ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Движение в фазовом пространстве из "Регулярная и стохастическая динамика " Рассмотрим уравнения Гамильтона (1.2.6) в общем случае N степеней свободы, когда индекс г пробегает значения от 1 до N. [c.25] Такая нормировка обычно невыполнима из-за неограниченности фазового пространства и несущественна для дальнейшего.— Прим. ред. [c.27] также [13].— Прим. перев. [c.28] Новый гамильтониан, определяющий поток в расширенном фазовом пространстве, не зависит явно от времени Кроме того уравнения (1.2.37) с i = N дают i (Q = t и Я = onst. Таким образом, движение системы с гамильтонианом, зависящим от времени, эквивалентно движению с дополнительной степенью свободы и гамильтонианом, не зависящим от времени ). [c.29] В этом состоит также отличие от рассматриваемого далее движения в сокращенном фазовом пространстве.— Прим. ред. [c.29] Отсюда вытекает эквивалентность интеграла действия и относительного интегрального инварианта в рассматриваемом случае ). Значение интеграла действия определяется прежде всего тем, что он является каноническим импульсом в переменных действие — угол (см. 1.2в). Помимо этого, он оказывается адиабатическим инвариантом движения, т. е. остается приблизительно постоянным в случае медленного, по сравнению с периодом колебаний, изменения гамильтониана со временем. Адиабатическое постоянство действия подробно рассматривается в 2.3 и имеет фундаментальное значение для понимания регулярного движения в системах с гамильтонианом, зависящим от времени, и в системах с несколь-ки.ми степенялш свободы. [c.31] Сечение Пуанкаре. Метод сечения Пуанкаре является одним из основных методов анализа гамильтоновой динамики. Для автономных систем с двумя степенями свободы фазовое пространство четырехмерно. Выберем в фазовом пространстве некоторую двумерную поверхность (см. рис. 1.3, а) и рассмотрим последовательные пересечения ее траекторией. Пересечение происходит каждый раз, когда траектория проходит сквозь поверхность в некотором определенно.м направлении (например, слева направо). [c.31] Поэтому последовательные пересечения должны лежать на некоторой инвариантной кривой, определяемой уравнением (1.2.46) с 92 = onst. Таким образом, существование интегралов движения можно определить из анализа пересечений траекторий с поверхностью Y,r- После того как существование интеграла установлено, можно исследовать локальную устойчивость и другие интересные свойства инвариантных кривых. [c.33] В общем случае исходные переменные р,д не являются каноническими на поверхности сечения и сохраняется некоторая их функция Л р, д) — наведенная мера. [c.33] Метод сечения Пуанкаре можно обобш,ить и на системы с числом степеней свободы Л/ 2. Для независящего от времени гамильтониана системы с N степенями свободы размерность энергетической поверхности в фазовом пространстве равна 2N—1 [рис. 1.3, в (/) [. Исключим, как и раньше, одну из переменных, например рд,, и рассмотрим последовательные пересечения траектории с (2N—2)-мерной поверхностью дг = onst с координатами р ,. . . , рл-i, 1,. . . , [рис. 1.3,6 (2)]. При этом поверхность сечения по-прежнему представляет собой сокращенное фазовое пространство с сохраняющимся объемом. В случае существования одного или более интегралов движения все пересечения будут лежать на одной поверхности, размерность которой меньше 2N—2. В противном случае они будут заполнять некоторый 2N—2)-мерный объем. [c.34] Если движение по разным степеням свободы многомерной системы почти независимо, то удобным способом наглядного представления движения служат проекции поверхности сечения на плоскости (pi, ji), как показано на рис. 1.3, в ( ). Для регулярного движения с точно разделяющимися переменными pt, qi) площадь сохраняется в каждой плоскости (р,-, qi). При этом для каждой степени свободы существует свой интеграл движения и все проекции лежат на некоторой кривой в каждой из плоскостей pi, qi). Однако в общем случае при Л 2 даже для регулярной траектории пересечения, спроектированные на произвольную плоскость (р,-, qi), не лежат на кривой, а заполняют некоторый конечный слой, размер которого зависит от выбора переменных qi). В рассматриваемом случае пересечения лежат фактически на N—1)-мерной поверхности, проекция которой на любую из плоскостей (рг, qt) занимает область конечной площади. Примеры многомерного движения описаны кратко в п. 1.4в и подробно — в гл. 6. [c.34] Вернуться к основной статье