ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Принцип Якоби из "Теоретическая механика " Следовательно, выражение принципа Лагранжа не будет отличаться от ранее рассмотренного (при Т = Т так же мы докажем, что первая вариация функционала обращается в нуль, но теперь для доказательства минимальности интеграла нужно будет исследовать знак второй вариации, так как подынтегральная функция, равная 2Тг,- -Т1, может не быть знакоопределенной положительной. [c.257] Обращаясь к принципу наименьшего действия Мопертюи — Эйлера — Лагранжа (см. 17, гл. IV), Якоби замечает, что почти во всех учебниках, даже и в лучших, как Пуассона, Лагранжа и Лапласа, этот принцип представлен так, что, по моему мнению, его нельзя понять ([38], шестая лекция). Упрек Якоби относится, главным образом, к тому, что в изложении того времени была неясной связь принципа наименьшего действия с теоремой живых сил (с интегралом энергии). Кроме того, Якоби указывает на неудачное название самого принципа и связанное с этим неправильное понимание его сущности. [c.257] Все это побудило Якоби видоизменить принцип, исключив время с помощью интеграла энергии. Принцип наименьшего действия стал в руках Якоби чисто геометрическим принципом, приобретя при этом необыкновенную ясиосгь и прозрачность. Поэтому принцип наименьЕюго действия в форме Якоби обычно называют принципом Якоби. [c.257] Пусть в конфигурационном пространстве начальная и конечная конфигурации системы изображаются точками Рх и Р соответственно (см. рис. 4.17, где условно изображена система координат в конфигурационном пространстве в виде прямоугольной декартовой системы). Сплошная линия, соединяющая точки и Рг, есть отрезок траектории изображающей точки в лействи-тельном движении штриховые линии изображают окольны пути. Введем параметр а так, чтобы каждому положению изображающей точки отвечало некоторое значение о. В точке Р параметр а равен Ох, в точке Рг равен Ог. Пусть ОхСОг. Таким образом, параметр а, непрерывно возрастая от значения ох до значения Ог, однозначно определяет положение изображающей точки как на действительном пути, так и на любом окольном . [c.259] Обычным способом варьируем функционал, заменив изохронную вариацию вариацией изопараметрической , т. е. сравнивая значения обобщенных координат и производных д в действительном движении и в движении по окольным путям при одном и том же значении параметра о. [c.260] В этом случае интеграл (4.159) пропорционален длине дуги, элемент которой равен 5, а решение системы дифференциальных уравнений (4.163) будет описывать геодезические линии в пространстве конфигураций. Следовательно, если силовое поле отсутствует, то механическая система движется так, что траекторией изображающей точки в пространстве конфигураций будет геодезическая линия. [c.261] Здесь и есть потенциальная энергия точки, Яо —полная механическая энергия, 5 —элемент дуги траектории ds = vdt). Выражение принципа Якоби совпадает с выражением известного интегрального вариационного принципа Ферма, относящегося к лучевой оптике и устанавливающего связь между формой лучей и вpL мe-нем распространения света. Форма лучей (траекторий), по которым распространяется свет в оптически неоднородной среде, должна быть такой, чтобы время распространения света было наименьшим. Поэтому принцип Ферма называют часто принципом скорейшего прибытия. [c.262] Это есть одно из проявлений оптико-механической аналогии, развитой Гамильтоном (см. гл. V, 1). [c.263] Проиллюстрируем аналогию на простом примере. [c.263] Постоянное слагаемое Eo — nl/ 2k ) можно во внимание не принимать, так как потенциальная энергия определяется с точностью до постоянного слагаемого. Следовательно, свет в среде с показателем преломления п = По +г/г) будет распространяться по кривым, совпадающим по форме с траекториями материальной точки в поле тяготения, т. е. по коническим сечениям (эллипсам, в частности) с фокусом в центре Земли (см. решение задачи Кеплера в гл. И1). Наблюдатель, находящийся в точке Рг, увидит скрытый от него предмет Р, в положении Р[ (рис. 4.18). Таким образом, опираясь на оптико-механическую аналогию, мы можем объяснить явление миража. [c.263] Вернуться к основной статье