Некоторые тригонометрические величины

Некоторые тригонометрические величины [c.221]

Таблица 4. Некоторые тригонометрические величины и их логарифмы

Так как в формулах перехода участвуют тригонометрические функции, то в некоторых случаях может оказаться целесообразным задание профиля в полярных координатах как функции той или иной тригонометрической величины. [c.240]

Детальное изложение теории эллиптических функций и их применений в механике можно найти в книге Сикорского Ю. С. P ] там же приведены таблицы для эллиптических функций, аналогичные до некоторой степени таблицам натуральных тригонометрических величин. [c.163]

При решении некоторых вопросов токарной обработки применяются формулы, в состав которых входят тригонометрические величины. Определение значений этих величин для различных углов и, наоборот, определение углов по данным величинам производится по нижеприводимым таблицам. Правила пользования этими таблицами см. на стр. 487. [c.480]

Смысл этой записи в том, что произведение произвольной функции Бесселя на один из тригонометрических множителей является решением уравнения. Это решение определяется с точностью до некоторой постоянной величины А (а) или В (а). [c.14]

Как указывалось, результаты тригонометрического контроля хода лучей через оптическую систему с конечными толщинами обычно не удовлетворяют всем поставленным условиям величины аберраций получаются не те, которые задавались. Это вызывается приближенностью методов решения аберрационных уравнений, влиянием толщин и пренебрежением аберрациями высших порядков. В каждом отдельном случае можно определить долю каждой из этих причин в полученном расхождении однако ради экономии времени и труда целесообразно исправить все остаточные аберрации независимо от причин, вызвавших нх появление. Условимся понимать под исправлением аберрации ие полное их уничтожение, чего достигнуть нельзя, а уменьшение до некоторых заданных величин, вполне определенных для каждого типа системы всякие стремления к дальнейшему уменьшению приводят к бесполезной потере времени. Такие предельные значения для тех или нных аберраций были отчасти указаны в предыдущем параграфе более подробные сведения может дать только продолжительный опыт. Исправление аберраций достигается небольшими изменениями конструктивных элементов системы. Можно указать на [c.375]

Для Практических расчетов звуковых полей с помощью бесконечных рядов важно установить критерий, при выполнении которого можно заканчивать вычисление членов ряда. В качестве такого критерия иногда используют сравнение очередного члена ряда Ап с некоторой малой величиной е и составляют программу таким образом, чтобы счет останавливался при п = N, для которого Ап < е. Заметим, что применение этого критерия во многих случаях ведет к грубым ошибкам. Наиболее часто ошибки возникают в тех случаях, когда в выражение для А входят осциллирующие функции (например, тригонометрические или цилиндрические. При некотором номере п осциллирующая величина Ап может оказаться близкой к нулю, и вычислительная машина прекратит счет задолго до того, как будет достигнута достаточно хорошая сходимость. [c.171]

Остановимся на рассмотрении последнего слагаемого правой части уравнения (IV.44), содержащего время t вне знака тригонометрической функции. Такого рода выражения называются секулярными или вековыми членами. Это название связано с некоторыми задачами небесной механики. Последнее слагаемое в правой части равенства (IV.44) неограниченно возрастает по абсолютной величине с увеличением времени t. Выражение (IV.44) показывает, что [c.344]

В уравнении (4) матрицы G, G зависят от и типа краевых условий. Элементы матрицы преобразования для составной конструкции Л , связывающей перемещения и усилия на ее краях I и II, являются экспоненциально-тригонометрическими функциями. Амплитуда этих функций экспоненциально возрастает с ростом длины составляющих конструкцию оболочек и достигает величины С ехр где — безразмерная суммарная длина оболочек, С — постоянная, зависящая от геометрии оболочек и не зависящая от их длины. С ростом матрица становится плохо обусловленной и ее точное обращение становится невозможным даже с помощью ЭВМ. Действительно, так как матрица является матрицей перехода от края I к краю II, то обратная ей матрица (Л ) является матрицей перехода о т края II к краю I и по условиям взаимности ее элементы совпадают с элементами матрицы с точностью до некоторых коэффициентов, не зависящих от произведение (Л ) дает единичную матрицу, элементы которой 1 и О являются при больших I малыми разностями больших чисел порядка С ехр 2 . Это наглядно видно, например в случае оболочек, для которых решение дифференциальных уравнений выражается через функции А. Н. Крылова, и матрица содержит в качестве ядра матрицу функций А. Н. Крылова, обладающую свойством ( ) = Y (— I). Однако можно показать, что при решении системы (4) независимо от вида краевых условий достаточно обращения только одного блока второго порядка матрицы Л , которое может быть выполнено точно (при той же длине конструкции). Например, если по краям составной конструкции из [c.78]

Величина д и в плоском и в пространственном периодических решениях представляется рядом, расположенным по степеням параметра а, коэффициентами которого являются конечные ряды косинусов целых кратностей т. Ряды эти сходятся абсолютно для всякого значения т, пока а не превосходит некоторого, отличного от нуля предела. Поэтому простой перестановкой членов ряды эти молено превратить в тригонометрические, [c.327]

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим генерирование звука расположенными вдоль бесконечной прямой источниками с постоянным массовым расходом t) на единицу длины. Определим избыточное давление в некоторой точке, кратчайшее расстояние от которой до рассматриваемой прямой равно 5. Заметим, что суммарная длина двух отрезков этой прямой, расстояние от которых до рассматриваемой точки лежит между г и г + г, находится из простых тригонометрических соотношений и составляет 2г (г — dr, если г > х, и таких отрезков не существует, если г С. в. Отсюда следует, что в уравнении (71), величину д t — г/с) необходимо заменить величиной [c.35]

В шесть уравнений (1) входят девять неизвестных, следовательно, имеются три независимые функции. Оказывается, для патрубка наилучшей комбинацией трех независимых функций является гпг, niQ, niQz, а для сосуда (из-за трудностей с граничными условиями при х — х ) более подходящей является тройка Шх, /Лхф, млгф. В каждом случае независимые функции представляются тригонометрическими или полиномиальными рядами по X и ф для сосуда и по 2 и 0 для патрубка. Коэффициенты этих рядов составляют компоненты вектора х. Размеры пластической зоны Хо и го должны быть вычислены заранее. Затем вектор х, включающий давление р и коэффициенты вышеупомянутых рядов для патрубка и сосуда, варьируют так, чтобы максимизировать р при условиях текучести, выполняемых в конечном числе точек. Кроме того, должна быть обеспечена согласованность усилий и моментов в сосуде и патрубке в месте их стыковки. В большинстве неосесимметричных задач невозможно точное их совпадение во всех точках, так как усилия и моменты зависят лишь от конечного числа параметров. Поэтому ограничивают интеграл от суммы квадратов разностей компонент усилий и моментов (он должен быть меньше некоторой определенной величины). [c.191]

Для нахождения величин главных моментов инерции следует, пользуясь формулой (124), выразить через tg2 ( значения других тригонометрических величин и подставить в формулы (120) и (121). В результате вычислений и некоторых алгебраических преобразований получают [c.41]

Так как по предположению амплитуда a(t) является функцией, мало отличающейся от постоянной величины, левую часть уравнения (11.243а) можно рассматривать как разложение в тригонометрический ряд некоторой периодической функции времени с периодом Т = 2н/в. [c.289]

Для решения задачи необходимо представить время как некоторую функцию известных величин I, т и к. Хотя в принципе эта функция может иметь различный вид. По поводу нее можно высказать некоторые определенные соображения. Предположим, что в состав этой функции входят какие-либо тригонометрические, показательные или другие неалгебраические функции. Как было сказано выше ( 2.1), аргументо.м этих последних могут быть только безразмерные величины. [c.99]

В заключение отметим, что, хотя преобразование Крылова — Боголюбова (39) имеет тригонометрическую форму, тем не менее некоторые члены рядов (39) могут достичь больших значений по абсолютной величине из-за наличия условия (37). Это условие обусловливает появление малых знаменателей вида (о) —>.) в.выражениях для и, и больших периодов 7 = 2л(о) — Л) в тригонометрических функциях. Если "у < 1, то такие явления не наблюдаются. Кроме того, для неавтономного осциллятора Ван-дер-Поля преобразование Крылова — Боголюбова дает квазп-периодическое относительно t репгение, так как в случае рациональной несоизмеримости и X функции ц,, Vi, щ, Vz,. .. будут, вообще говоря, квазипериодическими функциями времени. [c.71]

Для облегчения вычислений эфемериды Луны Браун составил специальные таблицы (опубликованные в I9I9 г.). С 1952 г. координаты Луны 1 , Р и sin Рь вычисляются с помощью ЭВМ по тригонометрическим рядам Брауна для этих величин. Кроме того, в настоящее время в теорию Брауна внесены некоторые уточнения (см. [49], [50]). [c.462]

Задача об определении напряжений и деформаций в упругом твердом теле под действием данных массовых сил и при заданных поверхностных силах, или при условии, что под действием этих последних поверхность тела принимает заданную форму, приводится к аналитической задаче об определении функций, выражающих проекции смещения. Эти функции должны удовлетворять всем диференциальным уравнениям равновесия в каждой точке внутри тела, а также некоторым условиям на его поверхности. Методы, предложенные для интегрирования этих уравнений, распадаются на два класса. Методы одного из этих дбух классов состоят в том, что сначала разыскиваются частные решения для того чтобы удовлетворить граничным условиям, решение представляют в виде конечного или бесконечного ряда, состоящего из частных решений. Частные решения обычно могут быть выражены через гармонические функции. Этот метод решения можно рассматривать, как обобщение разложения по сферическим функциям или обобщение тригонометрических рядов. Методы второго класса состоят в том, что искомую величину выражают в виде определенного интеграла, элементы которого имеют особые точки, распределенные по поверхности или объему, тот тип решения является обобщением методов, которые Грин ввел в теорию потенциала. К моменту открытия общих уравнений теории упругости, метод рядов был уже применен к астрономическим, акустический проблемам и к проблемам теплопроводности ), а метод решений, имеющих особые точки, еще не был изобретен ). Ламе и Клапейрон ) первые применили метод разложения в ряд к проблемам равновесия упругих твердых тел. Они рассматривали случай тела, ограниченного бесконечной плоскбстЬю и находящегося под давлением, распределенным по какому-либо вакону. Позже Ламе °) рассматривал проблему тела, ограниченного сферической поверхностью и деформируемого данными повер ностными силами. Задача а распределении напряжений в полупространстве, ограниченном плоскостью, в основном совпадает с проблемой передачи внутрь тела действия силы, при- [c.28]

В связи с теорией продольных колебаний возникает важная проблема удара. Когда два тела сталкиваются, каждое из них приходит в состояние внутренних колебаний в свое время, повидимому, надеялись, что разрешение задачи о колебаниях двух стержней, возникающих вследствие их продольного столкновения, может пролить свет ка законы удара. Пуассон первый приступил к разрешению проблемы с этой точки зрения. Его метод интегрирования в тригонометрических рядах чрезвычайно осложняет получение общих выводов вследствие досадной ошибки в анализе, он пришел к парадоксальному заключению, что два стержня из одвого и того же материала и с одинаковым сечением не могут отделиться друг от друга, если только их длины ие равны между собою. Сен-Венан ш) исследовал эту проблему, решая уравнение колебаний при помощи произвольных функций и получил некоторые результаты, наиболее важные из которых относятся к продолжительности удара и к существованию коэфициента восстановления для совершенно упругих тел 11 ). Эта теория не подтверкдается экспериментами. Поправка, предложенная Фохтом 1 ), будучи разработана до конца, также мало улучииет дело. Таким образом попытка свести проблему удара к колебаниям, повидимому, должна быть оставлена. Гораздо более успешной была теория Герца ), основанная иа решении проблемы, которую мы назвали проблемой передачи силы. Герц исследовал независимо частный случай этой проблемы, относящийся к давлению двух тел друг на друга. Он предложил рассматривать деформацию как местный статический эффект, который постепенно возникает и убывает. Он нашел способы определения продолжительности удара, а также величины и формы тех частей поверхностей, которые приходят в соприкосновение. Согласие этой теории с экспериментами оказалось удовлетворительным. [c.38]

В иоследовате. и.ных приближениях изменяется лини, первый и третий из этих логарифмов. Логарифмы тригонометрических функций берутся из таблиц. Пусть табличная разность для логарифма sin и sin(( ,+ aip) равна Е,, где 5 f — некоторое подходяп1ее приращение к f , и пусть — соответствующая табличная разность для sin (а, 4- т). Эти величины выписываются из соответствующих столбцов таблиц, когда берутся логарифмы sin и sin( f,+ от). Тогда поправка A f дается уравнением [c.200]

При решении уравнения (3) методом Понтекулана предполагается, что 8и можно представить тригонометрическим рядом, аргументы членов которого зависят от ср и ср,. а амплитудами являются неопределенные коэффициенты. Если такое общее выражение для 8 подставить в уравиеиия (3). то оно превратится в тождество, в результате чего мы получим последовательность уравнений, содержащих эти неопределенные коэффициенты и величины с и ЬЬ, Аналогичный метод применим и к решению уравнений (2) и (3) 17.08. Таким образом, получается достаточное число уравнений для выражения неопределенных коэффициентов и постоянных с к ЬЬ через т., е и ву Прежде чем рассматривать этот метод в деталях, мы сделаем в следующем параграфе несколько замечаний о некоторых членах, которые появляются в правой части уравнения (3) за счет возмущающей функции. [c.353]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...