Пример кубические кристаллы с симметрией m3m, 432 или

Пример кубические кристаллы с симметрией тЗт, [c.130]

С такой оговоркой обсуждение Примеров для газов без изменений применимо к жидкостям и кубическим кристаллам, обладающим центрами симметрии. [c.288]

Влияние симметрии упругих свойств на распространение волн. Пример расчета для кубического кристалла [c.215]

Отметим, что при использованной нами постановке задачи собственные векторы о" , отвечающие выбранному значению скорости о, могут быть комплексными. В общем случае это приводит к комплексности определителя граничных условий dmn - В процессе же осуществления итерационной процедуры необходимо обращать в нуль и действительную, и мнимую его части. Причем совершенно неочевидно, что действительная и мнимая части могут одновременно обратиться в нуль при одном и том же значении и. По этой причине в первых работах по поверхностным волнам в кристаллах рядом авторов (см., например, [14]) было высказано предположение, что такое совпадение оказывается случайным, так что поверхностные волны не существуют в произвольно выбранных направлениях поверхности кристалла. Однако численные расчеты и экспериментальные исследования показали, что практически во всех исследованных направлениях различных кристаллов всегда существует значение V, соответствующее поверхностной волне. Таким образом, оказывается, что действительная и мнимая части определителя граничных условий так взаимосвязаны, что обращение в нуль одной из них влечет равенство нулю другой. Не так давно этот факт был подтвержден аналитически, и тем самым были строго доказаны существование и единственность решений в виде поверхностных волн в кристаллах [16—18], в том числе и в пьезоэлектрических [18], для произвольного направления, за исключением некоторых особых направлений, в которых граничные условия могут быть удовлетворены чисто сдвиговой объемной волной. О существовании или несуществовании поверхностных волн вдоль таких особых направлений результаты [16—18] ничего не говорят. Имеются как примеры существования (например, рэлеевская волна в изотропном твердом теле или волна рэлеевского типа в направлении [100] плоскости (001) кубических кристаллов [14]), так и примеры несуществования (направление X К-среза пьезоэлектрического кристалла триклинной симметрии, граничащего со средой с нулевой диэлектрической проницаемостью [18]). Таким образом, для большинства направлений в кристаллах [c.229]

Понятие об ортогональной анизотропии. Симметрия анизотропной среды определяется ее структурой. Наиболее часто в технике встречаются материалы, которым с достаточной степенью точности можно приписать наличие трех взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии. Такие материалы называются ортотропными или ортогонально анизотропными. Линии пересечения плоскостей симметрии являются осями симметрии второго порядка поворот фигуры на половину окружности вокруг такой оси приводит к полному совмещению всех ее точек (см. рис. 1.1). Пространственная фигура (поверхность анизотропии), изображающая характеристику какого-либо свойства ортотропного материала, обладает меньшей симметрией, чем фигуры для материала с кубической симметрией. Оси симметрии материала с кубической симметрией имеют четвертый порядок. Поворот фигуры на четверть окружности приводит в этом случае к совмещению всех ее точек. На рис. 1.2 изображены для примера поверхности анизотропии модулей Е и О кристалла с кубической симметрией (монокристалла альфа-железа). Фигуры отсекают на трех осях симметрии одинаковые отрезки. Для ортотропного материала эти отрезки имеют различную величину, поскольку оси симметрии ортотропного материала имеют не четвертый, а второй порядок (см. рис. 1.1). Если величины отрезков, отсекаемые на одной и той же оси по обе стороны от центра фигуры, одинаковы, то говорят, что фигура имеет центр симметрии. Оси сим- [c.10]

Правильная или кубическая система. Теперь мы подходим к очень интересному случаю, а именно — случаю од попрело мл яющего кристалла, примером которого могут служить каменная соль и плавиковый шпат. В этом случае все три оси Ох, Оу, Oz эквивалентны, все являются тетрагональными осями. По симметрии мы имеем тогда [c.250]

О том, что расплавленные малые частицы металлов могут очень сильно переохлаждаться более чем на 100°), известно давно (см [8]). Примеры переохлаждения частиц Sn и Bi приведены на рис. 96, 97. Наиболее естественно объяснить это явление длительным сохранением в переохлажденной жидкости возникающих при плавлении тела кластеров иной симметрии, чем симметрия решетки исходного кристалла. В случае частиц Bi (см. рис. 97) отчетливо выражена двухстадийная кристаллизация, по-видимому обусловленная двумя факторами изменением структуры кластеров из близкой к кубической в исходную гексагональную и затруднением их движений ввиду увеличения молярного объема при кристаллизации. [c.221]

Здесь МЫ имеем только три упругие постоянные. Примером такой симметрии могут служить кристаллы кубической формы, в частности кристаллы каменной соли. [c.44]

Периоды трансляции решетки в различных направлениях определяются в первую очередь силами, действующими между частицами. Поэтому анизотропию можно объяснить в конечном счете различием связей в разных направлениях. При небольшой разнице связей в различных кристаллографических направлениях образуются изометрические структуры, которые не проявляют ярко выраженной анизотропии свойств. Однако эти свойства могут очень резко проявиться в так называемых слоистых структурах, в которых расстояние между атомами и соотношение связей в пределах одной плоскости существенно отличаются от таковых в перпендикулярном к ней направлении. Типичным примером является графит, кристаллизующийся в гексагональной сингонии, который обладает плотной упаковкой атомов в одной плоскости и образует открытую структуру в перпендикулярном к ней направлении. Результатом этого являются характерные различия в твердости, тепло- и электропроводности и т.д. Симметрию свойств кристаллов можно объяснить симметрией их кристаллической структуры. Поэтому кристаллы с высокой симметрией, как например, кристаллы кубической сингонии, обнаруживают высокую симметрию свойств. В этом случае для полного описания зависимости свойств кристалла от направления требуется лишь несколько констант. Напротив число независимых констант для кристаллов триклинной сингонии сильно возрастает. [c.30]

Установлено, что уравнение (7.66) дает достаточно точные значения для сечения неупругого рассеяния, даже когда условия, которые предполагались при его выводе, не удовлетворяются. Так, оно было применено для твердых тел, в которых кристаллы не имеют кубической симметрии, межатомные силы не являются гармоническими и в элементарной ячейке содержится более чем один атом. При расчетах для таких материалов функция / (со) обычно выбирается на основании некоторой модели кристалла, в рамках которой можно оценить фононный спектр. В качестве примера в разд. 7.4.8 обсуждается рассеяние нейтронов в графите. Можно так же, как показано в разд. 7.4.7, получить приближенные значения функции / (со) из измеренных сечений рассеяния. [c.276]

Рассмотрим более подробно в качестве примера кристаллы типа СизО, которые относятся к наиболее симметричному классу кубической сингонии. Характеры неприводимых представлений группы О/, указаны в табл. IV (в обозначениях [69], см. приложение I). Во втором столбце этой таблицы указано, как преобразуются соответствующие волновые функции под действием операций симметрии из группы Так, например, из таблицы следует, что три волновые функции, соответствующие трижды вырожденному (при й = 0) [c.203]

Поясним метод определения модулой упругости на примере кристалла, принадлежащего к ромбической системе, для которого модули Си, i2, i3, С22, С23, С33, С44, С55 и Сбб конечны. Полагая далее, что некоторые из этих модулей одинаковы, получаем результаты, соответствующие системам с более высокой симметрией — тетрагональной, гексагональной и кубической. [c.389]

В качестве второго примера рассмотрим анизотропный кристалл в этом случае теплопроводность, диффузия и смешанные явления описываются уравнениями (4.2) и (4.3), где, однако, коэффициенты L являются тензорами. Свойства симметрии кристалла дают возможность упростить систему коэффициентов. Например, в случае кубической симметрии коэффициенты могут быть записаны как скалярные величины, умноженные на единичный тензор U- [c.158]

Специфичность каталитической активности различных твердых веществ часто приписывают двум свойствам твердого тела. Одно из них связано с геометрией расположения атомов на поверхности катализатора. Доказательством тому служат различные каталитические реакции. Так, можно указать на специфичность каталитического действия определенных граней кристалла в катализируемой медью реакции в системе На—(по-видимому, из-за наиболее благоприятного расположения атомов на соответствующих плоскостях), повышенную активность гексагональных решеток и граней (111) гранецентрированных кубических решеток при гидрировании бензола (считают, что гексагональная симметрия этих поверхностей способствует адсорбции молекул бензола плоскостью). Точно так же каталитическая активность различных металлов в реакции гидрирования этилена закономерно связана с расположением атомов в их решетках. Однако часто геометрический фактор не является решающим, и даже если он представляется важным, возможны и другие объяснения. Так, различная каталитическая активность металлов в реакции гидрирования этилена может быть связана не только с различием в расположении атомов, но и с изменением в ряду катализаторов типа связей и степени заполнения валентной оболочки металла. Особенно наглядным примером зависимости каталитической активности от типа грани кристалла могут служить опыты с металлическими монокристаллами сферической формы. Например, реакция в системе СО—Hg, катализируемая сферическими кристаллическими частицами Ni, сопровождается выделением углерода только в местах преимущественного выхода определенных граней. Для уточнения природы этих поверхностей и ее сопоставления с каталитической активностью было бы необходимо провести детальные исследования, аналогичные рассмотренным в разд. 10.2. [c.191]

В 142 от.мечалось, что кубические кристаллы, в силу высокой степени их симметрии, должны быть оптически изотропными. Сравнительно недавно была обнаружена, однако, зависимость поглощения от поляризации света в кубическом кристалле закиси меди СиаО (Е. Ф. Гросс и А. А. Каплянскнй, 1960 г.) и анизотропия показателя преломления в кубическом кристалле кремния (Пастернак и Ведам, 1971 г.). Известны и другие явления, для описания которых обычная связь между электрической индукцией О и электрической напряженностью Е, введенная в 142, оказывается недостаточной. Наиболее важным примером этих эффектов может служить естественная оптическая активность (гиротропия) кристаллов, сравнительно легко наблюдаемая и описанная в гл. XXX. [c.521]

Вследствие малости параметра а/Я, эффекты пространственной дисперсии в оптике малы. Они становятся существенными лишь тогда, когда приводят к качественно новым явлениям. В средах, не обладающих центром симметрии, второй член в (2.76), имеющий порядок а/Я, приводит, как показано ниже, к небольшому различию фазовых скоростей волн правой и левой круговых поляризаций, т. е. к естественной активности. При наличии центра симметрии этот член обращается в нуль и эффекты пространственной дисперсии могут быть обусловлены лишь третьим членом в (2.76), имеющим порядок a/Kf. Пример такого эффекта — слабая оптическая анизотропия кубических кристаллов, на возможность существования которой Лоренц обратил внимание еще в 1878 г. Из-за малости эффекта [(а/Я) 10 ] наблюдать его трудно. Экспериментально ои был обнаружен лишь в 1960 г. Е. Ф. Грос- [c.112]

Следует указать иа то, что кристЛлл может, как это обычно и бывает на самом деле, обладать в отношении некоторых своих физических свойств каким-либо родом симметрии, которым не обладает его кристаллографическая форма. Например, кубические кристаллы оптически изотропны. Результаты 1-05 дают другие примеры этого. [c.167]

Следовательно, кристаллы из этого класса не проявляют пьезоэлектрических свойстр и не имеют прямой связи между электрической поляризацией и ее градиентом- В качестве примера рассмотрим кристалл, принадлежащий кубической точечной группе тЗт (по международной кристаллографической классификации) или Оп (по классификации Шёнфли). Образующие соответствующей группы симметрии в представляются следующими тремя матрицами [c.453]

Кристалл имеет убическую симметрию, причем ионы Ва++ расположены в углах куба, ионы О— находятся в центрах его граней, а ионы Т1 + размещены в центрах кубов. При первом переходе структура становится тетрагональной при этом положительные ионы смещаются относительно отрицательных вдоль направления [100]. Структура перовскита может служить примером кубической структуры, в которой не все ионы расположены в точках с полной кубической симметрией. (В таких точках лежат ионы Ва++ и ТИ+, но не О—.) Поэтому локальное поле, действующее на ионы кислорода, описывается более сложным выражением, чем простая формула Лореяца. Это важно для понимания механизма возникновения еегнето-электрических свойств, й [c.181]

Вычисление восприимчивости в слабых полях является несколько более сложной задачей. Необходимо зпать ход изменения энергетических уровней с приложенным полем. Это изменение далеко не является линейным и, кроме того, зависит от ориентации поля относительно кристаллографических o eii. В качестве примера на фиг. 13 и 14 изображены схемы уровней хромовых квасцов для случаев ноля, направленного но кубической и тригональной осям. Если в единичной ячейке кристалла с различными осями симметрии имеется несколько ионов (наиример, в случае тригональ-иой симметрии), то результаты для заданного наиравления ноля должны быть усреднены но этим ионам. [c.464]

Рассмотрим конкретный пример кристалла титаната бария (BaTiOj). Он представляет собой сегнетоэлектрический кристалл с температурой фазового перехода Т . = 120 °С. Ниже температуры перехода Т < Т ) кристалл является ацентрическим с точечной группой 4mm и преобладает линейный электрооптический эффект. Выше температуры перехода Т > Т ) кристалл обладает симметрией тЗт (кубической) и линейный электрооптический эффект исчезает. Пусть поле действует вдоль направления <110) в кристалле [c.282]

Симметрия сегнетоэлектрической модификации может быть найдена, если известны симметрия высокотемпературной модификации и направление спонтанной поляризации. При возникновении последней кристалл может испытывать пьезоэлектрическую или электрострик-циоиную деформацию, по которым и может быть определена новая симметрия. Простейший пример — при возникновении спонтанной поляризации в кубическом ВаТЮд при 120° кубическая ячейка преобразуется в тетрагональную за счет растяжения по направлению 0ДН011 из осей четвертого порядка, обусловленного электрострикцией. [c.51]

ПОЛЯ, которые проявляются в случаях, когда в точечной группе кристалла отсутствует инверсия и когда имеется ветвь, одновременно активная в инфракрасном поглощении и в комбинационном рассеянии света. Важным и типичным примером такой ситуации является тетраэдрический класс Та кубической системы. А ожно считать, что такая симметрия возникает из симметрии класса Он при исключении инверсии из совокупности элементов симметрии. В таком случае представления и группы [c.55]

В качестве важного примера отметим, что группой симметрии узла для каждого атома в элементарной ячейке кристалла типа алмаза является группа тетраэдра Td, тогда как факторгруппой алмаза является полная кубическая точечная группа Oft. Для кристаллов типа каменной соли оба атома в элементарной ячейке имеют группу узла, совпадающую с О .- Читатель может легко проверить эти утверждения, рассмотрев действие каждого из представителей смежных классов в табл. 2, примененного относительно начала координат. Более поучительно [c.225]

На вид спектра кристалла влияет не только валентность иона группы железа, но и его координация, иными словами, количество ионов, окружающих катион и создающих кубические поля или поля более низких симметри . В одном п том же кристалле может происходить изоморфное замещенпе основных комнонент (катионов) кристаллической решетки, расположенных в 4-, 6- и 8-й координациях. Приведем в качестве примера гранат. Его структура [9] дана на рис. 2, з, к, л. Отдельно на рис. 2, з приведен мотив, образованный октаэдрами, тетраэдрами и скрученными кубами, из которых строится структура граната. Ионы железа могут изоморфно замещать в гранате АР" и располагаться в октаэдрах (6-я координация), а также располагаясь в скрученных кубах (координа- [c.160]

Среда, в которой оба условия удовлетворяются одновременно, не может быть пьезоэлектрической, так как обладает центром симметрии. В качестве примера можно привести распространение ПАВ в направлении кристаллографической оси вдоль базовой плоскости непьезоэлектрического кристалла с кубической симметрией. В этом случае решение уравнения (6.8) распадается на две независимые части. Составляющая иг приводит к появлению объемной поперечной волны, которая удовлетворяет граничным условиям на поверхности. Из второй части решения получим две константы Ь " которые в отличие от изотропной среды не обязательно будут располагаться на отрицательной мнимой оси, так как 2с44 сц - С12. Действительные части констант приводят к осциллирующей амплитуде смещения, в то время как мнимые части характеризуют затухание. [c.275]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...