Точка неподвижная (точечного преобразования)

Применяя в предыдущей задаче метод точечных преобразований, найти неподвижную точку преобразования. [c.440]

Многие стороны поведения фазовых траекторий динамической системы, а в ряде случаев и полная картина разбиения фазового пространства на траектории могут быть выяснены путем исследования поведения последовательных точек пересечения траекторий с так называемым отрезком без контакта (в случае двумерного фазового пространства) или с секущей поверхностью (в случае трехмерного фазового пространства). Эта последовательность точек пересечения образует некоторое точечное преобразование Т, к изучению которого и сводится задача об исследовании поведения фазовых траекторий. При этом оказывается, что структура рассматриваемой динамической системы взаимно однозначно определяется структурой порождаемого ею точечного отображения Т. Это означает, что каждому вопросу в отношении структуры решений дифференциальных уравнений отвечает некоторый вопрос, относящийся к структуре точечного отображения Т. В частности, периодическим решениям дифференциальных уравнений или, что то же самое, замкнутым фазовым траекториям ставятся в соответствие неподвижные точки соответствующею точечного отображения Т, [c.70]

Напомним, что от точечного отображения требуется, чтобы любая его точка при ее преобразовании как в сторону убывания, так и возрастания времени стремилась к одной из конечного числа некратных неподвижных точек. [c.361]

Пусть теперь дана некоторая поверхность 8, пересекающая замкнутую кривую движения в точке Q под углом, отличным от нуля. Плоскость г = О, очевидно, является поверхностью этого рода. Возьмем какую-либо точку Р этой поверхности и проследим проходящую через Р кривую движения в направлении возрастающего времени до первой следующей точки Р1, также лежащей на 8. Этим определяется точечное преобразование Т от любого Р к соответствующему Рх Рх = Т(Р). Это преобразование, как и обратное преобразование Р = Т Р1), аналитично, если только данная проблема и секущая поверхность аналитичны. Следует заметить, что Q является неподвижной точкой преобразования Т. [c.314]

В обоих случаях соответствующие точечные преобразования имеют единственную неподвижную точку [c.201]

Для выяснения устойчивости найденного предельного цикла построим на единой диаграмме кривые г = г ( ) и = г 1 ( ) (если по оси ординат откладывать не г и г 1, а и г ,, то мы получим две прямые, изображенные на рис. 147). Точка их пересечения является неподвижной точкой точечного преобразования. Зада- /и =г11 Г)Ц-1) димся любым V (на рис. 147 для определенности взято г г ) по прямой (3.43а) определим и затем по прямой (3.436) определим по как по новой, исходной точке преобразования найдем и и т. д. Построенная лестница Ламерея сходится к неподвижной точке в силу того обстоятельства, что прямая г/ = [c.221]

Будем называть неподвижную точку точечного преобразования устойчивой, если существует такая ее окрестность (е ), что все по- [c.332]

Как мы видели, этот предельный цикл может лежать только целиком в области 2 0. Поэтому необходимым и достаточным условием его существования является существование неподвижной точки 5 0 рассматриваемого точечного преобразования полупрямой 8 = 82, г 0 самой в себя, осуществляемого траекториями системы (7.4), [c.493]

Очевидно, задача отыскания предельных циклов, проходящих по всем трем областям (т. е. через области (/), (II), (III) и (II)), сводится к нахождению неподвижных точек этого полного точечного преобразования П, т, е. к решению системы (обычно трансцендентных) уравнений [c.506]

Рассмотрим фазовую траекторию, выходящую из некоторой точки 5 полупрямой 5. Эта траектория, пройдя по области (/), пересечет полупрямую в точке 5 и затем, если т. е. если фазовые траектории в области (//) являются спиралями, вновь выйдет на полупрямую 5 в некоторой точке (рис. 350). Тем самым фазовые траектории при 0< Й2< 1 осуществляют точечное преобразование полупрямой 5 самой в себя, ставя во взаимно-однозначное и непрерывное соответствие точки 5 и 51 этой полупрямой. Неподвижная точка этого преобразования, очевидно, является точкой пересечения предельного цикла с полупрямой 5. [c.509]

Таким образом, существует только одна точка пересечения кривых 5 = 5(5 ) и 51 = 51(5 ) — одна неподвижная точка точечного преобразования П, причем для этой точки [c.516]

Диаграмма Ламерея для случая 1 и любых Аа О изображена на рис. 368, т. е. и при этих значениях параметров А,, Аа имеется единственная и устойчивая неподвижная точка точечного преобразования П. [c.527]

В области (д) рис. 380 и точечное преобразование имеет един ственную неподвижную точку (случай (д) диаграммы Ламерея). [c.538]

Итак, точечное преобразование П полупрямой 5 в полупрямую имеет единственную и притом устойчивую неподвижную точку (5 = 51 = 5, 5 = ). Соответственно, на фазовой плоскости имеется единственный (симметричный и устойчивый) предельный цикл, к которому стремятся при все фазовые траектории (рис. 389),— в схеме при 1 и при любых начальных условиях устанавливаются автоколебания ). [c.550]

Итак, при О <[ р <[ 1 точечное преобразование П имеет единственную и притом устойчивую неподвижную точку, которая, как нетрудно видеть, является предельной точкой для последовательностей [c.588]

Доказательство существования, единственности и устойчивости неподвижной точки точечного преобразования полупрямой 5 в полупрямую 5 полностью аналогично доказательству,проведенному в первом разделе настоящего параграфа. [c.599]

В связи с этим встает вопрос, исчерпывается ли фазовая поверхность этими двумя областями притяжения, т. е. не имеется ли, кроме двух указанных устойчивых режимов, других, таки е устойчивых режимов, к которым система могла бы приходить при соответствующих начальных условиях Отрицать существование каких-либо других устойчивых режимов, отличных от состояний равновесия и симметричных автоколебаний, без более детального исследования точечного преобразования мы в данном случае не можем. В рассматриваемой динамической системе двузначность функции 5 = 5 (т) и наличие нисходящего участка кривой = (1) (при С(, - < Т1) содержит в себе, например, возможность существования сложного и, вообще говоря, несимметричного периодического режима, определяемого неподвижной точкой не преобразования х = П ( ), а кратного ему преобразования [c.614]

Неподвижная точка этого точечного преобразования — точка, преобразующаяся сама в себя (для нее лг1 = лг2), очевидно, является точкой пересечения замкнутой фазовой траектории с полуосью положительных лг. Подставляя в (3.19) Х1—Х, х — х, получим для неподвижной точки [c.186]

Следовательно, при любом движении балансира в последовательности его скоростей V, Юх, г, , г з,. .. в моменты смены контактирующей палетты каждая последующая скорость определяется предыдущей найденной функцией последования. Это дает возможность проследить за ходом любой выбранной фазовой траектории. Неподвижная точка V точечного преобразования, т. е. точка, для которой г) = г = гi, очевидно, соответствует симметричному предельному циклу, являясь точками пересечения этого предельного цикла с полупрямыми (г ) и V ). Для неподвижной точки имеем [c.220]

Условие устойчивости неподвижной точки я точечного преобразования, выражаемого функцией последования 5==/(5), а следовательно, и условие устойчивости соответствующего предельного цикла дается теоремой Кенигса [168, 169] ) [c.333]

Рассмотрение нескольких задач об автоколебаниях кусочно-линейных систем при помощи метода точечных преобразований было уже проведено в 4—6 гл. III. В этих задачах нахождение предельных циклов и исследование их устойчивости сводились к построению некоторого точечного преобразования полупрямой самой в себя (к вычислению соответствующей функции последования), к отысканию неподвижных точек полученного точечного преобразования и исследованию их устойчивости, причем во всех рассмотренных задачах мы [c.504]

Критерии существования неподвижно точки многомерного точечного отображения. Уже на примере точечного отображения прямой в прямую можно было видеть, насколько сложным может быть поведение его последовательных преобразований. С увеличением размерности, естественно, трудности исследования и возможная сложность поведения значительно возрастают. Однако все же разница между одномерными отображениями и многомерными не столь разительна, как между двумерными и многомерными дифференциальными уравнениями. Некоторое объяснение этому можно видеть в том, что рассмотрение двумерной системы дифференциальных уравнений при сведении к точечному отображению прямой в прямую всегда приводит к взаимно однозначным отображениям, структура которых очень проста. В то время как исследование многомерных дифференциальных уравнений может свестись к изучению как многомерных точечных отображений, так и невзаимпо однозначных точечных отображений. [c.297]

Соотношения (3.51 а) и (3.51 б) являются функцией последования для рассматриваемого точечного преобразования, записанной опять в параметрической форме функция последования для точечного преобразования полупрямой (г ) в полупрямую (г>), осуществляемого фазовыми траекториями на листе (II), имеет тот же вид в силу указанной выше симметрии фазовых траекторий на листах (/) и (11). Эта функция последования определяет в последовательности точек пересечения любой выбранной фазовой траектории с полупрямыми (г ) и (г ) (в последовательности V, , г 2,. ..) каждую последующую точку по предыдущей. Неподвижная точка преобразования г (для нее г = г , = ) Соответствует симметричному предельному циклу (рис. 151). [c.225]

Устойчивость неподвижной точки. Теорема Кенигса. Итак, если мы знаем точечное преобразование некоторого отрезка Ь самого в себя (знаем функцию последования), то задача отыскания замкнутых фазовых траекторий (предельных циклов), пересекающих этот отрезок, сводится к нахождению неподвижных точек, т. е. таких точек з отрезка Ь, для которых [c.331]

Эта функция последования, существующая в некоторой окрестности точки Мо, определяет точечное преобразование отрезка I самого в себя (в той же окрестности), причем, конечно, точка УИо ( и = 5 = 0) является неподвижной точкой. [c.337]

Напомним, что основные понятия метода точечных преобразований (понятия функции последования, неподвижной точки точечного преобразования и ее устойчивости) были сформулированы в 7 гл. V. Там же была дана и теорема Кенигса об устойчивости неподвижной точки. [c.504]

Принципиально таким путем можно получать точечные преобразования для любых кусочно-линейных динамических систем второго порядка и проводить количественное исследование последних. Однако, конечно, практические трудности в исследовании и решении системы уравнений, определяющей неподвижные точки, в выяснении устойчи- [c.506]

Смотреть страницы где упоминается термин Точка неподвижная (точечного преобразования) : [c.333] [c.483] [c.624] [c.638] [c.78] [c.351] [c.226] [c.329] [c.493] [c.495] [c.495] [c.507] [c.518] [c.523] [c.573] [c.588] [c.611] [c.612] [c.613]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...