Корни некоторых трансцендентных уравнений

Действительные корни некоторых трансцендентных уравнений [c.129]

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 КОРНИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ [c.480]

КОРНИ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 481 [c.481]

Если f(x) — трансцендентная функция, то уравнение f (х) =0 называется трансцендентным. Оно может иметь бесконечное множество корней, из которых часть (или все) могут быть комплексными. Некоторые трансцендентные уравнения не имеют решений (например, уравнение е = 0). Большинство трансцендентных уравнений решается только приближенно и лишь некоторые сводятся к алгебраическим. [c.121]

Как уже отмечалось, подход, основанный на анализе однородных решений, имеет определенные недостатки с точки зрения выявления характера особенности в каждом конкретном случае. В частности, кроме возможности путем выбора ненулевой нагрузки устранить особенность, как на еще один недостаток такого подхода можно указать на следующую ситуацию. Рассматривая случай нагружения прямого угла касательной нагрузкой, показанной на рис. 7, т. е. при нарушении парности касательных напряжений в угловой точке, имеем логарифмическую особенность в угле поворота г относитель-> но оси Ог 165, 2581. Этот результат, конечно, нельзя получить из однородной задачи. Из изложенного выше следует, что рассмотрение вопроса об особенностях связано с решением некоторых трансцендентных уравнений, имеющих, как правило, несколько корней. С этой точки зрения фиксация типа особенности является, по сути, указанием на то, какие из сингулярных однородных решений следует оставить, а какие отбросить. Физическим основанием для такого действия всегда можно принять требование конечности энергии деформации, накопленной в окрестности подозрительной на сингулярность точки границы. Фактически, как и в задачах электродинамики и акустики, лишь фиксация типа сингулярности позволяет поставить граничную задачу, допускающую однозначное решение [c.35]

Теорема 3.1. Каждой канонической сингулярной задаче соответствует некоторое трансцендентное уравнение, каждому корню которого отвечает определенное однородное решение число произвольных действительных постоянных в этом решении равно кратности корня. y [c.54]

Корни этого трансцендентного уравнения позволяют вычислить значения периодов главных колебаний описываемой системы. Основному типу колебаний будет соответствовать наименьший корень уравнения. Некоторые значения этого корня для различных а приведены в табл. 20. [c.326]

Второе условие приводит к некоторому трансцендентному уравнению относительно параметра р, корни которого табулированы [61]. [c.197]

В ряде случаев при решении задач теплообмена встречаются конечные уравнения или системы конечных уравнений. Эти уравнения могут быть алгебраическими или трансцендентными. В качестве примера трансцендентной системы можно привести систему (1.26), решение которой позволяет определить равновесный состав газовой смеси. Отыскание корней многочленов встречается при нахождении собственных значений характеристического многочлена (например, в задаче расчета многокомпонентной диффузии в случае течения Куэтта, гл. 8). В данной главе приводится пример решения трансцендентного уравнения, связанного с расчетом температуры поверхности летательного аппарата (ЛА) с учетом излучения его поверхности. Приведем некоторые методы решения конечных уравнений. [c.66]

Весь вычислительный процесс можно разбить на два этапа. На первом этапе необходимо решить трансцендентное уравнение (1), где ставится задача об отыскании корней этого уравнения для заданных значений /2//1 и Ях на некотором интервале, определяемом начальным значением Тх и (тх)тах-На втором этапе производится вычисление остальных неизвестных параметров периодического движения (хо, Ул и фо)- [c.143]

Алгебраическая функция. Функция у(х) называется алгебраической, если её значения получаются путём решения некоторого алгебраического уравнения относительно З с коэ-фициентами, являющимися полиномами от переменной X. Все функции, формулы которых содержат только символы алгебраических операций над независимой переменной х (включая и извлечение корней с целым показателем корня), являются алгебраическими. Все не алгебраические функции называются трансцендентными. [c.147]

Если известно решение х = уравнения (f x, ) = О в некоторой точке t = to, то решение задачи Коши x to) = для уравнения (30.7) является одним из корней уравнения (ж, i) = О [225]. Переходя к фазовому пространству ж, р, запишем гамильтониан Н = pf(x, t). Таким образом, для определения корней алгебраических или трансцендентных уравнений необходимо найти решение канонической системы в виде ж = = x t). Заметим, что в случае (/)(ж, t) = t — F x) решение поставленной задачи позволяет найти функцию x t), обратную F t). [c.333]

Как они будут строиться По этому вопросу я могу высказать только некоторые предположения. Я не думаю, что численный расчет кратных квадратур (в комплексной области) является задачей более легкой, нежели численное решение исходной задачи. Точно так же вычисление корней трансцендентного уравнения иногда может оказаться делом более трудным, нежели анализ исходной задачи. Разумеется, всякие категорические суждения здесь абсолютно недопустимы. Всегда может оказаться, что существует некоторый класс частных задач, для которых подход поборников точной теории будет экономным способом получения числового результата. Но в одном я убежден развитие вычислительного направления в теории вязких во-пн требует, прежде всего, проведения подробного исследования возможностей современных разностных методов. [c.71]

Курс теории теплопроводности применительно к задачам инженерной практики. В книге рассмотрены аналитические, численные, графические и экспериментальные методы определения стационарных и нестационарных температурных полей в различных системах. Общие положения иллюстрируются подробным разбором многочисленных конкретных задач, в том числе таких сложных систем, как лопатка турбины, крыло реактивного самолета, ядерный реактор и др. Специальная глава посвящена методам моделирования тепловых систем. Каждая глава содержит библиографию и многочисленные задачи учебного характера. В Приложении даны таблицы значений некоторых специальных функций и корней трансцендентных уравнений, необходимых для аналитического расчета тепловых систем. [c.436]

Некоторые же формулы имеют более сложный вид, поскольку применение их связано с отысканием корней довольно громоздких трансцендентных уравнений. [c.205]

Для распределенных систем, допускающих сведение к краевым задачам на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение имеет вид А(Х,р)=0, где Д - трансцендентная функция. Отдельные комплексные собственные значения можно вычислить, сведя задачу отыскания корней уравнения к эквивалентной задаче отыскания нулевых минимумов некоторой целевой функции. Например, можно рассматривать фун-2 2 [c.488]

Алгебраические уравнения второй, третьей и четвёртой степени решаются посредством конечного ряда арифметических и алгебраических действий (в некоторых случаях с применением тригонометрии) над коэфициентами уравнений по готовым формулам в определённом порядке (см. ниже). Уравнения степени выше четвёртой в общем случае так решить нельзя. Их приходится решать либо графически (см. стр. 121) с последующим уточнением корней (см. стр. 122), либо посредством метода итераций (см. стр. 125) и метода Лобачевского— Греффе (см. стр. 123). В этих случаях число действий существенно зависит от степени точности, с которой желательно найти значения корней уравнения. При решении уравнений следует иметь в виду, что их коэфициенты являются чаще всего числами приближёнными. Поэтому не следует искать значения корней с большей точностью, чем заданы коэфициенты уравнения. Уравнения третьей и четвёртой степени решаются приближёнными методами нередко проще, чем приёмами общего решения этих уравнений, причём значения корней получаются с достаточной степенью точности. Об щих приёмов решения трансцендентных уравнений нет. Чаще всего грубые значения корней определяются графически (с.м. стр. 121) и зате.м уточняются аналитически (см. стр. 122). Корни некоторых трансцендентных уравнений см. на стр. 129. [c.119]

Другой Способ построения полной асимптотики решения смешанных задач с кольцевой областью раздела граничных условий развит в работах В. С. Губенко, В. И. Моссаковского, Н. М. Бородачева, В. М. Александрова и др. [19, 47, 52, 53, 106, 107, 110, 160—163, 254—256, 292, 322, 414, 417]. Общий метод построения полной асимптотики решения при малых л широкого класса плоских смешанных задач предложен в работе В. А. Бабешко [58]. Здесь основные параметры задачи, по сути дела, представлены в виде асимптотических рядов по ехр (—где ця — корни некоторого трансцендентного уравнения. Построение таких разложений связано с необходимостью решения последовательными приближениями бесконечной алгебраической системы. Главная часть этой системы точно обращается путем решения соответствующего интегрального уравнения Винера — Хопфа. [c.98]

В работах [18], [21], [23] были получены точные решения дифференциальных уравнений пропорциональной навигации при любых целочисленных значениях навигационной постоянной. Можно отметить, что в известной книге А. Локка, посвяш енной этой проблеме и изданной в США в 1955 г., эта задача была признана неразрешимой в замкнутом виде. Казалось бы, что полученное в указанных работах замкнутое решение должно было дать ответ на все вопросы. Однако эта задача, вопреки обычному представлению, не была на этом закончена. Дело в том, что полученное peшfeниe выражалось через корни некоторой трансцендентной фуцкции и, таким образом, зависело от нескольких параметров. [c.91]

Один из подходов для решения таких задач имеет своим истоком работу А. Б. Бассета. Представим себе, что все прочие граничные условия, кроме условий на свободной поверхности, допускают представление решения в виде агрегата, зависящего от некоторого количества параметров. Например, как следует из работы Бассета, колебание жидкости конечной постоянной глубины может быть описано некоторой комбинацией тригонометрических и гиперболических функций. Условие отсутствия нормальных напряжений на свободной границе дает некоторое трансцендентное уравнение, связывающее параметры волн и комплексное число оз. Определив корни этого трансцендентного уравнения, мы получаем возможность полностью рассчитать движение жидкости. Подобная схема используется в ряде работ. В качестве наиболее типичной для этого направления укажем работу И. П. Оборотова (1960), в которой исследуются стоячие волны на поверхности жидкости конечной глубины. Близкие по своему смыслу идеи лежат в основе работ А. К. Никитина и его учеников Р. А. Грунтфеста и С. А. Подрезова (1964). В последних работах решаются некоторые задачи типа Коши — Пуассона и вместо агрегата, зависящего от нескольких параметров, используется представление Фурье. Решение удается записать в явном виде в форме кратных интегралов Фурье, содержащих параметры. К этому же кругу идей относятся и многочисленные работы Л. В. Черкесова (1962 и др.), посвященные также проблеме возбуждения поверхностных волн. Итак, эта концепция, именуемая часто точной теорией волн в вязкой жидкости, сводит тем или иным способом задачу о линейных волнах к исследованию трансцендентных уравнений с комплексными корнями или вычислению кратных интегралов в комплексной области. По существу, имеет место некоторая переформулировка задачи, ибо непосредственно никакой информации из точного решения в форме интегралов для понимания физического содержания явления извлечь нельзя. Дальнейшее исследование, использующее найденные выражения, можно представить себе в двух [c.70]

Уравнеиия (1.1.3) представляют собой линейную однородную систему алгебраических уравнений относительно бук- Необходимым и достаточным условием существования у линейной однородной алгебраической системы нетривиального решения (когда не все одновременно равны нулю) является равенство нулю определителя, образованного элементами матрицы коэффициентов. В рассматриваемом случае элементы этой матрицы представляют собой выражения, заключенные в скобках левой части (1. 1.3). Вычисляя этот определитель и полагая его равным нулю, получим некоторое характеристическое уравнение (Р)==0, корни которого определяют искомые значения р, позволяюи ие получить не нулевые решения системы. (Заметим, что, поскольку элементы определителя системы в общем случае содержат трансцендентные члены,. характеристическое уравнение имеет бесконечно большое число корней.) Так как все коэффициенты характеристического уравнения действительны, то его корни — или действительные или комп-лексно-сопряженные числа j- - =Уj Шj В соответствии с этим решение исходной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами складывается из членов вида [c.13]

Нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические функции или другие специальные функции, например lgл или е , называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений такого типа делятся на прямые и итерационные. Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Известным примером такого рода является формула корней квадратного уравнения. В итерационных методах задается процедура зешения в виде многократного применения некоторого алгоритма. Лолученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному. Итерационные методы наиболее удобны для реализации на ЭВМ и поэтому подробно рассматриваются в этой главе. В каждом из излагаемых методов считается, что решаемая задача состоит в отыскании действительных корней (нулей) уравнения / (л ) = 0. Хотя подобные уравнения также могут иметь комплексные корни, способы их отыскания обычно рассматриваются только для алгебраических уравнений. [c.18]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...