Координаты Минковского

Удобно ввести координаты Минковского с мнимым временем , определенные следующим образом [c.392]

Будем употреблять координаты Минковского (107.3) напоминаем, что маленькие латинские индексы принимают значения 1, 2, 3, 4, а греческие — 1, 2, 3 и имеют место обычные условия суммирования. Все общие, формулы легко перевести в действительные криволинейные координаты х " но (107.1). [c.401]

Множитель i внесен сюда для того, чтобы получить действительный 3-вектор, так как Яр4, будучи координатами Минковского, чисто мнимые. [c.437]

Как и ранее, будем использовать вещественные галилеевы координаты х По сравнению с частично мнимыми координатами Минковского (л , i t) они обладают тем преимуществом, что не вносят условной (искусственной) мнимости, так что доле комплексных чисел появляется только в связи с кванте- [c.94]

Основной инвариант мира Минковского (интервал) будет инвариантом бинарной группы, если t, х, у, z имеют механический смысл координат, [c.358]

В итоге в РТГ получена система из 14 уравнений с 14 неизвестными, причем десять из них по форме совпадают с уравнениями Гильберта — Эйнштейна (8.32) с той принципиальной разницей, что все полевые переменные в этих уравнениях зависят (в отличие от ОТО) от единых координат пространства Минковского. Четыре новых уравнения определяют симметричный тензор Ф самого гравитационного поля они в корне изменяют характер решения уравнений Гильберта — Эйнштейна. [c.160]

Например, время t и пространственные координаты Xi, Х2,. гз мы рассматривали как величины разного рода, тогда как их следовало рассматривать как совершенно равноправные координаты пространства Минковского. Поэтому переменной, к которой мы относим перемещение точки в пространстве, следует считать не t, а собственное время т, являющееся инвариантным. Кроме того, лагранжиан должен быть инвариантной характеристикой материальной системы, не зависящей от того, какая система координат применяется при ее изучении. Поэтому мы должны ожидать, что он будет некоторым скаляром, инвариантным относительно преобразований Лоренца. [c.233]

Xi, Х4 декартовы координаты в пространстве Минковского, [c.410]

Когда специальная теория относительности Эйнштейна и Минковского, объединив время и пространство, показала, что геометрия природы имеет скорее четыре, а не три измерения, то это была еще геометрия евклидова типа. Лишь общая теория относительности Эйнштейна продемонстрировала, что линейный элемент с постоянными коэффициентами должен быть заменен римановым линейным элементом, содержащим десять функций gik четырех координат j , у, z, t. [c.43]

Иногда оказывается чрезвычайно выгодным превратить время t в механическую переменную. Вместо того чтобы считать позиционные координаты qi функциями времени t, координаты qi и время t рассматриваются как функции некоторого произвольного параметра т. Лагранж в подобных случаях считал, что пространство конфигураций для одной частицы превращается из пространства трех в пространство четырех измерений. В релятивистской механике этот переход абсолютно необходим, так как пространство и время объединяются там в один четырехмерный континуум Эйнштейна—Минковского. [c.216]

С Требованиями теории относительности следует предположить, что вектор Ai имеет четыре компоненты (при использовании математических координат пространственные компоненты должны быть чисто мнимыми). Он является, таким образом, 4-вектором пространственно-временного мира. Рассмотрим этот вектор как некое поле, заданное в виде функции четырех координат <7/ = х/. Образовав скалярное произведение этого вектора на 4-вектор скорости, получим истинный скаляр в пространстве Минковского. Соответственно заменим потенциальную энергию инвариантом [c.366]

Этот принцип сходен с принципом Якоби (5.6.12), если только в последнем опустить член с потенциальной энергией V. Кроме того, ds —это уже не линейный элемент трехмерного пространства, а элемент (9.3.8) четырехмерного пространства. Минковского. Предположим, что с помощью некоторого точечного преобразования мы переходим от прямоугольных к произвольным криволинейным координатам. Тогда тот же самый линейный элемент ds примет форму (1.5.16), с суммированием от 1 до 4 13 [c.371]

При более изящном методе описания, принадлежащем Минковскому, событие определяется четырьмя координатами XI, Ха, Хз, Х4 = гс/. Четыре величины Хц образуют компоненты четырехмерного тензора первого ранга в декартовой системе координат или четырехмерного вектора ), и формулы преобразования Лоренца представляют ортогональное, т. е. сохраняющее длины, преобразование таких компонент. Отсюда следует, что [c.137]

Таким образом, 4-сила направлена от начала координат пространства — времени и имеет величину, пропорциональную расстоянию Минковского. [c.413]

Придавая времени I смысл четвёртой координаты и представляя её чисто мнимой величиной = Ш (см. Минковского пространство-время), можно заключить описание электромагнетизма в компактную форму. Эл.-магн. поле в 4-описании может быть задано двумя антисимметричными тензорами Нр и Ер [c.37]

Следует иметь в виду, что М. п.-в. отражает не только характер гравитац. поля, но и выбор системы координат в п.-в. (системы отсчёта). Так, переход к криволиней-аым координатам в п.-в. Минковского (к ускоренной си- [c.125]

Для оси t он имеет вид (1, О, 0, 0), а произвольный вектор, направленный по этой оси, есть tef t, 0, 0, 0). Для оси t единичный вектор равен к с компонентами (у, ун), соответственно, произвольный вектор, направленный по t, имеет вид t u = (i y, t yv). Совокупность всех векторов, ортогональных оси t в заданной точке, образует пространство системы L, и события, лежащие в нём, одновременны в L. Если в данной точке t в этом пространстве построить оси х, у, z, jo они образуют полный набор координат в L. Ось х можно поместить в плоскость tt (рис. 2), тогда единичный вектор, направленный по х, будет иметь вид е х (уп, у, 0, 0) в метрике Минковского он ортогонален е . [c.500]

В этой книге всюду будут употребляться координаты Минковского. Они имеют то большое удобство, что для них ковариантные компоненты векторов и тензоров те же, что и контравариантные компоненты, и все векторы и тензоры можно написать с индексами внизу, избегая, таким образом, сложности в обозначениях. Если мнимое время Xi, окажется некоторым источником неясностей, то мы можем сразу перейти от координат Минковского х, к действительным декартовым координатам а , положив Хр = х , Xi = ix . Нам представится случай перейти к действительным координатам в 111 для того, чтобй обсудить вопрос о знаке. [c.392]

Некоторые авторы предпочитают первую форму, другие — вторую. Между ними нет никакой физической разницы, однако (111.16) имеет то преимущество, что можно перейти к единичной матрице (координаты Минковского) при помощи введения одной мнимой координаты, в то время как в случае (111.17) для этого требуются три мнимые координаты. С помощью действительных координат и величин gmn и gmni определенных как указано выше, можно написать лагранжиан (111.1) в форме [c.409]

СКОРОСТЬ ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ — в относительности теории является обобщением понятия обычной (трехмерной) скорости. С. ч. — четырехмер-ный вектор с компонентами щ = dxjdx, i = 1, 2, 3, 4, где Xi — координаты Минковского (х = х, х — у, х = 2, Х4 = i t), а dx — элемент собственного времени движущейся частицы. Комноненты С. ч. связаны с проекциями зс, Uy, U2, трехмерной скорости и соотношениями [c.550]

Совокупность величин и (л (которые будем в дальнейшем называть координатами , не выделяя специально пространственных и временной составляющих) удобно трактовать как декартовы компоненты некоторого вектора R соответственно по осям н в четырехмерном евклидовом пространстве-времени Минковского. Равенства (9) и (10) показывают, что преобразование (10) (ср. с 32 т. I) оставляет неизменной абсолютную величину упомянутого вектора R, т. е. представляет собой не что иное, как ортогональное преобразование координат — вращение в пространстве Минковского. Отличие этого вращенил от обычного заключается в том, что, поскольку координата чисто мнимая, коэффициенты и а. в соотношениях (10) не все вещественны. Именно, коэффициенты а.и а ., а. [i = 1,2, 3) должны быть чисто мнимыми, а остальные — зэ-щественными. [c.449]

Формулы (15) примечательны прежде всего тем, что вводят новое время t, течение которого зависит от скорости v относительного движения систем координат. Разнообразные следствия этих формул проще всего получить с помощью их графической итерпретации, данной Г. Минковским (1864 —1909). Введем вместо i и t переменные размерности длины т = f и т = t и будем в дальнейшем писать л (л ) вместо л з (х ). Согласно [c.451]

Независимо от того, движется частица в пространстве или покоится, ее положение на диаграмме Минковского характеризуется некоторой кривой, называемой мировой линией частицы. Так, частица, находящаяся в покое в начале координат исходной системы Охх, имеет своей мировой линией ось л == 0 частица, равномерно движущаяся из начала координат системы Охх сэ скоростью V, имеет мировой линией прямую, образующую с осью X угол ar tg(u/ ) световой луч, исходящий из начала координат, имеет мировыми линиями прямые (18) и т. д. Как следует из предыдущего, мировые линии частиц, совершающих произвольное (не обязательно равномерное и прямолинейное) движение, полностью состоят из временно-подобных точек, так как мгновенная скорость этих частиц не может превышать с. [c.454]

Использование в пространстве Минковского прямоугольных координат обусловлено тем, что в спещ1альыой теории относительности рассматривались только инерниальные системы, т. е. системы, движущиеся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. На такие системы по первому закону Ньютона не действуют внешние силы. Однако гакое нлоское четырехмерное пространство является физической абстракцией, так как хорошо известно, что существует одна сила, которая действует везде и всегда,— это сила тяготения. От нее нельзя заслониться никакими экранами, как, например, это можно сделать в случае электромагнитного взаимодействия. Под действием силы тяготения все тела и системы отсчета движутся с ускорением. Напрашивается важный для понимания сущности гравитации вывод инер-циальные системы принципиально непригодны дпя описания тяготения. Для описания действия гравитационных сил надо отказаться от столь привычной вам евклидовой геометрии. Тяготение требует использования нового математического аппарата. Такой аппарат был уже создан. Громадный вклад в разработку 140 [c.140]

Основное содержание СТО, как подчеркивал Г. Минковский, состоит в установлении единой абсолютной пространственно-временной формы бытия материи — пространственно-временного мира (мир Минковского), геометрия которого псевдоевклидова. В этом мире различным системам отсчета соответствует в общем случае различная метрика с коэффициентами y v (х) пространства-времени. Например, в произвольной неинерциальной системе координат S метрические коэффициенты y[ v оказываются функциями координат X этой системы, что приводит в итоге к появлению ускорения свободной материальной точки относительно S и сил инерции, выражающихся через производные первого порядка от тензора по соответствующим координатам. Кинематически силы инерции характеризуются тем, что вызываемые ими ускорения свободных материальных точек не будут зависеть от их масс. Таким же свойством обладают и гравитационные силы, поскольку, как показывает опыт, гравитационная масса тела равна его инертной массе. Этот фундаментальный факт привел Эйнштейна к мысли, что гравитационное поле должно описываться подобно полю сил инерции метрическим тензором, но уже в римановом пространстве-времени. [c.158]

Минковский первым показал, что, рассматривая евклидово многообразие в четырех измерениях, так называемую вселенную, или пространство-время, можно геометрически просто представить введенные Эйнштейном связи между пространством и временем. Для этого он брал три оси в прямоугольных координатах пространства и четвертую ось, нормальную к трем первым, на которую наносились значения времени, умноженные на с ]/— 1. Сейчас принято относить к четвертой оси вещественное значение с(, но в этом случае плоскости, проходящие через эту ось и нормальные к пространству, будут иметь гиперболическую псевдоевклидову геометрию, основной инвариант которой будет — х — dy — dz . [c.650]

Метрич. тензор в спец, теории относительности имеет вид = diag (1, —1, —1, —1) (псевдоэвклндова метрика сигнатуры —2) пространственно-временное многообразие с такой метрикой наз. пространством-временем Минковского. В общей теории относительности вводится метрич. тензор более общего вида, удовлетворяющий, однако, требованию,чтобы в достаточно малой окрестности любой заданной пространственно-временной точки X спец, выбором координат можно было свести к такое пространст- [c.125]

Частицы нулевой массы (напр,, фотоны) в любой системе отсчёта движутся со скоростью света с. Поэтому М. л. таких частиц будут изображаться изотропными кривыми в п.-в., интервал между любыми дву.мя точками на к-рых (понимаемый как интеграл от з) равен нулю. В п.-Б. Минковского М. л. безмассовых частиц, пересекающих начало четырёхмерной системы координат, образуют световой конус, разделяющий п.-в. [c.157]

В случае, если справедлива частная теория относительности, геометрия пространства-времени является псевдоевклидовой, наз. геометрией Минковского, в к-рой все точки пространства-времени равноправны см. Минковского пространство-время). Поэтому достаточно рассмотреть С. к. с вершиной в начале координат [c.463]

Слабое и сильное отражение. СРТ-симметрия. Из свойств пространства Минковского и осн. положений квантовой теории поля следует, что для любой частицы, обладающей к.-л. зарядом, должна существовать симметричная ей античастица (обладающая той же массой, временем жизни и спшюм, но с противоположным значением заряда), а также необходимость определённой С. между движениями частиц и античастиц. Основой для указанной С. является то, что одновре.м. отражение всех пространственных осей (Р) и временной оси (Р) (т. е. переход к зеркальной системе пространственных координат и отсчёт времени в обратном направлении) формально сводится к повороту в пространстве Минковского на мнимый угол (в евклидовом пространстве чётное число отражений сводится к реальному повороту).,Поэтому теория, удовлетворяющая требованиям релятивистской инвариантности, т. е. инвариантная относительно иоворотов в пространстве Минковского, должна быть инвариантна и относительно т. н. слабого отражения (РТ). (То, что при этом поворот осуществляется на мнимый угол, не имеет принципиального значения, по крайней мере, для теорий с локальным взаимодействием частиц с конечным спином.) [c.506]

Р.сли в пространстве-времени Минковского использовать неинерциальные системы отсчёта и недекартовы координаты, то в новых координатах ds запишется в виде [c.190]

ЧЕТЫРЁХМЁРНЫЙ ВЁКТОР — вектор в Минковского пространстве-времени, имеющий 4 координаты и использующийся в частной теории относительности. Примерами Ч. в. являются 4-скорость частицы ненулевой массы, Фнмпульс системы Р , 4-потенциал эл.-магн. поля др. Подробнее см. Относительности теория. [c.459]

Именно эта возможность и была реализована в 1911 г. Г. Герглотцем , который принял активное участие в разработке релятивистской механики сплошной среды и на этом пути впервые явно получил взаимосвязь Р-сим-метрия — сохранение . Вариационная структура уравнений механики сплошной среды была известна и широко использовалась, начиная с середины XIX в. (Гельмгольц, Кирхгоф, Рэлей, А. Вальтер и др.) . Вариационные принципы в релятивистской форме за пределами электродинамики были сформулированы и широко использованы, прежде всего, Планком, а затем Минковским и др. (механика точки и системы, термодинамика и т. д. ). Поэтому построение релятивистской механики сплошной среды естественно было начать с Р-инвариантного вариационного принципа, переходящего в нерелятивистском случае в соответствующий вариационный принцип классической механики. Герглотц начинает с описания среды в переменных Лагранжа, т. е. рассматривая координаты частиц среды и характеристики движения как функции начальных координат и времени t. Элемент мировой линии двух соседних мировых точек при таком описании выражается посредством квадратичной формы дифференциалов начальных координат и собственного времени = i x [c.243]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...