Уравнения возмущенного движения материальной точки

УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 611 [c.611]

Уравнения возмущенного движения материальной точки [c.611]

Пример 1. Дифференциальные уравнения возмущенного движения конического маятника. Рассмотрим материальную точку М массой т, подвешенную на невесомой нити ОМ к точке О (сферический маятник). Будем считать, что длина нити равна I. Положение точки М будем определять углами гр и 0, значения которых видны на рис. 1.4 (ось Oz вертикальна, ось х параллельна неподвижной горизонтальной оси х, прямая MN перпендикулярна оси Oz). [c.23]

Задача об устойчивости заданного движения материальной системы может рассматриваться с различных точек зрения. Речь может идти, во-первых, о разыскании оценок отклонений обобщенных координат и обобщенных скоростей от их значений в опорном движении в любой момент времени, когда начальные возмущения достаточно малы. Об основывающемся на этом воззрении определении устойчивости движения по Ляпунову кратко говорилось в п. 11.10, а составлению уравнений возмущенного движения — уравнений в вариациях — были посвящены пп. 11.14—11.17. Во-вторых, может рассматриваться лишь орбитальная устойчивость, когда вопрос о протекании во времени возмущенного движения отодвигается на второй план, а изучаются лишь траектории возмущенного движения и устанавливаются критерии их близости к опорной траектории. При этом часто, ограничивая постановку задачи, рассматривают только консервативные возмущения — такие, при которых на возмущенных траекториях сохраняется то же самое значение постоянной энергии /г, что и на опорной траектории. Принцип стационарного действия Лагранжа оказывается при этой постановке задачи наиболее приспособленным методом исследования орбитальной устойчивости, поскольку траекториями как опорного, так и возмущенного движений являются геодезические линии многообразия / элемента действия, т. е. простейшие геометрические [c.721]

Для случая малых эксцентриситетов и малых наклонов (ба О, 5 О, 5 = 1, 2,. .., — 1) удобнее рассматривать вместо оскулирующих элементов е. 1 Й . л переменные Лагранжа Ае, к Рз, Яз- Тогда уравнения возмущенного движения системы материальных точек Рь Р .....Р 1 относительно Ро [c.357]

Здесь т — масса материальной точки, к — жесткость пружины. Переходя к переменным действие—угол (/, ф) по формулам (17.3) и (17.4), получим новый гамильтониан К=ч>1, а уравнения возмущенного движения (19.3) примут вид [c.193]

Если рассматривать (2.2) как уравнение движения материальной точки, то оно отличается от соответствующего амплитудного уравнения для однокомпонентной жидкости в полости [8] тем, что здесь модулируется не только "сила", но и "трение". Для нахождения критерия устойчивости необходимо найти периодические решения уравнения (2.2), которые разделяют растущие и затухающие возмущения. Для этого представим решение в виде линейной комбинации независимых частных решений Х](т) [c.120]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Возмущенное гармоническое движение. Постоянная возмущающая сила. Если на материальную точку действует не только притягивающая сила, пропорциональная расстоянию, как в 10, но также и данная внешняя или возмущающая" сила, сообщающая ускорение X, то дифе-ренциальное уравнение движения принимает вид [c.32]

Применение методов аналитической механики к решению нетривиальных задач требует уже при составлении уравнений подробных сведений по вопросам, на которых, как правило, останавливаются весьма кратко. В связи с этим в книге значительное внимание уделено способам введения обобщенных координат, теории конечных поворотов, методам вычисления кинетической энергии и энергии ускорений, потенциальной энергии сил различной природы, рассмотрению сил сопротивления. После этих вводных глав, имеющих в известной степени и самостоятельное значение, рассмотрены методы составления дифференциальных уравнений движения голономных и неголономных систем в различных формах, причем обсуждаются вопросы их взаимной связи подробно рассмотрены вопросы определения реакций связей и некоторые задачи аналитической статики. Мы считали полезным привести геометрическое рассмотрение движения материальной системы, как движение изображающей точки в римановом пространстве этот материал нашел, далее, применение в задачах теории возмущений. Специальная глава отведена динамике относительного движения, к которому приводятся многочисленные прикладные задачи. Далее рассмотрены канонические уравнения, канонические преобразования и вопросы интегрирования. Значительное место уделено теории возмущений и ее разнообразным применениям. Последняя глава посвящена принципу Гамильтона—Остроградского, принципу наименьшего действия Лагранжа и теории возмущений траекторий. [c.9]

В главе 3 приведены уравнения Ньютона для оскулирующих кеплеровских элементов орбиты одного тела, движущегося под действием притягивающего центра и возмущающей силы. Если материальная точка Ра притягивает каждую из материальных точек Р, Рг,. .., Рп-1 в соответствии с законом всемирного тяготения и в этой механической модели действуют еще какие-либо возмущающие силы [например, силы взаимного притяжения тел Рг и Р - ,1,1 = 1, 2,. .., п — 1), сопротивление среды и др.], то возмущенное движение тел Рь Ра, , Рп-1 можно описать дифференциальными уравнениями Ньютона [1] [c.347]

Существующие приближенные методы анализа возмущений, используемые при решении задачи нескольких тел (л > 2), разделяют на класс методов общих (нли абсолютных) возмущений н класс методов особых возмущений. Первый класс методов основывают, как правило, на использовании степенных разложений для предстааления координат каждой из рассматриваемых материальных точек. Второй класс методов предполагает использование приема разделения движения тела на конечное число отрезков (кратное числу гравитнрующих тел). В этом случае интегрирование уравнений движения на каждом из этих отрезков осуществляют численным методом н считают, что движеине тела в течение короткого интервала времени яв- [c.86]

Методы, изложенные нами в предыдущих параграфах, были развиты для исследования непрерывных механических систем, например упругих тел. Однако эти методы можно использовать и для получения уравнений поля, так как с математической точки зрения поле представляет одну или несколько независимых функций от Xj и и их можно рассматривать как обобщенные координаты r j xu X2,X3,t). Заметим, что некоторые ноля, встречающиеся в физике, можно действительно связать с движением некоторой непрерывной среды. Таким является, например, звуковое поле , связанное с продольными колебаниями частиц материальной среды. Точно так же электромагнитное поле долгое время связывалось с упругими колебаниями, неведомого эфира, и лищь в последнее время стало ясно, что эфир играет лищь роль объекта, к которому относятся слова передавать возмущение (по выражению С. Л. Квимби). [c.394]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...