Метод Канторовича

Эти методы можно разделить па две группы. Первая составляет методы приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений, к которым сводятся те или иные задачи прикладной теории упругости. Из числа этих методов прежде всего рассмотрим метод конечных разностей (МКР) и особенности его применения в плоской задаче и в задачах изгиба пластин. Далее излагаются метод Бубнова — Галеркина и метод Канторовича — Власова. [c.228]

МЕТОД КАНТОРОВИЧА - ВЛАСОВА [c.254]

Решение методом Канторовича. [c.180]

Решая задачу методом Канторовича, будем искать функцию напряжений Ф ( 1, дса) в виде [c.182]

Следуя методу Канторовича, решение вариационного уравнения (8.85) будем искать в виде [c.221]

Метод Канторовича — Власова [c.202]

Рассмотрим на примерах решения задач изгиба жестких пластин существо метода Канторовича — Власова и его отличие от метода Бубнова— Галеркина. [c.202]

Из рассмотренного примера видно, что в помощью метода Канторовича при удачном задании ф (у) можно получить высокую точность не только при расчете прогибов, но и при расчете изгибающих моментов. [c.110]

Решение краевой задачи находится прямым методом Канторовича [1]. Компонента т выбирается в виде [c.13]

Согласно методу Канторовича, для данного вариационного уравнения составляется система уравнений Эйлера [c.15]

Одномерные и квазиодномерные задачи механики описываются системами обыкновенных диф ренциальных уравнений. К одномерным можно отнести задачи о деформировании стержней, балок, а также круглых пластин и оболочек вращения при осесимметричном нагружении. В ряде случаев для трехмерных и двумерных задач теории упругости можно применить метод разделения переменных и решать задачу в рядах Фурье или методом Канторовича. Задачи, для которых тем или иным способом возможно приближенно перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным уравнениям, называются квазиодномерными. Для расчетов на ЭВМ наиболее удобной формой представления разрешающих дифференциальных уравнений является система дифференциальных уравнений первого порядка, или каноническая система. Для таких систем разработаны стандартные программы интегрирования, а также различные вычислительные приемы, обеспечивающие достаточную точность решения краевых задач [20, 33]. [c.85]

В этой связи весьма перспективной представляется проблема объединения одномерного варианта МГЭ и вариационного метода Канторовича-Власова. Очевидно, что от этого объединения возможности МГЭ и метода Канторовича-Власова существенно увеличатся. Впервые эта проблема освещена в работах авторов [217-232]. Изложению этого вопроса в отдельных задачах теории пластин и посвящен материал данного раздела. [c.390]

ГЛАВА 7 ДВУМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТОНКИХ ПЛАСТИН 7.1 Вариационный метод Канторовича-Власова сведения двумерных задач к одномерным [c.391]

ЧТО равносильно принятию расчетной схемы тонкой пластины, имеющей бесконечное число степеней свободы в одном направлении и одну степень свободы в другом направлении. В этом положении заложено большое преимущество метода Канторовича-Власова перед другими методами, где не рассматривается модель пластины с бесконечным числом степеней свободы хотя бы в одном направлении. [c.391]

Это уравнение определяет основную процедуру вариационного метода Канторовича-Власова, являющегося развитием более общего метода Фурье разделения переменных применительно к уравнениям теории упругости. Для сведения дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению необходимо использовать разложение (7.2) и выполнить операции в (7.5), т.е. умножить обе части исходного дифференциального уравнения на выбранную функцию ХДх) и проинтегрировать в пределах характерного размера пластины (для прямоугольной пластины это ее ширина). Точное решение получается, когда ряд (7.2) не усекается, а из (7.5) следует бесконечная система линейных дифференциальных уравнений и расчетная схема имеет бесконечное число степеней свободы в двух направлениях. При этом весьма удобно использовать ортогональную систему функций X x). В этом случае будут равны нулю многие побочные коэффициенты системы линейных дифференциальных уравнений (7.5) и она существенно упростится, а при шарнирном опирании вообще распадается на отдельные уравнения. В расчетной практике весьма редко используют два и более членов ряда (7.2), ограничиваясь только первым приближением. Связано это с высокой точностью получаемых результатов, вследствие, как представляется, незначительного расхождения между приближенной схемой и реальным объектом. Формально это выражается в надлежащем выборе функции Х х). Чем точнее она описывает какой-либо параметр в направлении оси ОХ, тем меньше погрешность результата. [c.392]

Оценка точности метода Канторовича-Власова [c.406]

Применяя к равенствам (7.28) процедуру метода Канторовича-Власова, получим уравнения связи между кинематическими и статическими параметрами обобщенных стержней, которые чисто формально не будут отличаться от соответствующих уравнений обычных стержней. Подчеркнем, что это имеет место только в случае, когда краевые условия по торцам подобластей одинаковы. Уравнения связи между граничными параметрами помещаем в матрицу Y. Значения фундаментальных функций и грузовых членов вычисляем по формулам (7.22) при // = 0,3, j = l/3, q x,y)=q = V, с =0 = /,= С =/, =1 d =0 d, =1/3. [c.411]

Используя процедуру вариационного метода Канторовича-Власова, умножаем обе части уравнения (7.32) на Х р) (компонента необходима для исключения сингулярных точек в коэффициентах обыкновенного дифференциального уравнения). Применяя операцию интегрирования в пределах радиальной длины пластины, получаем дифференциальное уравнение 4-го порядка [c.415]

Добавим, что интегральное уравнение (7.49) может быть применено также для расчета различных секторов. Для этого необходимо соответствующим образом комбинировать нагрузку всей пластины, как показано в работе [317, с.ЗЗО]. В этих случаях вариационный метод Канторовича-Власова освобождает расчеты от мало удобных в применении функций Бесселя. [c.428]

Уравнение (7.53) по алгоритму вариационного метода Канторовича-Власова приводится к виду [c.430]

Вариационный метод Канторовича-Власова при использовании одного члена ряда (7.2) позволяет практически точно решать задачи на собственные значения упругих изотропных пластин. [c.441]

Основная часть погрепшости вариационного метода Канторовича-Власова при использовании одного члена ряда (7.2) связана с неточным описанием внепшей нагрузки, а влияние на погрепшость побочных коэффициентов линейной системы дифференциальных уравнений проф. В.З. Власова весьма мало. [c.441]

Процедурой метода Канторовича-Власова уравнение (7.66) сводится к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения [c.447]

Для решения задач устойчивости прямоугольных пластин используем алгоритм численно-аналитического варианта МГЭ, вариационный метод Канторовича-Власова и дифференциальное уравнение технической теории устойчивости (7.66) [c.453]

Интегральные преобразования в методе Канторовича-Власова в случае, когда нагрузка Л х=0, приводят коэффициенты (7.101) к виду [c.454]

К задачам с неоднородными граничными условиями относятся задачи устойчивости при действии сжимающих сил на свободных краях пластины. В этом случае на свободном крае возникает неоднородное граничное условие для приведенной поперечной силы вида (7.67), а сосредоточенную сжимающую силу в алгоритме МГЭ можно учесть только по схеме А (рисунок 7.12). Если применить к выражению (7.67) процедуру метода Канторовича-Власова и учесть сосредоточенную силу по формуле (7.102), то получим краевое условие вида [c.464]

Вариационный метод Канторовича-Власова [c.468]

Как видим, метод Канторовича — Власова позволяет свести двумерную (а в общем случае и трехмерную) краэвую задачу к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа (8.54). Для ее решения в современной i ычгслительной математике существует ряд эффективных методов. Укажем, например, на метод ортогональной прогонки С. Г. Годунова (см. [20]) и на интерполяционный метод 12, с. 429]. [c.257]

Среди прямых методов решения вариационных задач наиболее широкое применение получили метод Ритца, метод Канторовича н метод Бубнова—Галеркина — метод приближенного решения диффе- [c.97]

С помощью метода Канторовича удается получить приближенное. решение значительно более точное, чем по методу Ритца с теми же координатными функциятми и с тем же числом членов ряда (5.103). Это достигается благодаря тому, что класс функций (5.103) значительно шире класса функций (5.89) о постоянными коэффициентами Oft и, следовательно, среди функций (5.103) можно подобрать функции, лучше аппроксимирующие решение вариационной задачи, чем среди функций (5.89), [c.111]

Выражение вариации минимизируеморо функционала V определяется равенством (7.230). бледуя методу Канторовича, будем искать первое приближение функции Ф хх, Ла) в виде [c.180]

Таким образом, в отличие от метода Бубнова — Галеркп-на, при котором интегрирование дифференциального уравнения сводится к решению системы алгебраических уравиеншц по методу Канторовича — Власова интегрирование дифференциального уравнения в частных производных заменяется интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Если задача линейная, то получается система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. [c.202]

Наиболее часто в практике используют расчеты, основанные на вариационном принципе Лагранжа. Выше, в 5 этот принцип был использован для вывода фференциального уравнения изгиба пластины и граничных условий. Ниже будет рассмотрено применение некоторых прямых методов вариационного исчисления (метода Ритца, метода Бубнова—Галеркина и метода Канторовича). [c.96]

Таким образом, рещение уравнения Жермен-Лагранжа по методу Канторовича- Власова будет заключаться в определении функции прогиба по (7.12), где функпдя Х х) задана, а функпдя w y) определяется из (7.20) в виде [c.397]

Сумма 5 членов дает значение прогиба в центре квадратной шарнирно опертой пластины (// = 0,3) ОЖ(1/2,1/2)= 115,57973-10 Видно, что величина прогиба по вариационному методу сходится к точному значению /)Ж(1/2,1/2) = 116,0 -10 [317]. Из результатов (7.27) следует также, что первый член ряда (7.2) содержргг почти 93% точного значения прогиба при сосредоточенной нагрузке. Такое быстрое приближение к точному результату является особенностью и большим преимуш еством метода Канторовича-Власова. [c.407]

Для жесткого заш,емления и шарнирного опирания кромок квадратной пластины погрешности метода Канторовича-Власова при использовании одного члена ряда представлены в таблице 7.2. Анализ данных этой таблицы показывает, что предельно возможная погрешность для напряжений не превосходит 5-6%. Для прогибов погрешность больше только для сосредоточенных нагрузок и достигает 8,0%. Отметим, что характерной особенностью метода Канторовича-Власова является наибольшее расхождение с точными результатами у квадратных пластин, а для прямоугольных пластин погрешность уменьшается [30]. Все это подтверждает вывод о том, что для нужд инженерного расчета вполне достаточно использовать только один член ряда (7.2). Погрешность метода при других комбинациях граничных условий будет находиться в пределах, представленных таблицей 7.2. При этом всегда соблюдается соответствие если нагрузка кусочно-непрерывная функция, то результаты метода больше эталонных, если нагрузка сосредоточенная, то -меньше. Очевидно, это связано с тем, что один член разложения описывает кусочно-непрерывную нагрузку с избытком, а сосредоточенную - с недостатком. [c.407]

Пример 7.3 Рассмотрим жестко защемленную квадратную пластину, нагруженную силами N =Ny=N (рисунок 7.7,в). Выше отмечалось, что наибольшая погрешность вариационного метода Канторовича-Власова наблюдается у квадратных пластин, а условия ее опирания не позволяют получить точного аналитического решения задач статики, динамики и устойчивости. Поэтому данная задача позволяет дать оценку точности и эффективности различных методов, в том числе и МГЭ. Матрица устойчивости и ее определитель для краевых условий по рисунге 7.7,в примут вид [c.436]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...