Бриллюэна зона для кубической решетки

Биполярная диффузия 257, 258 ----связь с обычной теплопроводностью 258 Бриллюэна зона для кубической решетки 35, 178 Бриллюэновское рассеяние в стеклах 167 [c.281]

Зона Бриллюэна для кубической решетки 35, 178 [c.281]

Рассмотрим в качестве примера простую кубическую решетку с параметром ячейки, равным а. В гл. 1 было показано, что для нее обратная решетка — также простая кубическая, причем а = =1/й. Ячейка Вигнера — Зейтца в к-пространстве, т. е. первая зона Бриллюэна, представляет собой в этом случае куб объемом 8л ,1а . Действительно, куб, построенный на трех взаимно перпендикулярных векторах длиной 2п.1а, содержит все неэквивалентные точки, поскольку они не могут быть получены одна из другой с помощью какого-либо вектора Н. Все точки, лежащие вне этого куба, можно получить из точек, расположенных внутри куба. Для построения первой зоны Бриллюэна нужно сместить все точки на вектор (—я/а, —я/а, —я/а). При этом центр куба совместится С началом отсчета к=0. Таким образом, все неэквивалентные значения компонентов вектора к лежат в интервалах [c.219]

Зона Бриллюэна есть своеобразный геометрический образ форма ее зависит только от кристаллической структуры решетки, а не от природы действующих в ней сил. Так как обратная решетка, а следовательно, и зона Бриллюэна определяются только основными векторами прямой решетки, то зона Бриллюэна одна и та же как для простых, так и для базисных решеток одной сингонии (например, для простой гранецентрированной решетки и для решетки типа алмаза). В случае простой кубической решетки зона Бриллюэна представляет собой куб (рис. 27). [c.65]

Для гранецентрированной кубической решетки обратная решетка — объемноцентрированный куб, и для этой структуры зона Бриллюэна представляет собой ячейку Вигнера — Зейтца. [c.298]

В случае объемноцентрированной кубической решетки сферическая поверхность Ферми касается границы зоны Бриллюэна при электронной концентрации 1,48. Для у-фазы это значение электронной концентрации равно 1,54, а для е-фазы 1,69 (в случае. идеального отношения осей da). Как уже отмечалось выше, при соприкосновении поверхности Ферми с границей зоны Бриллюэна наблюдается резкое падение кривой плотности состояний и быстрый рост энергии, вследствие чего данная структура становится нестабильной. Б результате образуется новая структура с такой зоной Бриллюэна, которая вмещает то же количество электронов, однако с более низкой энергией (см. фиг. 2,6). Из табл. 1 следует, что даже при допуш ении о сферической форме поверхности Ферми [c.227]

Для свободной частицы изоэнергетические поверхности имеют всегда сферическую форму. Изоэнергетические поверхности электронов зоны проводимости и дырок в валентных зонах имеют весьма сложную форму. Теоретическое вычисление изоэнергетических поверхностей возможно только при использовании грубых приближений. Как было показано в 20, даже в простой кубической решетке изоэнергетические поверхности являются сферами только вблизи центра зоны Бриллюэна и вблизи ее восьми вершин. [c.149]

Полное количество электронных состояний в поверхностной зоне равно числу элементарных ячеек на поверхности кристалла. В частности, для простой кубической решетки количество ПЭС должно быть равно числу поверхностных атомов (-10 см ). Плотность поверхностных состояний в двумерной зоне постоянна и дается соотношением (1.50), где т р — эффективная масса носителей в зоне ПЭС. Величина т р определяется видом дисперсионного соотношения Е(кх, ку). По аналогии с трехмерным случаем вводят двумерные зоны Бриллюэна — ячейки обратной поверхностной решетки кристалла, содержащие все трансляционно-неэквивалентные точки. [c.79]

Квадратная решетка энергии свободных электронов, а) Показать для простой кубической решетки (в случае двух измерений), что кинетическая энергия свободного электрона в угл первой зоны вдвое больше, чем в середине бокового ребра зоны Бриллюэна. [c.333]

Уравнение (33.7) приводит к двум решениям для соу д), соответственно к двум ветвям, которые возможны при двухмерной сетке Браве. Мы приведем их для некоторых точек и линий симметрии. Символы симметрии те же, что на рис. 28, а (зона Бриллюэна кубической решетки в Л-пространстве), которые лежат в квадрате при Л, = 0. Центральная точка Г, следовательно ось Д, идет к середине стороны квадрата, X, ось 2 —к середине ребра квадрата, М. Стороны квадрата Х—М Х... являются осями 2. Для двухмерного случая точечные группы, относящиеся к отдель-ньш точкам и линиям, очевидно, другие. [c.146]

Рис. 107. а) Ячейка Вигнера—Зейтца, б) зона Бриллюэна для простой кубической решетки. [c.375]

Отметим, что для простой кубической решетки обратная решетка также простая кубическая, а зона Бриллюэна представляет собой [c.72]

Вторая зонная структура, которую мы рассмотрим, принадлежит германию — типичному полупроводнику. Германий имеет кристаллическую структуру алмаза — гранецентрированную кубическую решетку с двумя одинаковыми атомами в каждой примитивной ячейке. Таким образом, зона Бриллюэна, линии и точки симметрии остаются теми же, что и раньше. Зонная структура германия показана на фиг. 29. В противоположность алюминию энергетические щели между зонами здесь довольно велики. Снова энергия в первой зоне начинает возрастать из точки Г, сильно напоминая параболу для свободных электронов, но искажения теперь значительно более сильные. Зоны в алмазе и кремнии очень похожи на зоны в германии. [c.107]

Построение ферми-поверхностей в трех измерениях представляет собой непосредственное обобщение той процедуры, которую мы проиллюстрировали с помощью фиг. 37 на примере двух измерений. Для данной валентности мы точно знаем число электронов на атом, а следовательно, и радиус ферми-сферы. Объем ферми-сферы равен половине произведения валентности на объем первой зоны Бриллюэна. Таким образом, все построения сводятся просто к упражнениям в геометрии и приводят к поверхностям типа показанных на фиг. 39 для гранецентрированной кубической структуры ). Сечения таких поверхностей очень похожи на двумерные картинки, изображенные на фиг. 37, за исключением, разумеется, того, что окружности, отвечающие сферам с центрами в узлах обратной решетки, не лежащих в плоскости сечения, меньше. Отметим, что ферми-поверхности трех- и четырехвалентных металлов с гранецентрированной кубической решеткой совершенно аналогичны тем, которые показаны на примере двух измерений. [c.133]

Для кубической объемноцентрированной структуры первая зона Бриллюэна представляет собой додекаэдр, образованный плоскостями, отвечающими отражению от плоскостей (110) в кристаллической решетке. Если допустить, что поверхность Ферми и в этом случае представляет собой сферу, то соприкосновение этой сферы с поверхностью границы зоны должно происходить при достижении электронной концентрации 1,48, и именно в этой точке Л ( )-кривая будет падать. На основании этого можно объяснить характер равновесия между а- и Р-латунями тем, что в интервале электронных концентраций 1,36->1,48 УУ( )-кривая для гранецентрированной кубической решетки падает, а для объемноцентрированной продолжает расти, в результате чего объемноцентрированная структура должна проЯ Вить тенденцию стать более стабильной. Пик на Л ( )-кривой при значении электронной концентрации 1,48 находится в хорошем согласии с эмпирически установленным фактом существования Р-фазы при электронной концентрации 1,5. [c.195]

Для простой кубической решётки с параметром решетки а первая зона Бриллюэна представляет собой куб с ребром 2л/а и объемом 2n/af. Полное число, разрешенных значений вектора к для такого кристалла равно также N — числу частиц в кристалле. Каждому значению к отвечают два состояния с разными спинами в энергетической гоне. Поэтому полное число состояний в зоне должно равняться 2N. [c.147]

До сих пор мы брали в качестве области однозначного определения квазиимпульса р элементарную ячейку обратной решетки. Но более удобно определить эту область иначе. Конечно, она должна иметь объем, равный объему элементарной ячейки обратной решетки, и, кроме того, не должна включать точек, отличающихся на период обратной решетки. Определим ее следующим образом. Проведем из какого-либо узла обратной решетки все АГ-векторы, соединяющие его с другими узлами. Затем проведем плоскости, перпендикулярные каждому из этих векторов и делящие их пополам. Эти плоскости вырежут определенный объем в пространстве обратной решетки, имеющий форму какого-то многогранника. Нетрудно видеть, что такой многогранник обладает всеми требуемыми свойствами и поэтому может быть взят в качестве области задания квазиимпульса р. Она называется зоной Бриллюэна. На рис. 1.1 приведены примеры зон Бриллюэна для гранецентрированной (а) и объемноцентрированной (б) кубических решеток. [c.14]

Легко убедиться, что зона Бриллюэна кубической решетки с точностью до масштабного множителя совпадает с ячейкой Вигнера —Зейтца (рис. 18, а). Тоже справедливо для гексагональной решетки (рис. 18 г). Напротив, вид зоны Бриллюэна для кубической решетки с центрированными гранями совпадает с видом вигнер-зейтцевской ячейки для решетки объемноцентриро-ванного куба, и наоборот (рис. 18, б, в). [c.78]

Наиболее изученными соединениями типа являются халькогениды свинца (PbS, PbSe, РЬТе), крис таллизующиеся в гранецентрированной кубической решетке 0/J. Зонная структура — прямая, причем абсолютные экстремумы зон расположены на краю зоны Бриллю-эна в направлении [111] (см. рис. 22.181). Вблизи экстремумов поверхности постоянной энергии представляют собой эллипсоиды вращения (их эквивалентное число равно 4 для каждой зоны). Валентная зона расщеплена на две подзоны нижняя из них (подзона тяжелых дырок) имеет максимум внутри зоны Бриллюэна на осях [111] и проявляет себя в материалах р-типа при повышенных температурах (для РЬТе при 7 400 К). Халькогениды свинца обладают аномально высокой диэлектрической проницаемостью. [c.517]

Для простой кубической решетки с постоянной решетки а моды характеризуются векторами q с компонентами дх, Яу, Яг вдоль главных осей, каждая из которых лежит в интервале от О до 2п1а. Тогда куб в -пространстве с ребрами длиной 2л/а содержит все возможные значения я и их компонент. Такой куб представляет собой первую зону Бриллюэна (для других типов решеток зона Бриллюэна не будет иметь кубическую форму). Поперечные сечения простейших зон показаны на фиг. 5.1, где иллюстрируются некоторые особенности взаимодействия между фононами. Три базисных вектора длиной 2п/а для простой ку- [c.35]

В кристаллической решетке потенциал, испытываемый электронами, периодически зависит от координат и волновые функции электронов представляют собой произведение плоской волны, соответствующей свободным электронам, и функции, которая имеет периодичность решетки, — блоховской функции. Эти волны по-прежнему распространяются без затухания в идеальной периодической решетке. Наличие решетки меняет зависимость энергии электрона от волнового числа (для свободных электронов эта зависимость квадратичная) и возможные энергии электрона в решетке. Если рассмотреть случай простой кубической решетки, как это делалось для фононов в п. 1 4, гл. 4, то для электрона, волновой вектор которого имеет такую вличину и направление, что почти достигает границы зоны Бриллюэна, энергия заметно отличается от энергии для того же самого значения k, вычисленной на основании модели свободных электронов. При k -<.п1а энергия меньше, чем ее значение для свободного электрона, а при k > я/а — больше. Это означает, что имеется энергетическая щель на границе зоны и волновое уравнение не имеет решений при энергиях, лежащих в пределах этой щели. Для малых значений k зависимость E k) такая же, как для свободных электронов для одномерного случая это показано на фиг. 10.2. Ясно, что значения k, лежащие на границе зоны, являются особыми, так как в этом случае условие брэгговского отражения волны означает, что вторичные волны, испускаемые последовательными рядами атомов, находятся в фазе. Для одномерного случая отсюда следует, что расстояние между атомами должно быть равно половине длины волны, поэтому а — Я/2 = я/А или k == nia, что как раз совпадает с расстоянием по перпендикуляру от центра к грани зоны Бриллюэна. Тот же принцип применим и в трехмерном случае, так что границы кубической зоны определяют значения А, для которых имеется щель в спектре электронов в простой кубической решетке. Этим значениям А соответствуют [c.178]

Электронная структура Р-фаз, по-видимому, тесно связана со структурой зоны Бриллюэна для кубической объемноцентрирован-ной решетки, которая образована 12 гранями 110 , составляющими ромбический додекаэдр. Как упоминалось выше, в приближении свободных электронов сферическая поверхность Ферми достигла бы этих граней при электронной концентрации eja = 1,48 (см. фиг. 6, а). Если на границах зоны Бриллюэна имеется конечный разрыв, то на кривой плотности состояний должен появиться острый максимум вблизи значения е а, соответствующего соприкосновению поверхности Ферми с границей зоны Бриллюэна. [c.181]

Каждому состоянию электрона в свободном атоме отвечает энергетическая зона в кристалле. Здесь мы рассматривали одно состояние свободного атома и получили одну зону. Число состояний в зоне, которое соответствует невырожденным атомным уровням, равно 2N, где Л — число атомов. Это сразу видно из (F.9), поскольку правая часть выражения для энергии является периодической функцией k и, следовательно, лишь те значения fe, которые лежат в fe-пространстве в первой зоне Бриллюэна, определяют независимые волновые функции. В случае простой кубической решетки многогранник в fe-пространстве определяется плоскостями kx = я/о, ky = я/о, k = = +к/а-, его объем равен 8л /а . Поскольку число состояний на единицу объема fe-пространства (с учетом двух ориентаций спина) равно У/4л , то полное число состояний мы найдем, умножив объем многогранника 8я /а па V/4n , в результате получим 2Vla = 2N. Здесь V — объем кристалла, ]/аЗ — число атомов на единицу объема. [c.736]

Каждая вз зон вписана в куб со стороной 4я/а, где а — ребро кубической ячейки реальной решетки. В случае гранецеитрированной кубической решетки объем зоны Бриллюэна равен половине объема куба, для объемиоцентрированной решетки — одной четверти объема куба. [c.73]

Традиционный подход, который используется для описания зон в полупроводниках, имеет много общего с соответствующим подходом в случае металла (подробнее см. [25]). Мы снова считаем, что валентные электроны образуют свободный газ и имеют сферическую ферми-поверхность. Далее, как и в схеме расширенных зон, мы вводим брэгговские плоскости отражения и предполагаем, что некоторая группа плоскостей, образующая зону Джонса, играет доминирующую роль в зонной структуре, так что ферми-поверхность сливается с границами этой зоны ( исчезает ). Плоскостям, ограничивающим зону Джонса, отвечают большие значения структурного фактора (в то время, когда разрабатывался описываемый подход, ничего не было известно об относительных значениях формфактора псевдопотеициала) сама зона имеет довольно высокую симметрию, близкую к сферической, причем ее объем должен быть достаточен, чтобы принять соответствующее число электронов на примитивную ячейку, В структуре алмаза выбор зоны Джонса вполне естествен она образуется плоскостями, которые делят пополам вект( ы обратной решетки типа [220] 2п/а. Структурный фактор равен единице, и зона имеет точно такую же форму, как и зона Бриллюэна для объемноцентрированной кубической решетки (фиг. 21) симметрия ее действительно довольно близка к сферической и объем имеет требуемую величину. Однако теперь мы знаем и значения формфакторов псевдопотеициала они также характеризуют относительную важность различных плоскостей. Оказывается, что в кремнии формфактор обращается в нуль очень близко от этих плоскостей [24] это ставит под сомнение всю картину. [c.500]

В 1937 г. Джонс разработал детальную теорию фазовой границы а — р в системе Си — Zn, в которой за твердым раствором а с кубической гранецентрированной решеткой следует промежуточная фаза Р с кубической объемноцентрированной решеткой. Приняв одинаковые значения атомного объема как для а-, так и для р-фазы и приравняв их к величине атомного объема чистой меди, а также использовав одну и ту же величину энергетического разрыва (запрещенной зоны энергий), полученную для меди путем исследования оптических свойств АЕ = 4,1 эв), Джонс рассчитал кривые зависимости плотности состояний для обеих фаз от энергии, выраженной в электронвольтах. Результаты расчетов представлены схематически ) на фиг. 6, а. Первый максимум на кривой йлотно-сти состояний для а-фазы появляется при величине энергии около 6,6 эв. Сопоставление этих данных с энергией свободных электронов в центре граней 111 зоны Бриллюэна, равной 6,5 эв, приводит к выводу, что соприкосновение между поверхностью Ферми и этими гранями происходит в а-фазе при сравнительно небольшой концентрации легирующего элемента ). Если полученные результаты выразить через электронную концентрацию е а, то два мак -симума на кривых, представленных на фиг. 6, а, будут соответ ствовать е/а 1 для а-фазы и е/а 1,23 для р-фазы и, следовательно, никак не могут быть сопоставлены с величиной предельной растворимости в твердом состоянии (е/а 1,4) или с опти- [c.159]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...