Уравнение Лапласа в полярных координатах

Перейдем к построению указанных членов ряда. Начнем с простейшей задачи. Пусть имеется клин с углом раствора 2а. Рассмотрим вначале гармоническую задачу ). Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах [c.309]

Легко проверить, что функции (к) и (л) удовлетворяют уравнению Лапласа в полярных координатах (см. уравнение (ж), стр. 85), т. е. [c.182]

Нагружение кругового бруса по поверхности. Предложенный в пп. 2.3—2.8 прием рассмотрения задачи о балке с прямолинейной осью можно применить и к случаю кругового бруса. Действительно, записав уравнение Лапласа в полярных координатах в форме обыкновенного уравнения типа Эйлера [c.506]

Уравнение Лапласа в полярных координатах г, 0, ю, согласно п. 2.72, принимает вид [c.465]

Температурное поле, удовлетворяюш,ее уравнению Лапласа в полярных координатах [c.99]

Уравнение (3. 39) представляет собой уравнение Лапласа в полярных координатах на плоскости. [c.57]

Подстановка p = i/r — у с2 2/г2 — 1 переводит волновое уравнение в уравнение Лапласа в полярных координатах р, а. [c.233]

V = О на контуре сечения трубы. Решим это уравнение для трубы кругового сечения. Выбирая начало координат в центре кругового сечения и вводя полярные координаты, имеем в силу симметрии V = t (r). Воспользовавшись выражением для оператора Лапласа в полярных координатах, имеем [c.81]

Для диска постоянной толщины (круглая пластина) уравнение удобнее написать в полярных координатах. Если начало прямоугольной системы координат поместить в центре диска и обозначить радиус-вектор и полярный угол, определяющие положение некоторой точки срединной поверхности, через г и ф, то оператор Лапласа в полярных координатах будет иметь вид [c.6]

Для области плоскости годографа, соответствуюгцей упругой зоне г = (го/7о)7, уравнение ( ) преобразуется к уравнению Лапласа в полярной системе координат на плоскости годографа [c.328]

Выражение в скобках представляет собой оператор Лапласа, записанный в полярных координатах. Уравнение совместности деформаций, выраженное через функцию напряжений, примет вид [c.34]

Естественно, что одно и то же уравнение в одной системе координат допускает разделение переменных, а в другой может не допускать. При положительном ответе на этот вопрос рассмотрение краевых задач методом разделения переменных целесообразно только тогда, когда в соответствующей координатной системе рассматриваемая область представляет собой параллелепипед соответствующей размерности. Уравнение Лапласа в пространственном случае допускает разделение переменных в некоторых системах координат (декартовых, эллипсоидальных, тороидальных, а в плоском случае в полярных и биполярных). [c.118]

В развернутом виде это уравнение, можно представить, используя выражение оператора Лапласа в полярной системе координат [c.83]

Это соотношение показывает, что оператор правой части в полярных координатах эквивалентен оператору Лапласа левой части. Далее, складывая два первых уравнения (б), найдем [c.85]

Но в левой части этого уравнения стоит оператор Лапласа [сравните с формулой (2.53) от величины V w. Поэтому записанное в полярных координатах дифференциальное уравнение изгиба пластины постоянной толщины [c.83]

Следует лишь иметь в виду, что в полярных координатах оператор Лапласа выражается формулой (2.53). Полученный результат не является случайным. Он связан в инвариантностью оператора Лапласа при изменении координатной системы. Поэтому вид уравнения (2.56) сохраняется в любой криволинейной системе координат. Для круглой пластины следует использовать разло- [c.83]

Уравнение Лапласа для такого потока в полярных координатах выражается так [c.89]

В качестве примера получим фундаментальное решение уравнения осесимметричного изгиба круглой пластины под действием кольцевой нагрузки. Вводя промежуточные операторы Н и F, эквивалентные оператору Лапласа в полярной системе координат [c.179]

Очевидно, выбор кругового отверстия единичного радиуса не нарушает общности рассматриваемой задачи. Будем считать, что имеет место стационарное тепловое поле и температура Г (х, у) является решением уравнения Лапласа АТ = О при граничном условии Г = /(0)на контуре отверстия и условии ограниченности на бесконечности. Здесь г, в - полярные координаты на плоскости. [c.17]

Применим метод разделения переменных к уравнению Лапласа в плоскости полярных координат [c.101]

Таким образом, постоянные v и 0 определяют положение плоскости орбиты, а уравнение (9.74) или (9.74 ) есть уравнение плоскости орбиты в переменных Клеро — Лапласа. Чтобы получить значения остальных постоянных, приведем уравнение орбиты (9.75) к обычному виду уравнения кривой второго порядка в полярных координатах. [c.460]

С другой стороны, соотношение (2,2,31) представляет собой уравнение конического сечения в полярных координатах с полюсом в фокусе. Это коническое сечение симметрично относительно вектора Лапласа, а полярный угол -O, который называют истинной аномалией определяет поворот текущего радиуса-вектора относительно оси симметрии. Полученный результат отражает первый закон Кеплера-. [c.41]

Легко проверить, что в полярных координатах р, О уравнение Лапласа имеет частные решения вида [c.11]

Уравнение Лапласа для плоско-радиального потока в полярных координатах запишется так [c.179]

Решение. Выбираем полярные координаты г, 0 в плоскости поперечного сечения, перпендикулярной к линии пересечения плоскостей, с началом в вершине угла. Угол 0 отсчитывается от одной из прямых, образующих сечение угла. Пусть а есть величина обтекаемого угла при а < л течение происходит внутри угла, при а > л — вне его. Граничное условие исчезновения нормальной составляющей скорости гласит rfq>/d0 = О при 0 = О и а. Удовлетворяющее этому условию решение уравнения Лапласа пишем в виде ) [c.45]

Волновое уравнение для сферических волн получим из общего волнового уравиения (П.32), записав в нем оператор Лапласа для потенциала скоростей Дф в сферических координатах. Поскольку Ф в данном случае есть функция только одной полярной координаты г, то в выражении (Н.36) для лапласиана ф в сферических координатах отличным от нуля будет лишь первый член, и линеаризованное уравнение (П.32) для этого случая будет иметь следующий вид [c.202]

Далее нам придется пользоваться уравнением Лапласа, а также уравнением Пуассона, не только в декартовых, но и в некоторых других координатах, например, в цилиндрических, в полярных сферических и т. д. [c.94]

Перейдем к определению эллипсоидальных функций. Для этого отметим, что сферические функции мы определили как некоторые частные решения уравнения Лапласа, написанного в полярных сферических координатах. [c.197]

Это уравнение было рассмотрено еще С. А. Чаплыгиным (1902) в связи с задачей определения установившихся потенциальных плоских движений газа в пёременных годографа он же указал, что это уравнение сводится к уравнению Лапласа в полярных координатах, если вместо р ввести леременную 8 по формуле (1 + 8 ) р = 2е. [c.157]

Таким образом, распределение скоростей в потоке жидкости в трубе определяется двухмерным уравнением типа Дг =з onst. Это уравнение должно быть решено при граничном условии i = 0 на контуре сечения трубы. Решим это уравнение для трубы кругового сечения. Выбирая начало координат в центре кругового сечения и вводя полярные координаты, имеем в силу симметрии vf=v(r). Воспользовавшись выражением для оператора Лапласа в полярных координатах, имеем [c.76]

EleKTop кинетического момента и вектор Лапласа позволяют построить репер, в котором орбита материальной точки, движущейся в поле центральной ньютонианской силы, представляется каноническим уравнением в полярных координатах. При этом вектор Лапласа направлен из притягивающего центра в перицентр орбиты, а вектор кинетического момента перпендикулярен плоскости орбиты. [c.260]

Уравнение (12.6.1) записано в инвариантной форме, поскольку юператор Лапласа инвариантен при преобразовании ноординат. В полярных координатах, как известно. [c.402]

Общий случай (пластины постоянной толщины). Подстановка а =ф(л, в)х X os((o — X) в уравнение (114) гл. VIII q = 0) дает уравнение (1) с заменой оператора Лапласа на его выражение в полярных координатах [c.206]

Вернемся к обш.им уравнениям плоской задачи в полярных координатах и рассмотрим тот случай, когда объемные нагрузки gr gtgQ равны нулю. В 2.1 было показано, что решение плоской задачи в прямоугольной декартовой системе координат сводится к решению бигармонического уравнения (2.8) при этом напряжения выражаются через функцию напряжений ф по формулам (2.6). Вывод этих соотношений можно повторить и в полярных координатах, но делать это не обязательно достаточно преобразовать формально окончательные зависимости при переходе к полярной системе координат. При этом внешний вид бигармонического уравнения (2.8) сохраняется, но в полярной системе координат оператор Лапласа запишется так [c.52]

В этом параграфе исследуется задача о нахождении уравнения орбиты гиперреактивной точки в ноле тяготения и определении элементов орбитальной траектории в так называемой неизменяемой плоскости движения Лапласа. Исследование начнем, исходя из основной системы плоского гинерреактивного движения (6.27), записанной в полярных координатах. Найдем дифференциальное уравнение орбиты s lp). [c.193]

Направим ось 2 по оси цилиндра, а ось х по вектору оо (рис. 11.1,а). Ввиду двумерности задачи, запишем уравнение Лапласа (11.50) в полярных координатах г, 6 [c.500]

Решение. Потенциал ip волнового движения тяжелой несжимаемой жидкости в силу divv = О удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в полярных координатах г, 0) с началом в вершине гребня волны (рис. 90) имеет вид [c.493]

Положим аначала скорость и постоянной и рассмотрим задачу в системе отсчета 5, связанной со сферой. Поскольку необходимо найти решение уравнения Лапласа для потенциала удовлетворяющего граничным условиям на поверхности сферы, воспользуемся сферической системой координат с началом в центре сферы и полярной осью, направленной по вектору и. Тогда граничные условия задачи будут иметь вид [c.497]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...