Циклические координаты. Уравнения Рауса

Циклические координаты. Уравнения Рауса [c.110]

ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ. УРАВНЕНИЯ РАУСА Ц [c.111]

В случае псевдоциклических координат использование преобразования Лежандра с соответствующим числом / приводит к понижению порядка системы на п — / единиц. Процедура исключения циклических координат посредством перехода к уравнениям Рауса носит название процедуры игнорирования циклических координат по Раусу. Уравнения Рауса используются также для систем с неудерживающими связями ( 33). [c.128]

Метод Рауса заключается в одновременном исключении циклических координат из уравнений Лагранжа второго рода, при этом число уравнений движения в независимых координатах понижается на число исключенных циклических координат. Предположим сначала, что все обобщенные координаты позиционные. Тогда функция Лагранжа будет функцией всех обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени /, т. е. [c.110]

Это значит, что циклические координаты не входят в состав функции Рауса. Уравнения же (4.56), которые называются уравнениями Рауса, своего вида не изменят. Итак, нами установлено, что функция Рауса не содержит циклических координат и их производных по времени. [c.112]

Для отыскания позиционных координат служат s—r уравнений Рауса (4.56). Циклические же координаты, в соответствии с (4.58), определяются по формулам [c.112]

Уравнения Рауса находят применение в исследованиях колебаний механических систем вокруг некоторого стационарного движения, при котором отсутствие колебаний, нециклические координаты и циклические скорости сохраняют постоянные значения. [c.74]

Эта система замкнута, когда Qi не зависят от циклических координат, и в этом случае она носит название системы уравнений Рауса. [c.566]

Видим, что уравнения Рауса имеют форму уравнений Лагранжа, но роль функции Лагранжа в них играет функция Рауса. После интегрирования уравнений Рауса задача определения закона изменения циклических координат приводится к квадратурам. В самом деле. [c.566]

Циклические координаты и метод Рауса. Уравнения Гамильтона особенно удобны при исследовании систем, содержащих циклические координаты. Согласно определению, данному в 2.6, циклической координатой называется координата, которая не входит в лагранжиан, и отсюда, как мы знаем, следует (на основании уравнений Лагранжа), что обобщенный импульс Pi, соответствующий этой координате, является постоянным. Но если pj будет равно нулю, то согласно уравнениям (7.12) про- [c.243]

Возможен еще один метод исключения циклических координат из уравнений Лагранжа — это так называемый метод Рауса. В сущности это такой же метод перехода от переменных q, q к переменным q, р, но выполняемый лишь для тех координат, которые являются циклическими. При этом получаются уравнения движения, которые для циклических координат подобны уравнениям Гамильтона, а для остальных —уравнениям Лагранжа. [c.244]

Приложение этих уравнений к циклическим системам, которое и имел в виду Раус при их выводе, заключается в следующем. Мы принимаем, что координаты второй группы степеней свободы являются циклическими и, следовательно (согласно стр. 262), не входят в функцию Лагранжа в таком случае они не входят также и в функцию Рауса. Вследствие этого, соответствующие pk оказываются постоянными (согласно верхнему уравнению из правой группы уравнений Рауса или так же, как мы уже замечали на стр. 263, согласно уравнениям Лагранжа). Подставляя эти постоянные значении pk и соответствующие им (вообще говоря, не постоянные) значения qk в выражение (42.2), получим функцию Рауса, зависящую только от / — г координат первой группы Qk и от qk. Для этих координат справедлива левая группа приведенных уравнений (42.5), благодаря чему задача сводится к / — г уравнениям типа Лагранжа. [c.298]

Уравнения Рауса находят широкое применение при исследовании движения систем с циклическими координатами (см. далее п. 165). [c.295]

Раус выводил эти уравнения для приложений к циклическим системам. Для этого надо принять, что координаты второй группы степеней свободы являются циклическими и, следовательно, не входят в функцию Лагранжа, а также согласно первому уравнению из второй группы р оказываются постоянными. Подставляя эти постоянные р, в (В), получим функцию Рауса, зависящую только от / — г координат первой группы д,, и от д . Для этих координат справедлива первая группа уравнений Рауса, в силу чего задача сводится к / — г уравнений типа Лагранжа. [c.844]

После интегрирования уравнений Рауса задача определения циклических координат в функции времени сводится к квадратурам. Из уравнений [c.350]

Уравнения Рауса оказываются удобными при исследовании систем с циклическими координатами. Уточним здесь введенное в [c.127]

Пусть в системе последние п — / координат циклические, тогда в уравнениях Рауса = 0 (г = / - -1,. .., п) и лагранжева часть [c.128]

Если матрица Г — нулевая, то уравнения (88) совпадают с уравнениями движения консервативных механических систем с циклическими координатами, записанными в переменных Рауса [1, 2], и допускают т циклических интегралов [c.455]

Эти уравнения, данные Раусом, имеют структуру уравнений Лагранжа, причем роль кинетической энергии играет функция Рауса R они содержат лишь позиционные координаты и соответствующие этим координатам обобщенные скорости и ускорения. Способ Рауса поэтому называется способом игнорирования циклических координат, а сами эти координаты—игнорируемыми или скрытыми. В противопоставление этому позиционные координаты называют явными. [c.348]

В цикле работ [3-6] П.Г. Четаев обобщил уравнения Пуанкаре на случаи нестационарных связей и зависимых координат, привел уравнения Пуанкаре к каноническому виду и разработал теорию их интегрирования, а также ввел важное понятие циклических перемещений и дал обобщение уравнений Рауса. Этими работами создан, по существу, новый раздел аналитической механики, основанный на уравнениях Пуанкаре-Четаева. [c.4]

Уравнения Рауса, как мы увидим дальше, удобны при описании движения систем с циклическими координатами. [c.359]

Подставив найденные выражения нециклических координат в функцию Рауса, мы снова обратимся к уравнениям второй системы. Уравнения для циклических координат запишем в виде [c.361]

Циклические координаты и уравнения Рауса 29 [c.29]

ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ И УРАВНЕНИЯ РАУСА. Циклическими координатами называются координаты, не входящие явно в выражение функции Лагранжа L = Т - П. Такими координатами будут, например, координаты, изменения которых при сохранении значений остальных координат соответствуют перемещениям системы, не изменяющим относительного распределения ее масс, например, как это имеет место в твердом теле, обладающем полной материальной симметрией относительно некоторой оси и вращающемся вокруг этой оси. Угол поворота такого тела будет его циклической координатой. [c.29]

Эти уравнения называются уравнениями Рауса с игнорированными (т. е. с исключенными) циклическими координатами и скоростями. [c.30]

Когда некоторые из лагранжевых координат оказались циклическими, можно с помощью соответствующих первых интегралов понизить порядок системы дифференциальных уравнений движения. Метод Рауса позволяет выполнить понижение порядка системы, сохранив при этом форму уравнений Лагранжа. [c.564]

В этой глаие мы начнем с рассмотрения связей, наложенных на систему мы покажем, что связи можно ввести как предельный случай обычной потенциальной энергии. Затем обсуждается принцип Д Аламбера и на его основе выводятся уравнения Лагранжа первого рода, которые используются в нескольких простых примерах. Выводится вариационный принцип Гамильтона, с помощью которого получаются уравнения Лагранжа второго рода, после того как вводятся обобщенные координаты. После этого рассматриваются циклические координаты, функция Рауса и скрытые массы. Далее кратко обсуждаются неголоном-ные и неинтегрируемые связи и потенциалы, зависящие от скорости специально рассмотрен случай движения заряженной частицы в электромагнитном поле. В конце главы обсуждается связь между бесконечно малыми преобразованиями координат и законами сохранения. [c.38]

Понижение порядка системы дифференциальных уравнений движения П1)н помощи уравпеиий Рауса. Пусть с/а (а = А +1,. ... . ) —циклические координаты. Тогда имеем п — к первых интегралов [c.277]

Равенство (2.43) представляет собой первый интеграл типа (2.40) и оно может быть использовано для формального исключения циклической координаты. После такого исключения мы получим систему уравнений, содержащих только оставшиеся нециклические координаты, и задача сведется к решению этой системы. В связи с этим Раусом был предложен метод, состоящий в такой модификации лагранжиана, при которой исчезают функции циклических скоростей q,, а вместо них появляются соогветствующие импульсы pj. Преимущество такого приема состоит в том, что он позволяет рассматривать эти импульсы р, как постоянные интегрирования, и тогда последующее интегрирование будет относиться только к нециклическим координатам. Подробное рассмотрение метода Рауса мы отложим до тех пор, пока не познакомимся с так называемым гамильтонианом, с которым этот метод тесно связан. [c.62]

Общая теория таких систем была развита Томсоном и Тэтом, а также Раусом целью их исследований было получение уравнений движения в одних позиционных координатах. Так как циклические координаты и соответствующие скорости не должны входить в эти уравнения, то они иногда называются игнорируемыми" координатами, и излагаемый метод называется игнорацией" или игнорированием координат" (Томсон и Тэт). [c.207]

Пользуясь ([lynKUHeii Рауса, исключить циклические координаты для случая симметричного волчка, вращающегося вокруг неподвижной точки, и получить дн(Ь реренциалыюе уравнение, являющееся уравиением движения для нециклических адординат. [c.119]

П. В. Воронец опубликовал новый метод преобразования дифференциальных уравнений динамики, который позволил значительно расширить известные ранее результаты в области задачи п тел. Развивая идею Э- Рауса об игнорировании координат , он показал, что в случае, когда уравнения движения системы допускают линейные относительно скоростей интегралы, из этих уравнений можно исключить циклические координаты и соответствующие им скорости и ускорения. Этот метод дал возможность П. В. Во-110 ронцу сравнительно просто получить известные результаты Ж. Лагранжа, К. Якоби, Э. Бура, А. Бриоши и Р. Радо при произвольном законе притяжения. П. В. Воронец подробно исследовал задачу четырех тел и указал случай интегрируемости в квадратурах для закона притяжения обратно пропорционально кубам расстояний. В случае сил взаимодействия, пропорциональных любой степени расстояний, он установил возможность двух типов движений. Исследуя дифференциальные уравнения задачи трех тел Ув форме Лагранжа, Воронец изучил случай аннулирования кинетического момента, а также случай пространственного движения, при котором образуемый телами треугольник остается равнобедренным и массы точек, расположенных в его основании, равны. [c.110]

В главе 2 книги доказывается, в дпцности, почти очевидное основное положение обсуждаемой концепции. Оно состоит в том, что наличие офытых движений, как щ>авило, связано с необходимостью добавления в уравнение учитываемых движений дополнительных сил, в общем случае зависящих от постоянных интегрирования. Отдельные элементы такой концепции можно обнаружить уже в классических трудах Рауса, Томсона и Тэта, посвященных динамике систем с Циклическими координатами (см. 1.22). [c.24]

Функция Лагранжа L, вообще говоря, зависит от всех координат qi и скоростей qi. Однако может случиться, что некоторые не входят в функцию Лагранжа, хотя соответствующие qk в ней имеются. На особую важность подобных переменных для интегрирования уравнений Лагранжа впервые обратил внимание Раус а затем несколько позже Гельмгольц Раус назвал эти переменные отсутствующими координатами , а Дж. Дж. Томсон употреблял названия киностеническне или скоростные координаты . Гельмгольц те же самые координаты называл циклическими переменными , а в курсе Уиттекера (см. библиографию) используется название игнорируемые координаты [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...