Потенциал эллипсоида

Чтобы найти теперь потенциал эллипсоида, полуоси которого а, Ь, с, самого на себя, найдем сперва потенциал его относительно слоя, ограниченного двумя поверхностями, которые подобны его поверхности, подобно расположены и имеют полуоси ап, Ьп, СП, к а (п - - dn], Ь (л -Ь dn), с п dn). Этот потенциал состоит из двух частей, из которых первая происходит от масс, лежащих снаружи слоя, вторая от масс, заключенных внутри слоя. Первая часть равна [c.303]

Складывая эти выражения и интегрируя сумму их по п от нуля до единицы, получим искомый потенциал эллипсоида с полуосями (о, Ь, с) самого на себя [c.303]

Это — объемный (ньютонов) потенциал эллипсоида [c.908]

Пространство вне цилиндра. Рассмотрим сначала, что происходит снаружи. Кирхгофф подучил 6, используя свойства логарифмического потенциала и преобразовывая известную формулу, дающую потенциал эллипсоида (одну из осей которого он устремляет к бесконечности). Мы получим результат быстрее, оперируя переменными ( , т]), происходящими от конформного отображения (1) известно, что в этом случае имеет место формула [c.173]

ТО внешний потенциал эллипсоида будет [c.169]

Таково выражение потенциала простого слоя эллиптической пластинки в предположении, что плотность слоя изменяется по закону (8.73). К выражению (8.78) можно было бы прийти, рассматривая выражение объёмного потенциала эллипсоида постоянной плотности на внешнюю точку. [c.298]

Потенциал эллипсоида на точку Р с единицей массы равен [c.116]

Нетрудно видеть, что ф есть частная производная по переменному X от функции у, изображающей внешний ньютоновский потенциал эллипсоида однородной плотности [c.475]

Это интегральное уравнение определяет распределение давления по области соприкосновения. Его решение может быть найдено из аналогии со следующими известными из теории потенциала соотношениями. На мысль воспользоваться этой аналогией наводит тот факт, что, во-первых, интеграл, стоящий в левой стороне уравнения (9,7),—типа обычных в теории потенциала интегралов, определяющих потенциал, создаваемый некоторым распределением зарядов, и, во-вторых, что потенциал поля внутри равномерно заряженного эллипсоида есть квадратичная функция координат. [c.46]

Потенциал однородного эллипсоида [c.260]

ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА [c.263]

Постоянные в этих выражениях равны, так как мы должны иметь одно и то же выражение потенциала U для точки, лежащей на эллипсоиде. Из второго выражения для бесконечно удаленной точки а = оо определяем значение С = 1. [c.264]

Родриг предложил иной метод для определения потенциала однородного эллипсоида. Пусть р — плотность, rji S — координаты притягивающей точки х, у, z — координаты притягиваемой точки а, Ъ, с —полуоси эллипсоида. Рассмотрим эллипсоид, близкий к заданному и софокусный с ним, с полуосями а, Ь, с [c.264]

Сопоставляя эти факты. Герц заключает, что правая часть формулы (9.39) может быть принята за потенциал однородного эллипсоида, толщина которого в направлении оси охз стремится к нулю (с О), а плотность р пропорционально возрастает, так что масса эллипсоида остается неизменной. Тогда область контакта со — эллипс, в который вырождается эллипсоид при с-Я), и имеет место соотношение [c.234]

Вместе с этим потенциал для внутренних точек однородного эллипсоида [c.351]

Поэтому за потенциал о можно принять потенциал однородного эллипсоида, размер с которого в направлении оси г стремится к нулю, а плотность р неограничено возрастает, так что величина ср оста я постоянной. В пределе получим простой слой, распределенный по поверхности эллипса с полуосями а и Ь, т. е. по площадке контакта Q. Плотность этого слоя р (I, т]) будет равна той части массы эллипсоида, которая заключена в призме с единичным основанием и высотой 2г = [c.351]

ПОТЕНЦИАЛ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДА 375 [c.375]

Из формулы (11.9.4) следует, что для внутренних точек эллипсоида потенциал представляет собою квадратичную функцию координат Xi. Будем теперь сплющивать эллипсоид в направлении оси Хз = Z, т. е. будем устремлять к нулю полуось Яз, одновременно увеличивая плотность р. В пределе мы получим простой слой, распределенный по площади эллипса с полуосями [c.377]

Движение планеты, составленной из концентрических однородных сферических слоев. — В теории потенциала доказывается, что в рассматриваемом случае силы ньютонова притяжения от внешней точки, действующие на планету, имеют единственную равнодействующую, приложенную в центре тяжести планеты, и эта равнодействующая такова, как если бы вся масса планеты была сосредоточена в этом центре. Таким образом, силы притяжения со стороны Солнца и других планет имеют единственную равнодействующую, приложенную в центре тяжести планеты. Если учитывается только действие Солнца, то центр тяжести планеты движется по траектории, представляющей собой коническое сечение, одним из фокусов которого является Солнце. Движение планеты около своего центра тяжести есть движение по Пуансо. При нашем предположении эллипсоид инерции приводится к сфере, все диаметры которой являются главными осями инерции, а следовательно, представляют собой постоянные оси вращения. Движение планеты около своего центра тяжести приводится поэтому к равномерному вращению вокруг оси, имеющей постоянное направление в планете и в пространстве. В этом случае мы не имеем явлений прецессии и нутации. [c.201]

Чтобы подойти ближе к отношению, которое имеет место для Земли, вычислим форму равновесия жидкой массы, вращающейся вокруг оси г нашей системы координат с угловой скоростью ш, частицы которой притягиваются между собой по закону Ньютона. Но эту задачу мы можем решить, и то не вполне, предполагая жидкость однородной и несжимаемой. Если т лежит между известными границами, то, как показывает вычисление, формой равновесия жидкости является эллипсоид. Считая, что жидкость ограничена эллипсоидом, можно определить его оси. Решение этой задачи много труднее, чем предыдущей, потому что здесь потенциал действующих сил не задан прямо, но зависит от искомой формы жидкости. [c.112]

Преобразование уравнения Дф = О к произвольным ортогональным координатам. Эллиптические координаты. Течения по линиям, пересекающим, нормально систему софокусных эллипсоидов. Представление потенциала скоростей этих течений как потенциала слоя. Объем жидкости, протекающей через сечение в единицу времени. Сопротивление. Линии тока, пересекающие нормально систему [c.167]

Теперь займемся установившимся движением несжимаемой жидкости при котором, кроме силы тяжести, действуют другие силы и нет потенциала скоростей. Мы будем говорить о жидкости, частицы которой притягиваются между собой по закону Ньютона и на поверхность которой действует постоянное давление. Мы докажем, исходя из эйлеровых уравнений гидродинамики, что эта жидкость может иметь некоторое установившееся движение, в то время как поверхность ее будет трехосным эллипсоидом, между осями которого существует некоторое определенное соотношение. Для этого предположим, что между компонентами скорости и, о, т координатами х, у, г точки. [c.289]

Потенциал жидкости V в момент t относительно внутренней точки (х, у, 2) равен сумме однородной функции второй степени и некоторой не зависящей от х, у, 2 величины. Так как V обладает этим свойством, если оси X, у, 2 совпадают с главными осями эллипсоида, то оно не утратит его, если вместо такой системы координат введем другую с тем же началом координат. При посредстве (34) отсюда следует, что [c.300]

Потенциал массы плотностью, равной единице, заполняющей эллипсоид, уравнение поверхности которого [c.302]

И обозначим через Й потенциал массы, равной единице, одинаковой плотности, наполняющей ограниченное эллипсоидом пространство, относительно внешней точки (х, у, г). В случае, когда жидкость рассматривается как неограниченная извне, что мы сперва и предположим, можно удовлетворить граничным условиям, если положить [c.312]

Подготовив нужные формулы, приступим к вычислению потенциала U. Пусть нам надо найти потенциал эллипсоида с полуосями а, Р, у. Все пространство, внешнее к этому эллипсоиду, мы можем покрыть софокусными эллипсоидами с полуосями Уа + Я, Ур + Я, У у + Я. Значение Я = 0 отвечает заданному эллипсоиду, Я = оо — бесконечно большому эллипсоиду. Мы знаем, как меняется потенциал при переходе от одного эллипсоида к ему софокусному. Следовательно, достаточно знать значение U для какого-либо из софокусных эллипсоидов, чтобы определить потенциал для любого из эллипсоидов последовательности О Яе оо. Я = оо представляет все пространство, заполненное массой плотности р. При переходе от эллипсоида Я к эллипсоиду Я + ЙЯ применим предыдущие формулы. Пусть точка х, у, z) лешит внутри эллипсоида Я — 0 она будет лежать внутри любого эллипсоида О Я >. Полагая — а + Я, = + Я, [c.267]

При некоторых движениях жидкостей, которые мы рассмотрим здесь, полезно знать потенциал эллипсоида, наполненного массой постоянной плотности. Мы не будем выводить выражения этого потенциала. Но приведем его выражение непосредственно и, следуя по весьма простому пути, указанному Дирихле, докажем его правильность. Пусть уравнение поверхности эллипсоида [c.182]

Подставив в равенство (10.77) вместо потенциала простояго слоя потенциал эллипсоида (10.81) при переходе к пределу, когда е->-0 [c.351]

Классическим примером такого подбора служит формула для потенциала однородного эллипсоида, принадлежащая Дирихле. Пусть уравнение эллипсоида будет [c.375]

Таким образом, действительно формула (11.9.4) представляет выражение для потенциала однородного эллипсоида, получить ее путем прямого интегрирования из формулы (11.9.1) было бы ьесьма затруднительно. [c.377]

Так, например, используя формулу (11.9.4) для потенциала однородного эллипсоида, можно без труда решить задачу о тем-лературных напряжениях в теле, содержащем в себе мгновенно нагреваемую область, имеющую форму эллипсоида. Теперь перемещения будут определяться по формулам (11.9.5) с точностью до множителя, который читатель легко восстановит. Комбинируя формулы (11.9.5), мы найдем компоненты деформации, а следовательно,— напряжения. Производные от потенциала тяготения представляют собою силы тяготения, которые убывают по мере удаления от начала координат как 1/г , следовательно, напряжения убывают как 1/г , т. е. так же как перемещения и напряжения от центра расширения. Поэтому формулы ы,- = i]),,- дают полное решение для неограниченной среды. В 8.14 было разъяснено, что центр расширения моделирует напряжения, возникающие при выпадении новой фазы. Очевидно, что изменение объема может быть вызвано не только изменениями температуры, но и фазовыми превращениями, поэтому формулы (11.9.5) могут быть применены к тому случаю, когда частица выпавшей фазы имеет форму эллипсоида эти выражения пригодны как для точек, принадлежащих внутренности включения (при и = 0), так и для точек матрицы (и =/= 0). Заметим, что внутри включения перемещения представляют собою линейные функции координат [c.384]

Исследование, произведенное для частного решения дифференциального уравнения (24), может быть с некоторыми изменениями применено к решениям Ф = Oi и ф = Wi. Отметим для них только следующее. Каждое из них представляет возможное движение жидкости, линиями тока в них будут того или другого рода линии кривизны эллипсоидов и = onst. Каждая из этих линий будет замкнутой. Если линии тока не прерываются поверхностями, из которых жидкость вытекает или в которые вливается, то, следовательно, потенциал скоростей многозначен и наполненное жидкостью пространство должно быть многосвязным. Это пространство всегда может быть ограничено твердыми стенками, образованными линиями тока. [c.180]

Потенциал однородного эллипсоида. Потенциал однородного бесконечно длинного цилиндра. Покоящийся эллипсоид в текрщей жидкости. Линии тока в случае, когда эллипсоид обращается о эллипсоид вращения или в шар. Твердое тело, движци ееся в жидкости данным образом, исследуется движение жидкости. Случай, когда тело—эллипсоид или шар. Движение в жидкости двух тел. Ближайшее рассмотрение случая двух бесконечно малых шаров) [c.182]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...