Принцип Мопертюй-Лагранжа-Якоби

Для такой системы функционал принципа Мопертюи-Лагранжа-Якоби представляется в виде [c.617]

Следствие 8.12.2. Для системы материальных точек функционал принципа Мопертюи-Лагранжа-Якоби приводится к виду [c.618]

Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии h уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби Р, а роль независимой переменной играет обобщенная координата qi. По аналогии с действием S по Гамильтону введем действие по Лагранжу [c.483]

Отметим, что в интеграле (3) полностью исключено время, и принцип (4) содержит только геометрические элементы. В такой форме принцип Мопертюи-Лагранжа впервые был представлен Якоби. Поэтому приведенную выше формулировку принципа Мопертюи-Лагранжа часто называют принципом наименьшего действия Якоби. [c.484]

Г. Принцип наименьшего действия в форме Мопертюи— Эйлера—Лагранжа—Якоби. Пусть теперь функция Гамильтона Н (р, д) не зависит от времени. Тогда Н (р, д) есть первый интеграл уравнений Гамильтона (1). Спроектируем поверхность Н р, д) = h пз расширенного фазового пространства ( , д, i) в пространство (р, g) . Получится 2п — 1-мерная поверхность Н (Р, д) = h в R ", которую мы уже рассматривали в пункте Б и которую мы обозначили М . [c.215]

Исторически принцип Мопертюи (предложение 12) предшествовал более простому принципу стационарности действия Гамильтона. Фактическое содержание этого принципа не было совсем ясным Мопертюи. Юч-ная формулировка, приведенная в тексте, принадлежит Якоби и его предшественникам Эйлеру и Лагранжу ([42 ). [c.42]

Монография Н. Е. Жуковского О прочности движения (1882) содержит теорию устойчивости траекторий динамических систем, которую сейчас называют теорией орбитальной устойчивости. Этот труд систематизирует и пополняет результаты В. Томсона и П. Тэта, изложенные в их известном Трактате натуральной философии Для Томсона и Тэта отправным пунктом была теория кинетических фокусов К. Якоби, намеченная в его Лекциях по динамике . Якоби, исходя из наглядных геометрических соображений, показал, что на истинной траектории динамической системы действие , которое Входит в интегральные вариационные принципы механики (П. Мопертюи, Л. Эйлер, Ж. Лагранж), не обязательно минимально. Томсон и Тэт связали эти результаты с теорией устойчивости, показав, что минимальность действия на траектории влечет за собою устойчивость последней, тогда как стационарность действия на траектории,— а только к этому должен сводиться вариационный принцип механики,— оставляет вопрос об устойчивости траектории открытым, Жуковский справедливо оценил те несколько страниц из Трактата натуральной философии Томсона и Тэта, которые уделены авторами исследованию прочности (Жуковский пользуется этим термином вместо устойчивости), как только легкий набросок, в котором указываются пути для более обстоятельного исследования . [c.122]

Развитие принципа наименьшего действия связано с именами П. Л. Мопертюи (1698— 1759), Эйлера, Лагранжа, К. Г. Якоби (1804 — 1851). Существенный вклад в развитие аналитической механики на основе сформулированного им принципа был сделан У. Р. Гамильтоном (1805— 1865). Независимо от Гамильтона этот принцип несколько позднее был разработан Остроградским, который применил его для более широкого класса задач. Этот наиболее важный и общий принцип получил название принципа Гамильтона — Остроградского. [c.12]

Фактическое содержание этого принципа не было совсем ясным Мопертюи. Точная формулировка, приведенная в тексте, принадлежит Якоби и его предшественникам Эйлеру и Лагранжу. [c.153]

Обращаясь к принципу наименьшего действия Мопертюи — Эйлера — Лагранжа (см. 17, гл. IV), Якоби замечает, что почти во всех учебниках, даже и в лучших, как Пуассона, Лагранжа и Лапласа, этот принцип представлен так, что, по моему мнению, его нельзя понять ([38], шестая лекция). Упрек Якоби относится, главным образом, к тому, что в изложении того времени была неясной связь принципа наименьшего действия с теоремой живых сил (с интегралом энергии). Кроме того, Якоби указывает на неудачное название самого принципа и связанное с этим неправильное понимание его сущности. [c.257]

Следствие 8.12.3. (Принцип Якоби). Пусть система с го-лономными связями находится под действием потенциальных в обычном смысле) сил, а связи не зависят явно от времени. Тогда функцгюнал принципа Мопертюи-Лагранжа-Якоби представляется в форме [c.619]

Согласно принципу Мопертюи-Лагранжа-Якоби, если 7 [а, 6] — траектория системы с энергией /г, то она является геодезиче- [c.148]

Вариационный принцип Мопертюи — Лагранжа. Рассмотрим теперь координатное пространство q и будем считать, что ось в этом пространстве играет такую же роль, какую в общем случае в расширенном координатном пространстве играла ось времени. В этом пространстве выберем дне точки и проведем между ними прямой путь, соответствующий уравнениям Якоби для рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы. На этом пути /y = /i = onst. Проведем между этнми же точками однопараметрический пучок окольных путей, расположенных в изоэнергетическом подпространстве , т. е. таких, что вдоль них тоже Я = Л. В качестве функционала на этом пучке возьмем интеграл [c.330]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Разделение мехапич. систем на голономные и неголо-номные весьма существенно, так как к Г. с. применимы многие сравнительно простые ур-ния механики и общие принципы, к-рые не справедливы для неголопом-ных систем. Движение Г. с. может изучаться с помощью Лагранжа уравнений механики, Гамильтона уравнений, Гамильтона — Якоби уравнения, а также с помощью наименьшего действия принципа В форме Гамильтона — Остроградского или Мопертюи — Лагранжа. К Г, с. приложимы также все те общие теоремы механики и дифференциальные вариационные принципы механики, К-рые справедливы и для неголономных систем. [c.515]

Это и есть принцип наименьшего действия Мопертюи Эйлера— Лагранжа — Якоби) ). Важно отметить, что отрезок о х Ь, параметризующий кривую у, не фиксирован и может быть разным у сравниваемых кривых. Зато одинаковой должна быть энергия (функция Гамильтона). Заметим также, что принцип определяет форму траекторк[и, но не время для определения времени нужно воспользоваться постоянной энергии. [c.216]

Ж. Лагранж первый ясно сформулировал принцип наименьшего действия (1760 г.). Среди всех движений, которые приводят систему материальных точек при постоянной полной энергии из определенного исходного положения в определенное конечное положение, действительное движение производит минимальное действие. Следовательно, возможные движения должны удовлетворять принципу сохранения энергии, зато они могут происходить в любое время. В соответствии с этой формулировкой путь одной материальной точки без приложенной движущей силы таков, что она с постоянной скоростью и в кратчайщее время достигнет цели. В качестве кривой пути получается линия кратчайшей длины, т. е. для свободной точки — прямая линия. К. Якоби и У. Гамильтон показали впоследствии, что принцип допускает и совершенно иные формулировки. Особую важность для будущего представляла формулировка, которую предложил Гамильтон. В ней сравниваемые возможные движения не должны обладать постоянной полной энергией, а вместо этого все должны протекать в одно и то же время. Но в таком случае действие, которое для действительного движения принимает минимальное значение, надо выражать не интегралом по времени от кинетической энергии, данным Мопертюи, а интегралом по времени от разности между кинетической и потенциальной энергиями. В применении к указанному выше примеру материальной точки, движущейся без воздействия движущих сил, принцип из всех возможных кривых дает в качестве траектории ту, на которой точка в определенное время с наименьшей скоростью достигает своей цели, следовательно, опять-таки наикратчайшую линию. [c.585]

По-видимому, Мопертюи и Эйлер пришли к принципу каждый своим путем. В форме Мопертюи он применим для конечных изменений скорости, в форме Эйлера он охватывает непрерывные движения. Принимая во внимание необычность принципа, его универсальность и научный авторитет его создателей, легко предположить, что он быстро привлек внимание ученых. Начавшаяся в 1750 г. дискуссия , в которой активно участвовали Эйлер, Даламбер, Вольтер, Лагранж и другие, затянулась на несколько десятилетий. Для механики, для развития вариационных методов она оказалась чрезвычайно плодотворной. Она позволила выработать новый взгляд на физическую сущность законов природы, придала импульс развитию нового математического аппарата — вариационного исчисления и сформировала новый путь построения классической механики в работах Лагранжа, Гамильтона, Якоби, Гаусса. Эта траектория развития механики имела своим истоком законы и принципы Галилея, Декарта, Гюйгенса, Ньютона, Лейбница, Эйлера, Мопертюи, и ее математическая реализация была адекватна формированию в XVIII-XIX вв. новых разделов математики. [c.238]

Блестящим развитием механики Ньютона стала Механика Эйлера, начавшая новый — аналитический этап истории механики. Популяризация Мопертюи, Вольтером, Клеро и другими французскими учеными ньютонианских идей на континенте привела к их критической переоценке и попыткам построения общей теории движения и равновесия тел на базе новых понятий и принципов. Динамика и статика системы тел (Даламбер), абсолютно твердого тела (Эйлер), совершенствование аппарата математического анализа и связанных с ним разделов математики, решение новых задач небесной механики, теории корабля, баллистики, теории машин и механизмов стали основой для создания Лагранжем Аналитической механики , для дальнейшего развития теоретической механики в работах Боссю, Монжа, Л. Карно, Лапласа, Пуансо, Пуассона, Кориолиса, Гамильтона, Якоби, Гаусса, Остроградского и их последователей. [c.272]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...