Эквивалентные и неприводимые представления

Эквивалентные и неприводимые представления [c.55]

Связь сплетающих операторов с вопросами приводимости, эквивалентности и унитарности представлений. Одной из наиболее кардинальных проблем теории представлений полупростых групп Ли является описание всех неприводимых унитарных представлений. В случае вещественных форм данная задача особенно сложна ввиду характерных особенностей их представлений (отсутствующих для комплексных групп). Причина этого заключается, в частности, в существовании нескольких типов основных серий унитарных представлений, что находится в тес- [c.94]

Мы ввели уже три представления Гь Гг и Га групп S3 и D3. Эти представления можно использовать двумя различными путями для получения других представлений. Однако эти три представления занимают особое место среди всех представлений по той причине, что они неприводимые, а также потому, что все другие неприводимые представления S3 и D3 эквивалентны этим. Определим теперь понятия неприводимый и эквивалентный и покажем, как можно получить другие представле-ния из этих трех. [c.55]

Таким образом, матричное представление D, порождаемое функциями Ф , получено из представления D, порождаемого функциями преобразованием подобия (5.61) с матрицей Л поэтому эти представления эквивалентны. Это означает, что представление, порождаемое собственными функциями конкретного вырожденного энергетического уровня, является единственным (с точностью до преобразования подобия) и может быть однозначно приведено к его неприводимым компонентам. Поэтому энергетические уровни можно классифицировать по неприводимым представлениям группы симметрии, и эта важная характеристика используется для того, чтобы различать уровни энергии. [c.77]

Установив спиновые двойные группы групп МС, определив эквивалентные вращения для каждой нз операций и получив таблицы характеров этих групп, можно использовать эквивалентные вращения групп МС для нахождения корреляции неприводимых представлений групп МС с представлениями группы К(М)2 для полуцелых /. Такие корреляции приведены в приложении Б. Подстрочный индекс (т, "г, т> ) для дополнительных неприводимых представлений в спиновых двойных группах групп МС (где это возможно), введенный Герц-бергом [49], получается из наименьшего значения / представления группы К(М)2, с которым коррелирует неприводимое представление (см. табл. Б. 2). [c.286]

В таблицах характеров указано по одному элементу из каждого класса, а число элементов в классе указано под этим элементом (число в квадратной скобке относится к спиновой двойной группе). Если группа МС или РМС изоморфна с молекулярной точечной группой (что имеет место для жестких молекул), то указаны также элементы классов молекулярной точечной группы, характеризующие действие элементов группы МС на вибронные переменные, и использованы обозначения неприводимых представлений молекулярной точечной группы. В таблицах указаны также эквивалентные вращения, соответствующие элементам различных классов групп МС или РМС(/ 2> Rb> R — [c.412]

Энергия одной из этих орбиталей будет ниже, а другой — выше, чем энергия системы На и С при больших расстояниях между ядрами Н и С ). Аналогичные пары орбиталей, эквивалентные орбиталям (111,19), могут быть записаны для каждого из оставшихся трех направлений (к вершинам 6, с и й). Ни одна из этих восьми локализованных орбиталей (называемых также тетраэдрическими гибридными орбиталями) не принадлежит какому-либо неприводимому представлению точечной группы Та, однако, как и в случае молекулы Н2О, можно взять такие линейные комбинации [c.312]

Допустимое неприводимое представление группы к)/ к) будет также являться допустимым неприводимым представлением группы к). Единственное различие между ними относится к тем элементам группы (й), которые входят в ядро (или центр) представления и поэтому эквивалентны тождественному элементу е10 группы (й). [c.101]

Основное различие между методом полной группы и методом подгруппы касается той наиболее существенной части преобразований, которая необходима для нахождения коэффициентов приведения. В методе полной группы, обсуждаемом в 52—60, рассматривается полная пространственная группа и ее неприводимые представления )( Эти представления и используются для нахождения соответствующих коэффициентов приведения. Метод подгруппы сводится, насколько это возможно, к изучению только одной подгруппы ( ) и ее допустимых неприводимых представлений Поскольку представления можно найти методом индукции из представлений )( )(т) оба метода должны приводить, если они используются правильно, к эквивалентным результатам. [c.161]

Группа к в точке X имеет вдвое больше элементов, чем группа к вдоль оси Д, так как точка X и противолежащая ей точка X эквивалентны. Для каждого элемента имеется еще соответствующий элемент с инверсией. Таблица характеров в этом случае вытекает из таблицы для Д-представления, так же как из О вытекала для 0 ,. Число представлений удваивается. Как и для группы октаэдра, встречаются только одномерные и двухмерные неприводимые представления. Совместны соответствующие одномерные и двухмерные представления Д и X, поэтому при переходе из X на ось Д вырождение не снимается. [c.378]

Если мы наложим на матрицы А условие унитарности и потребуем, чтобы их детерминант равнялся единице, то получим подгруппу ЗПг группы 8Ь 2,С). Ясно, что 8112 соответствует по (1-14) группе вращений три-простран-ства. [След (1-14) имеет вид 2а ° = 2х°, если А унитарна.] Неприводимые представления 8112 эквивалентны одному из отображений А ° (Л) с А 8172 они обознача- [c.30]

Наша следующая задача — подытожить результаты математического анализа этих непрерывных унитарных представлений неоднородной группы SL 2, ). Каждое непрерывное унитарное представление а. Л U а, А) уни тарно-эквивалентно представлению, разложенному на неприводимые представления. Два представления унитарно-эквивалентны, если меры, указывающие, какие неприводимые представления встречаются в разложении, дают нуль для одних и тех же подмножеств неприводимых представлений и если функции кратности, указывающие, сколько раз встречается данное неприводимое представление, совпадают. Неприводимые представления задаются несколькими параметрами, и первый из них обозначает импульсы, встречающиеся в состояниях этого представления. [Понятие энергии-импульса можно определить исключительно в терминах теории групп, поскольку каждое непрерывное унитарное представление группы трансляций имеет вид и а, 1) = ехр iP , где P — коммутирующие самосопряженные операторы.] Имеется шесть случаев — [c.47]

Заметим далее, что из инвариантности следов при унитарном преобразовании следует, что следы (т. е. характеры) одинаковы для всех эквивалентных представлений. Таким образом, таблица характеров определяется однозначно и не зависит от того, какие неприводимые представления использовались для ее составления. [c.42]

Необходимо подчеркнуть, что конкретный вид только что обсуждавшихся нормальных колебаний зависит от нашего выбора неприводимого представления. Если бы мы воспользовались каким-либо эквивалентным неприводимым представлением, то получили бы смесь колебательной и вращательной мод. В случае свободной молекулы мы нашли трансляционную моду и сумели отделить ее от колебательных мод. Для этого на самом деле необходимо было воспользоваться трансляционной инвариантностью, которая не входит в число преобразований симметрии треугольной молекулы, положенных в основу нашего рассмотрения. Можно было бы, например, прикрепить нашу систему пружинками к жесткой плоскости таким образом, что для точного решения задачи о ее колебаниях потребовалось бы смешать трансляционные и колебательные моды. Для отделения этих мод друг от друга необходима какая-то дополнительная информация помимо информации о треугольной симметрии системы. Точно так же в атоме водорода любая линейная комбинация 2р- и Зр-состояний преобразуется по представлению полной [c.56]

Доказательство. Неприводимость представления я (8 ) означает, что в я (3 ) имеются лишь два оператора проектирования О и /. Поскольку же алгебра фон Неймана порождается своими операторами проектирования (теорема 9), это эквивалентно тому, что я (8 ) = Я/ . I [c.112]

Следствие. Два неприводимых представления пир физически эквивалентны в том и только в том случае, если (33 ) = [c.142]

Если пространство конечномерно, то, как доказали Йордан и Вигнер [199] ), справедлива теорема, эквивалентная теореме единственности фон Неймана (теорема 6 в гл. 3, 1), а именно существует лишь одно (с точностью до унитарной эквивалентности) неприводимое представление КАС. [c.347]

Теперь рассмотрим вектор к, конец которого лежит на оси симметрии (например, вектор ОВ на рис. 11). В этом случае группа Fk содержит кроме тождественного элемента Е еще одну операцию (Ту (отражение в плоскости XZ) и изоморфна группе Сг, имеющей два неприводимых представления первого порядка. Звезда вектора к состоит из четырех векторов (рис. 12, б). Отметим, что из четырех векторов будет также состоять звезда вектора, оканчивающегося на границе зоны Бриллюэна (например, вектора ОС на рис. 11). Остальные четыре вектора, получающиеся при применении к вектору ОС преобразований из группы D4, будут эквивалентны приведенным на рисунке. Рассматриваемому вектору к будут соответствовать два неприводимых [c.104]

Одним вз наиб, завершённых разделов общей теории П. г. является теория представлений компактных групп, к к-рым. относятся все конечные группы, группы вращений плоскости И пространства, группы при различных N, рассматриваемые в теории злементарвых частиц (см. Калибровочные поля, Унитарная симметрия), и т. д. Если группа компактна, то любому её представлению можно сопоставить эквивалентное ему унитарное представление, т. е. изучение представлений компактной группы сводится к изучению её унитарных представлений. Свойства унитарного представления полностью определяются свойствами его неприводимых компонент. Всякое неприводимое унитарное представление компактной группы конечномерно. [c.102]

В общем случае нетрудно установить, линейные комбинации каких атомных орбиталей будут давать заданное число эквивалентных орбиталой. Для этого нужно выяснить, каковы трансформационные свойства эквивалентных орбиталей, разложить получающееся представление на неприводимые иредставления, а затем посмотреть, какие атомные орбитали могут образовать баапс этих неприводимых представлений 1). Например, для четырех тетраэдрических орбиталей -ф), 1 Зз, и т1 4 легко найти матрицы преобразования, соответствующие операциям 1, б з и а [c.315]

Конфигурации с эквивалентными и неэквивалентными электронами. Если в системе имеются как эквивалентные, так и неэквивалентные электроны, то результирующие состояния находятся следующим образом сначала нужно нолучить результирующие состояния для каждой группы эквивалентных электронов, а затем — составить прямое произведение неприводимых представлений, которым отвечают по своим свойствам симметрии полученные состояния. ]1ри определении результирующих состояний можно полностью пренебречь замкнутыми обо.точками, так как они всегда приводят к нолносимметричному синглетному состоянию. [c.341]

Вычисление симметризованного квадрата и других степеней неприводимых представлений пространственных групп методом малой группы исследовали Брэдли и Дэвис [ПО]. Вследствие эквивалентности методов подгруппы и полной группы для получения и приведения произведения представлений ( 64) метод малой группы можно применить для приведения любой обычной или симметризованной степени представлений. Чисто практические сображения могут заставить отдать предпочтение тому или иному методу. Однако на сегодняшний день, по-видимому, лишь метод полной группы уже применялся для приведения симметризованного куба представлений. [c.375]

Под функцией на группе Ли f g) понимается функция, зависящая от набора групповых параметров, через которые выражается элемент g из G. Можно показать, что любое неприводимое представление G эквивалентно представлению операторами сдвига в некотором пространстве функций на G. В зависимости от условий, накладываемых на функции из пространства представления, возникают те или иные их типы, конкретизация которых требует введения инвариантной меры на группе G. Реализация G как группы сдвигов пргиводит к следующему определению лево-и правоинвариантных мер d[i g) [c.58]

Мы получили искомый результат. Теперь продвинемся несколько дальше и попытаемся найти еще и форму нормальных колебаний. Оказывается, что эта задача полностью решается для невырожденных нормальных колебаний, но в случае двукратно вырожденных мод, преобразующихся по одному и тому же неприводимому представлению, остается некоторая неопределенность. Для данной цели необходимо, конечно, знать явный вид неприводимых представлений, и мы используем неприводимые представления, полученные выше. Если бы мы воспользовались другими двумерными неприводимыми представлениями, эквивалентными перечисленным выше, то получили бы другие линейные комбинации вырожденных мод, отличные от тех, которые приводятся здесь. Эти комбинации также давали бы правильное решение задачи, которое фактически эквивалентно получаемому ниже. Обратимся теперь к решению этой задачи. [c.52]

Следствие. Два неприводимых представления пир С -алгебры 31 физически эквивалентны в том и только в том случае, если существует по крайней мере одно состояние ф е н одно со-стояние 11зе23р, такие, что /я(ф) /р (23р) и /р(л1з) е [c.144]

Итак, выше нам встретились три типа эквивалентности представлений С -алгебры, а именно унитарная (т. е. пространственная) эквивалентность, квазиэквивалентность и физическая эквивалентность. Они перечислены в таком порядке, что каждая из них следует из предыдущей. В случае неприводимых представлений унитарная эквивалентность совпадает с квазиэквивалентностью, в случае алгебр фон Неймана совпадают понятия квазиэквивалентности и физической эквивалентности. Мы указали физические критерии каждого из перечисленных типов эквивалентности, относящиеся к состояниям, ассоциированным с рассматриваемыми представлениями. [c.164]

А ехр (— I г р/4 для каждого 2 е С и, таким образом, заключить, что л 0. Подставляя 2 = О в полученный выше результат, находим, что А — ненулевой оператор проектирования. Следовательно, в Ж существует по крайней мере один нормированный вектор Ф, такой, что ЛФ = Ф. Так как по предположению 28зс (С) — неприводимое представление, вектор Ф циклический (см. лемму к теореме 7). Для этого вектора образуем отображение ф ) = (Ф, W г) Ф) = (Ф, АШ (г) ЛФ) = = (Ф, ЛФ) ехр —I 2 Р/4 == ехр —12 р/4 . Заметим, что в представлении Шредингера в пространстве 2" (К) для всех e2 (R) справедливо равенство (и (г) )( ) = ехр —/ ( — х)/2 Р( — л ). Вычисляя ф (г) = (Ф, (г) Ф) для вакуумного вектора Ф( ) = = Я" / ехр — 1 /2 , получаем ф (г) = ехр — 2 р/4 . На основании теоремы 7 мы заключаем, что всякое неприводимое представление канонических перестановочных соотношений в форме Вейля для системы с одной степенью свободы унитарно-эквивалентно представлению Шредингера. Если бы исходное представление не было неприводимым, то всякое подпространство гильбертова пространства Ж, натянутое на векторы (1 (г) Ф 2 е С , где Ф удовлетворяет соотношению ЛФ = Ф, было бы устойчиво относительно рассматриваемого представления и, следовательно, могло бы служить носителем для неприводимого представления, унитарно-эквивалентного представлению Шредингера. Рассматривая эту конструкцию для ортонормированного базиса Ф/ в подпространстве гильбертова пространства Ж, образованном всеми векторами, устойчивыми относительно действия оператора Л, мы получаем полное доказательство теоремы 6. Действительно, обобщение на случай л(<оо) степеней свободы тривиально, поскольку для получения его достаточно заменить меру ёц г) в начале доказательства теоремы гауссовой мерой = которая, кстати сказать, является [c.310]

Следствие. Всякое НППП, построенное по бесконечной последовательности тождественных копий прост ранет ва Щ, является носителем неприводимого представления КПС. Два полученных таким способом представления унитарно-эквивалентны в том и только в том случае, если соответствующие НППП построены [c.336]

Справедливость этого следствия явствует непосредственно из сказанного перед его формулировкой. В виде примера его применения мы можем получить заново результаты Уайтмана и Швебера [453] относительно неприводимых дискретных представлений КПС. Действительно, пусть — ортонормированный базис в состоящий из собственных векторов (одномерного) гармонического осциллятора. В качестве множества индексов Г выберем множество 7 всех положительных целых чисел и рассмотрим все семейства вида Ф == Ф = Р у 2 . Для каждого такого семейства образуем неприводимое представление 0 я , построенное в НППП По только что доказанному следствию два представления полученные таким способом, унитарно-эквивалентны в том и только в том случае, если сумма [c.336]

Теорема 3. Для любого представления я алгебры 21 определим. Яо тк сужение представления я на множество 21q. Тогда я->Яо есть биективное отображение, переводящее множество Р всех представлений алгебры 21 в множество Pq всех представлений КАС. Кроме того, л, — циклическое или неприводимое) представление в том и только в том случае, если представление щ циклическое или неприводимое). Наконец, два представления я и р алгебры 21 эквивалентны или квазиэквивалентны) в том и только в том случае, если эквивалентны или квазиэквивалентны) представления яо и ро. [c.349]

Предположим, что представление D пространственной группы разложено на неприводимые представления подгруппы трансляций, т. е. что матрицы представлений, соответствующие трансляциям, диаго-нальны. Выберем в пространстве <т представления D те орты, на которых реализуется одно и то же представление группы Т . Обозначим через линейное подпространство, образованное этими ортами. Если к любому вектору подпространства применить преобразование из группы Я, , то мы опять должны получшъ вектор, принадлежащий представления группы соответствующего вектора. Каждое из подпространств <Т]с, может быть получено из подпространства с помощью операций г. Ясно также, что в каждом из подпространств г, , реализуются эквивалентные представления изоморфных групп Я., . [c.102]

Смотреть страницы где упоминается термин Эквивалентные и неприводимые представления : [c.341] [c.130] [c.108] [c.297] [c.88] [c.90] [c.142] [c.290] [c.92] [c.141] [c.142] [c.164] [c.289] [c.335] [c.246] [c.52] [c.62] [c.65] [c.66] [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...