телесными полями, не зависящими от времени, то говорят, что реологические свойства материалов не изменяются со временем. Если материальные постоянные выражаются через телесные поля, ковариантная производная которых (образованная с помощью телесного метрического тензора) равна нулю, то среда считается гомогенной. Если телесный метрический тензор зависит от времени, то среда, гомогенная в какой-то момент времени в общем случае, в другой [c.413]

Из тензорного анализа известно, что ковариантная производная тензора по а выражается в виде [c.106]

Эта формула позволяет вьршслять полную производную тензорного поля по времени в эйлеровых координатах. Затем, учитывая, что [c.36]

Любое реологическое уравнение состояния, записанное в терминах тензорных компонент в конвективной системе координат, автоматически удовлетворяет принципу объективности поведения материала [1, р. 46]. Из этого в литературе часто незаконно делают вывод, что такие уравнения, записанные в некоторой алгебраически простой форме, имеют некий особый физический смысл. Предположения о линейности , которые типичны для старых неинвариантных формулировок линейной вязкоупругости, были сделаны инвариантными относительно системы отсчета при помощи метода конвективных координат и, следовательно, предполагались физически реальными, хотя имеется бесчисленное количество других возможностей удовлетворить принципу объективности поведения материала, равно подтверждаемых (или не подтверждаемых) с феноменологической точки зрения. Смешение систем координат и систем отсчета оказывается даже более вопиющим в некоторых опубликованных работах, основанных на методе конвективных координат, а различие между тензорами (как линейными операторами, отображающими евклидово пространство само в себя) и матрицами тензорных компонент часто совершенно игнорируется. Наконец, конвективным производным часто приписывался некоторый особый физический смысл, и бесплодные дискуссии о том, что они являются истинными временными производными, были вызваны неправильным толкованием метода конвективных координат. В данном разделе мы собираемся осветить этот вопрос в соответствующей перспективе и указать некоторые распространенные ошибки, встречаюпщеся при применении данного метода. [c.111]

Но выражения для потоков могут содержать в себе также и члены с производными скорости. С помощью производных первого порядка, dvildxk, можно образовать лишь тензорные величины это — вязкий тензор напряжений, входящий в состав тензора плотности потока импульса. Величины же векторного характера можно составить из производных второго порядка. Так, в векторе плотности диффузионного потока появятся члены [c.328]

Полное ускорение V вычислялось при условии наблюдения за движением индивидуальной частицы среды (субстанции) поэтому полное ускорение V называют еще иногда индивидуальным или субстанциональным. Вообще, полную производную от скалярной, векторной или тензорной функций также называют индивидуальной (субстанциональной) производной, вводя для нее обозначения DjDt, иногда Сохраним для индиви- [c.338]

ММ свертываются с величинами daijuldx . Тогда на основании обратного тензорного признака величины da ldXs являются компонентами тензора четвертого ранга, который называется абсолютной производной тензора поля. [c.404]

На основании обратного тензорного признака выражения в скобках равенств (2 .57) и (2 .58) представляют собой компоненты тензоров второго ранга, которые называются ковариаятными абсолютны-ии) производными вектора а. Для них принимают следующие обозначения. [c.414]

Осреднение по фазам производных по времени и пространственным координатам. Для любой дифференцируемой скалярной, векторной или тензорной функции фг и фиксированного в пространстве элементарного макрообъема 6F = 6Fi(i)+6F2(i) = = onst, ограниченного поверхностью 65 = 65i(f)+652(i)= onst, справедливо следующее равенство [c.50]

В дальнейшем исчезает необходимость говорить о сильных тензорах. Тем не менее, вследствие зависимости фундаментального тензора от времени необходимо некоторое изменение тензорного аппарата. Заметим, что если 5 есть тензорное поле, то dSldi также является тензорным полем. Обычное определение ковариантной производной сохраняется, например [c.28]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

Одних только уравнений движения сплошной среды в напряжениях и уравнений несжимаемости недостаточно для нахождения поля скоростей (или поля смещений). Для определенности задачи необходимо еще охарактеризовать соотношение между компонентами тензора скоростей деформации (или тензора деформации или, в общем случае, некоторого кинематического тензора, построенного с помощью этих тензоров) и компонентами тензора напряжений, причем эти соотношения должны обладать некоторыми свойствами, определяемыми тензорностью величин. Связь между напряжениями, деформациями и их производными по времени называется уравнением (функцией) реологического состояния. Важным частным случаем уравнения состояния является уравнение течения, которое определяет собой зависимость между скоростями деформаций и напряжениями. Ниже рассматриваются, во-первых, задачи в условиях простого напряженного состояния, когда существует лишь одна составляющая тензора напряжений и соответствующая ей составляющая тензора скоростей деформаций, во-вторых (за исключением, когда это особо не оговаривается), только те случаи, когда скорость деформации — непрерывная однозначная 12 [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...