ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Алгебраически интегрируемые системы из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Здесь 7,/X — постоянные интегрирования. [c.110] Хорошо известно, что между любыми двумя эллиптическими функциями /i и /2 с одинаковыми периодами существует соотношение видаФ(/1,/2) = О, где Ф — некоторый многочлен от двух переменных. Например, функция Вейерштрасса р и ее производная р (имеющая, очевидно, те же периоды) связаны алгебраическим уравнением (р У - 4р + д2р + = О, где д2,дз — инварианты р-функции. Более общо, любые m 2 эллиптических функций с одинаковыми периодами связаны m — 1 алгебраическим соотношением. Примером служат уравнения (9.2) для эллиптических функций (9.3). [c.111] Уравнения Эйлера (9 1) являются гамильтоновыми (см. 2 гл. 1) симплектическая структура задается скобкой Ли — Пуассона /io i,/2a 2 = а гамильтонианом служит кинетическая энергия тела. Однако скобка вырождена квадрат момента F = коммутирует со всеми функциями на алгебре so(3) (такие функции называются еще функциями Казимира). Как отмечалось в 2 гл. 1, вырождение снимается ограничением динамической системы (9.1) на интегральную поверхность F = onst 0. [c.111] Абелевой функцией Р называется мероморфная функция в С , обладающая 2т линейно независимыми (над полем К) периодами Р г + = Р г) для всех. г е С и У = 1. 2т. [c.112] Абелевы функции одного комплексного переменного — это в точности эллиптические функции. Согласно теореме Вейерштрасса — Пуанкаре, между любыми т + 1 абелевыми функциями с одинаковыми периодами всегда существует алгебраическое соотношение. [c.112] Оказывается, с каждой компактной римановой поверхностью рода т естественным образом связано поле абелевых функций от т комплексных переменных. Напомним, что риманова поверхность X — это двумерное многообразие, покрытое комплексными картами, причем переход от карты к карте является голоморфным отображением. Простейший пример компактной римановой поверхности — двумерный тор (факторпространство комплексной плоскости по двумерной решетке). Ее род равен единице. [c.113] Пусть г = х + (у—локальная координата на римановой поверхности X. Дифференциальные 1-формы р = аёх+Ьёу = а 1г- -(3 1г принято называть просто дифференциалами. Если в окрестности любой точки X дифференциал р записывается в виде / г) г, где / — голоморфная функция, то он называется голоморфным дифференциалом (или абелевым дифференциалом первого рода). Голоморфные дифференциалы образуют линейное пространство, размерность которого совпадает с родом римановой поверхности X. Например, если X задается первым уравнением (9.5), то дифференциалы pk = (1 являются голоморфными и линейно независимыми. [c.113] На каждой поверхности рода т можно так выбрать 2т замкнутых кривых 01. 61. 6т (циклов), чтобы при разрезании по этим циклам поверхность превратилась в 4т-угольник (см. рис. 10 для т = 2). [c.113] Но это есть У-я компонента некоторого вектора решетки периодов. Тем самым задача обращения Якоби поставлена корректно. [c.115] Известна следующая теорема Якоби пусть / — произвольная мероморфная функция на X тогда любая рациональная симметрическая функция от /( 1). /( т) является абелевой функцией от 1. Ст, (т. е. мероморфной функцией на якобиане J X)). [c.115] В пространстве = i, 2 эти уравнения задают комплексную прямую, а на абелевом торе (комплексной размерности 2) получаем комплексную обмотку . [c.115] Согласно теореме Якоби, любая симметрическая функция от P11P2 будет абелевой функцией от СьСг- С учетом (9.10) получаем, что эти функции будут мероморфными функциями комплексного времени t. В частности, компонента угловой скорости 0)3 = — (pi + + P2)/h однозначна и мероморфна на С = i . Можно показать, что of и 0 2 обладают тем же свойством. Однако и имеют алгебраические точки ветвления. [c.115] Уравнения вида (9.9) встречаются при интегрировании многих задач классической механики. Примерами служат случаи интегрируемости Ковалевской, Клебша и Ляпунова — Стеклова из динамики твердого тела (см. 5). Причем, в отличие от задачи Горячева— Чаплыгина, в этих случаях фазовые переменные являются однозначными функциями на якобиане римановой поверхности рода 2. [c.115] Простейшим примером алгебраически вполне интегрируемой гамильтоновой системы является задача Эйлера, рассмотренная в п. 1. Более сложные примеры дают интегрируемые случаи Ковалевской, Клебша, Ляпунова—Стеклова из динамики твердого тела. [c.116] Будем рассматривать движения с неподвижным барицентром, т. е. [c.117] Невыписанные формулы получаются из (9.17) циклической перестановкой индексов 1,2. п. Формулы (9.17) можно вывести из второй группы уравнений (9.14) и уравнения (9.13). [c.117] Система (9.16) имеет вид (9.11). Функции Fi и F2 являются функциями Казимира. Как установлено в работе [177], гамильтонова система (9.16) алгебраически вполне интегрируема. В частности, импульсы Ук и экспоненты Vk — мероморфные функции комплексного времени. [c.117] Еще одии свободный параметр возникает при замене в (9.18) t на t — to- Как правило, в конкретных задачах коэффициенты (9.19) — рациональные функции на некотором п— 1)-мерном алгебраическом многообразии. [c.117] Здесь а и (3— целые неотрицательные числа, причем а- -(3 1. Коэффициенты Х а, У ц, Х-а ф О, У1/3 ф 0) могут принимать комплексные значения. Нас будет интересовать полное решение системы (9.20) в этом случае коэффициенты разложения (9.21) должны содержать модуль — произвольный параметр. [c.118] Числом Ковалевской к системы (9.20) назовем количество различных однопараметрических семейств мероморфных решений вида (9.21). Числа Ковалевской введены в работе [104]. Оказывается, если п = -1,0,1 или п 4, то к = 0 если п = 2, то к = 1 наконец, при п = 3 число к равно 2. [c.118] Вернуться к основной статье