Теорема о центральном многообразии

Теорема. Класс всех ростков векторных полей в негиперболической (имеющей лежащее на мнимой оси собственное число) особой точке представляется в виде объединения двух открытых множеств и остатка коразмерности выше единицы в пространстве всех ростков в особой точке. Первое множество соответствует нулевому собственному значению особой точки, второе — паре чисто мнимых. Типичные ростки в том и другом случае приводятся на центральном многообразии к указанному в таблице 1 виду (строки 1 и 2). Деформации таких ростков в типичных однопараметрических семействах стабильно (с точностью до надстройки седел) эквивалентны выписанным в таблице 1 главным деформациям и нереальны. [c.20]

Теорема [43]). В типичных двупараметрических семействах векторных полей встречаются лишь такие ростки с двумя нулевыми собственными значениями в особой точке, ограничение которых на центральное многообразие в подходящих координатах имеет вид, указанный в таблице 1 (строка 5). Деформации таких ростков в типичных двупараметрических семействах стабильно (с точностью до надстройки седел) эквивалентны выписанным в таблице главным деформациям и версальны. [c.26]

Замечание. Подчеркнем, что все упомянутые в теореме представители — это ростки семейств с общим центральным многообразием, Л/-струи которых во всех точках центрального многообразия совпадают. [c.71]

Теорема о центральном многообразии. [c.62]

Многообразие в этой теореме называется центральным многообразием, плоскость Г 0Г — плоскостью гиперболических переменных. Следующая теорема утверждает, что при исследовании топологии нелинейного ростка векторного поля важно только ограничение этого ростка на центральное многообразие, а гиперболические переменные можно не учитывать. [c.63]

Теорема. Ограничение на центральное многообразие каждого из ростков перечисленных выше классов топологически эквивалентно одному из ростков, JV-струи которых перечислены в таблице 2, при условии, что нормализованная iV-струя исследуемого ростка не принадлежит исключительному многообразию это многообразие и число N также указаны в таблице. [c.65]

Теорема. Если ограничение предварительной нормальной формы на формальное центральное многообразие имеет внд [c.82]

Хотя теория бифуркаций в ее современном виде исключает из рассмотрения флуктуации, некоторые из последних работ по теории бифуркации посвящены изучению окрестности ветвящегося решения. Специалисты по теории динамических систем и теории бифуркации заметят, что в нашей книге по ходу изложения мы выходим на передний край современных исследований и получаем новые результаты. Один из таких результатов (аналог теоремы Флоке) относится к виду решений линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. Нам удалось изучить широкий класс таких уравнений с помощью вложения. Другой результат относится к бифуркации п-мерного тора в другие торы. Наконец, принцип подчинения включает в себя в качестве частных случаев ряд важных теорем, например теорему о центральном многообразии, теорему о медленном многообразии и различные алгоритмы адиабатического исключения переменных. [c.363]

B отличие от теоремы о центральном многообразии принцип подчинения учитывает флуктуации, распространяется на окрестность центрального многообразия и позволяет построить функцию s (и, ф, t) [c.395]

Уравнение (4.3) фи любых значениях параметра ц имеет тривиальное решение м = 0. Можно показать, что спектр линейного оператора R(fi) точечный. Предположим, что существует такое значение параметра ц, что тривиальное решение теряет устойчивость, т.е. хотя бы одно собственное значение оператора Л(д) пересекает мнимую ось. Пусть при м = До одно простое собственное значение Х(до) = 0. при этом считаются выполненными условия трансверсальности — КеХ (до) Ф 0. т.е. мнимая ось пересекается с ненулевой скоростью. Тогда, по теореме о центральном многообразии, для д из окрестности До существует однопараметрическое семейство стационарных решений, которые будут строиться следующим образом. [c.175]

Замечание П12.6. Поскольку та часть времени, которую точка эргодической системы проводит в области Л, пропорциональна мере этой области, естественно поинтересоваться величиной дисперсии. Некоторые результаты получил Синай [1]. Например, пусть (ТхХ , /х, (рг) — геодезический поток на компактной поверхности V отрицательной кривизны, А — область многообразия ТхУ, ограниченная кусочно дифференцируемой поверхностью. Тогда разность между средним временем, которое точка (ргх проводит в области А, и мерой области А распределена по закону Гаусса и удовлетворяет центральной предельной теореме [c.135]

Центральная предельная теорема для геодезических потоков на многообразиях постоянной отрицательной кривизны. Докл. АН СССР, 1960, 133, с. 1303-1306. [c.276]

Теорема сведения ([117], [20]). Локальное семействовекторных полей (и О, 0), г (О, 0)=0 топологически эквивалентно надстройке седла над ограничением семейства на его центральное многообразие. Это ограничение (обозначим его-(ш О, 0) представляет собой локальное семейство с с-мерным фазовым пространством, где с — размерность центрального многообразия ростка v -, 0)). Если локальное семейство (ш О, 0) является версальной деформацией ростка w -, 0), тО исходное семейство (и О, 0) является версальной деформацией, ростка г ( , 0). А [c.18]

Теорема . В типичных х-параметричесйих семействах ростков диффеоморфизмов в неподвижной точке встречаются только такие ростки с мультипликатором 1 (или —1) и одномерным центральным многообразием, вблизи которых семейства локально слабо эквивалентны надстройке седла над одним из главных семейств (8 ) (соответственно, (9 )) при слу- [c.53]

Теорема ([86], [94]). Пусть (л , у) = р — точка складки медленной поверхности быстро-медленной системы (2) типа 1 (то есть системы с не более чем одномерными центральными многообразиями положений равновесия быстрых движений). Пусть вектор С х, у, 0) трансверсален проекции складки на базу вдоль слоев (то есть проекции складки на пространство-медленных переменных вдоль пространства быстрых). Пусть, кроме того, этот вектор направлен наружу по отношению к проекции медленной поверхности на плоскость медленных переменных. Тогда существует такая окрестность U точки р в фазовом пространстве, что для любой точки qW связная компонента пересечения окрестности U с положительной полутра-екторией системы (2) с началом q при е->0 стремится к регулярной фазовой кривой вырожденной системы. [c.184]

Анализ бифуркаций фазовых портретов в окрестности положений равновесия в типичных однопараметрических семействах многомерных систем был обоснован после того, как появилась общая теорема сведения А. Н. Шоши-тайшвили [117], сводящая исследование произвольных локальных семейств к исследованию их ограничений на центральное многообразие. Важно отметить, что типичность редуцированного семейства равносильна типичности исходного это также доказано в [117]. Само существование центрального многообразия установлено ранее В. А. Плиссом 19 70] (при отсутствии неустойчивого многообразия), а для общего случая — Кэли [173 1] и Хиршем, Пью и Шубом, (1971) подробное изложение — в [162]. [c.208]

Причина этого явления может быть объяснена с двух различных точек зрения. Во-первых, подобные неэкспоненциальные асимптотические решения лежат на центральных многообразиях, которые в большинстве случаев не аналитичны. Во-вторых, вводя некоторый малый параметр (соответствующий квазиоднородной шкале, ассоциированной с первыми нетривиальными членами построенных рядов) в рассматриваемую систему, мы можем получить сингулярно возмущенную систему, теряющую некоторые производные при обнулении малого параметра. В любом случае явление подобного рода связано с взаимодействием переменных, отвечающих 13 нулевым и ненулевым корням характеристического уравнения. Получаемые ряды являются асимптотическими рядами для требуемых частных решений, но прямое использование техники абстрактной теоремы о неявной функции в данной ситуации невозможно. Для доказательства факта асимптотичности построенных рядов необходимо применять теорию, принадлежащую А.П. Кузнецову [14, 15]. Грубо говоря, эта теория утверждает, что если гладкая система дифференциальных уравнений обладает формальным решением в виде рядов (10), то она обладает настоящим гладким решением для которого (10) дает асимптотическое разложение. [c.102]

Теорема сведения Шошитайшвили ([8]). Пусть дифференциальное уравнение с дважды гладкой правой частью имеет особую точку О и линейную часть Ах. Пусть Г, 7 и Г — инвариантные плоскости оператора Л, описанные в п. 4.1. Тогда в окрестности точки О рассматриваемое урав1нение топологически эквивалентно прямому произведению двух уравнений ограничению исходного на центральное многообразие и стандартного седла [c.63]

Теорема ([98]). Росток v векторного поля класса имеет аналитическое центральное многообразие (фазовую кривую, голоморфно продолжаемую в нуль и касающуюся ядра линейт ной части в нуле), если и только если n,= (id, ф+). [c.101]

Инвариантные многообразия ростков диффеоморфизмов, Для отображений справедливы теорема Адамара—Перрона, теорема о центральном многообразии и принцип сведения Шошитайшвили (см. 4, гл. 3). [c.106]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...